Funzioni in due variabili

forme quadratiche

Si chiama forma quadratica in 2 variabili un polinomio di secondo grado omogeneo:

Q(h,k) = ah² + 2bhk + ck²

La matrice di Q

A = [^{a b}/_{b c}]

è simmetrica

Infatti, si ha che

Q(h,k) = [h k] [^{a b}/_{b c}] [^h/_k]

=¹/₂ [ah+bk bh+ck] [^h/_k]

=¹/₂ (ah + bk)h + (bh + ck)k = ah² + 2bhk + ck²

In generale, una forma quadratica in n variabili è un polinomio omogeneo di secondo grado in n variabili.

EX. n=3

Q(h₁,h₂,h₃) = a₁h₁² + a₂h₂² + a₃h₃²

+ 2a₁₂h₁h₂ + 2a₁₃h₁h₃ + 2a₂₃h₂h₃

Matrice associata

A = [^{a₁₁ a₁₂ a₁₃}/_{a12 a22 a23}/_{a13 a23 a33}]

→ Q(h₁,h₂,h₃) = [h₁ h₂ h₃] A [^h₁/_h2/_h3]

→ forma quadratica in n variabili, Q(h) = h^t A h   A matr. sim. nxn

PROPRIETA'

1. Q(0) = 0
2. Q(th) = t² Q(h)

∀ t ∈ ℝ, ∀ h ∈ ℝⁿ

• se Q(h,k) > 0 → Q(th,tk) > 0
• se Q(h,k) < 0 → Q(th,tk) < 0
• se Q(h,k) = 0 → Q(th,tk) = 0

∀ t ≠ 0

Def

Una forma quadratica Q(h) si dice che è:

• definita positiva (o negativa) se Q(h) ≥ 0 (≤ 0) ∀ h ∈ ℝⁿ e se Q(h) = 0 se e solo se h = 0
• semidefinita positiva (o negativa) se Q(h) ≥ 0 (≤ 0) ∀ h ∈ ℝⁿ e se ∃ h ≠ 0, t.c. Q(h) = 0
• indefinita se ∃ h₁, h₂ ∈ ℝ tali che Q(h₁) > 0 e Q(h₂) < 0

Se non ci sono termini misti (hk) è facile stabilire il segno della forma quadratica.

Esempio

Q(h,k) = z h² + s k²

Q(h,k) ≥ 0 ∀ (h,k) ∈ ℝ² e Q(h,k) = 0 ⇔ (h,k) = (0,0)

A =

1. 2 0
2. 0 s

Se Q(h) = h^t A h è una forma quadratica a due variabili e A n x n è una matrice simmetrica detti λ₁, λ₂, ..., λ_n i suoi autovalori, il segno di A dipende dal segno dei suoi autovalori:

• A è definita positiva (o negativa) se i suoi autovalori sono tutti positivi (o negativi)
• A è semidefinita positiva se tutti gli autovalori sono ≥ 0 ed esiste un autovalore nullo
• A è indefinita se ci sono due autovalori di segno discorde

Data una forma quadratica in 2 variabili:

A =

1. a b
2. b c

(a - λ)(c - λ) - b² = 0

λ² - λ(a + c) + ac - b² = 0

Gli autovalori sono le soluzioni dell'equazione caratteristica di 2^o grado.

1. λ₁, λ₂ = ac - b² = det A
2. λ₁ + λ₂ = a + c

• Se det A > 0 e a > 0 ⇒ ac - b² > 0 ⇒ a + c > 0 ⇒ λ₁, λ₂ ≥ 0
• Se det A > 0 e a < 0 ⇒ λ₁, λ₂ < 0
• Se det A = 0 ⇒ 0 è un autovalore
• Se det A < 0 ⇒ λ₁, λ₂ sono discordi

Esempi:

1) Il grafico di f: ℝ² → ℝ, f(x,y) = ax+by+c è una superficie di equazione z = ax+by+c che corrisponde ad un piano non verticale (≠ non parallelo all'asse z)

z = ax+by-c =0

2) La superficie sferica è il grafico di z = f(x,y)?

No perché ad un punto (x,y) ∈ A corrispondono due numeri reali.

3) La semisfera è il grafico di z = f(x,y)?

Sì, trovo la sua equazione:

(x,y,z) ∈ gr f ↔ x²+y²+z² = R²

= => z = √(R²-x²-y²)

Insieme di livello

Data una funzione f: A ⊆ ℝⁿ → ℝ, si chiama insieme di livello c di f l'insieme:

• { x ∈ A: f(x) = c }

n=2 → f: A ⊆ ℝ² → ℝ, i.d.l. c = { (x,y) ∈ A: f(x,y) = c }

Detta S la superficie grafico di f, la sezione con il piano z = c

• z = f(x,y)
• z = c

= => f(x,y) = c

Curva di livello c

L'equazione parametrica di γ

La retta passante per (x₀, y₀) con direzione data dal vettore v è:

• x = x₀ + at
• y = y₀ + bt

Posso quindi costruire il rapporto incrementale e calcolare il limite:

Δf = f(x₀+at, y₀+bt) - f(x₀, y₀)

lim (t→0) [f(x₀+at, y₀+bt) - f(x₀, y₀)] / t

D(f) rappresenta la velocità di variazione di F in (x₀, y₀) lungo la retta passante per (x₀, y₀) con direzione assegnata da v.

OSB. Le derivate parziali sono particolari derivate direzionali.

• ∂f/∂x (x₀, y₀) = D_(1,0) f(x₀, y₀)
• ∂f/∂y (x₀, y₀) = D_(0,1) f(x₀, y₀)

Differenziabilità di funzioni in N variabili

In ℝⁿ esiste un legame tra continuità e derivabilità solo se n=1, altrimenti possono esistere funzioni continue ma non derivabili, o viceversa. Si introduce allora il concetto di differenziabilità:

• n=1: Data una funzione f:(a,b)→ℝ ed un punto x₀∈(a,b), si dice f è derivabile in x₀ se esiste finito il limite del rapporto incrementale oppure se posso approssimare (in un tratto infinitesimo) la curva ad una retta.

f(x) = f(x₀) + m(x-x₀) + σ(x-x₀)

Dove: g=f(x₀)+m(x-x₀) è l'equazione della retta tangente.

σ(x-x₀) è l'errore che commetto approssimando la curva ad una retta.

Teorema di Schwarz

Date una funzione A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}, con A aperto, sef \in C^2(A) (cioè se f ha derivate parziali continuein A fino al 2^o ordine) alloraf_{xy}(x, y) = f_{yx}(x, y) \forall (x, y) \in A

Se f : A \subseteq \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}, f \in C^2(A) allora analogamente èpossibile affermare chef_{xz} = f_{zx}, f_{yz} = f_{zy} in A

Formula di Taylor per funzioni in 2 (3) variabili arrestata al 2^o ordine

• 1 variabile y = f(x) : (a, b) \rightarrow \mathbb{R}, detto un punto x_0 \in (a, b) se f è derivabile 2 volte in x_0 alloraf(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0) + \frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2 + \sigma(x-x_0)^2per x \rightarrow x_0
• 2 variabilif : A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} A aperto, preso un punto (x_0, y_0) \in A se (f \in C^2(A)) cioè se f è differenziabile in A =>f(x, y) = f(x_0, y_0) + \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0) +\frac{1}{2}[f_{xx}(x_0, y_0)(x-x_0)^2 + 2f_{xy}(x_0, y_0)(x-x_0)(y-y_0) + f_{yy}(x_0, y_0)(y-y_0)^2] +\sigma((x-x_0)^2 + (y-y_0)^2)per (x, y) \rightarrow (x_0, y_0)

Si chiama differenziale I^o di f in (x_0, y_0):df(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)(x-x_0) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)(y-y_0)

=> df(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial x}(x_0, y_0)h + \frac{\partial f}{\partial y}(x_0, y_0)k = \nabla f(x_0, y_0) \cdot (h, k)

E' una funzione lineare di (h, k).

Si chiama differenziale II^o di [f] in (x_0, y_0)