Analisi 2: Funzioni a due variabili

FUNZIONI di PIU' VARIABILI

DEF Una funzione reale di 2 variabili è una funzioneF: D ⊆ R² → RUna funzione reale di 3 variabili è una funzioneF: D ⊆ R³ → R.

Notazione F(x,y) Funzione con 2                                  variabili in ingressoF(x,y,z) 3 variabili in ingresso

Esempi

1. F(x,y) = x² + y² D = R²
2. F(x,y) = x² - y² D = R²
3. F(x,y,z) = x³ + y² - z² D = R³
4. Potenziale elettrostatico generato da una carica puntiforme posta nell’origine.    U(x,y,z) = ^k / _{√(x² + y² + z²)} k > 0    D = {(x,y,z) ∈ R³ : (x,y,z) ≠ (0,0,0)}

DEF Sia F: D ⊆ R² → R si definisce grafico di Finsieme G(F) dei punti (x,y,z) ∈ R³ :    (x,y) ∈ D e z = F(x,y)

DEF Sia F: D ⊆ R³ → R si definisce grafico di FG(F) = { (x,y,z,ω) ∈ R⁴ : (x,y,z) ∈ D e    ω = F(x,y,z) }

ω non può essere visualizzato da noi → 4 dimensioni

DEF Sia C ∈ R fissato e sia F: D ⊆ R² → R.Si dice insieme di livello C:    L_c(F) = { (x,y) ∈ D : F(x,y) = c }    → Appa distribuzione che implica funziona → Tutti i    punti di livello c formano c.

DEF

Sia c ∈ ℝ fissato e sia f : D ⊂ ℝⁿ → ℝ.

Si dice insieme di livello c:

L_c(f) = { (x,y,z) ∈ D | f(x,y,z) = c }

Esempi

1. f(x,y) = x² + y²
   • L_c(f) = { (x, y) | x² + y² = c }
   • Se c < 0 → nulla (non saranno funzioni)
   • Se c = 0 → punto
   • Se c > 0 → circonferenza
2. f(x,y) = x² - y²
   • L_c(f) = { (x, y) | x² - y² = c }
   • Se c = 0 → bisettrici
   • Se c > 0 → iperboli equilatero
3. f(x, y, z) = x³ + y² - z²
   • L_c(f) = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : x³ + y² - z² = k }
4. U(x,y,z) = √(x² + y² + z²)
   • L_c(U) = { (x, y, z) ∈ ℝ³ : √(x²+y²+z²) = c }
   • Se c < 0 → φ
   • Se c > 0 → x² + y² + z² = R² sfera

Topologia

→ Studio delle proprietà dei sottoinsiemi d. ℝ² e ℝ³

ELEMENTI DI TOPOLOGIA

DEF

Sia (x_o, y_o) ∈ ℝ² fissato. Si definisce disco aperto centrato in (x_o, y_o) di raggio r > 0:

D_r(x_o, y_o) = { (x, y) | √(x - x_o)² + (y - y_o)² < r }

Sono compresi punti interni ma non bordo.

DEF Un insieme _E ⊆ ℝ² (o ℝ³) si dice LIMITATO se esiste un disco _DR(_x0,_y0) : _E ⊆ _DR(_x0,_y0)equivalentemente: E è limitato se esiste _DR(0): _E ⊆ _DR(0) cioè ^∃_R >0: |_x| |_y| < _R ∀ x ∈ _E.

TEOREMA DI BOLZANO - WEIERSTRASSOgni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente.^∃ _{… xnk … ⊆ xn}

DEF Un insieme _E ⊆ ℝ² (o _E⊂ℝ³) si dice COMPATTO se ogni successione (x_n) ∈ _E ammetteuna sottosuccessione convergente ad un elemento di _E.

Teorema di HEINE - BORELE è un insieme compatto se e solamente se E èchiuso e limitato

DEF Un insieme ∈ ℝ²(o ∈ℝ³) si dice:• CONVESSO se ∀ v₀,v₁ ∈ _E il segmento diestremi v₀ e v₁ è contenuto in _E.

• CONNESSO se ∀ v₀ v₁ ∈ _E esiste una curva _Γcon estremo contenuto in _E che ha per estremi v₀ e v₁.

Convesso implica connesso non vale viceversa

CONTINUITA'

DEF

Considero E⊆ℝ² sottinsieme f: E→ℝ,

(x₀, y₀) ∈ E.

Diciamo che f è continua in (x₀, y₀) se ∀ε>0

∃ δ = δ(ε, x₀, y₀) > 0 tale che |f(x, y) - f(x₀, y₀)| < ε

∀ (x, y) ∈ Dδ (x₀, y₀) ∩ E.

Analoa in ℝ:

• Se (x₀, y₀) è un punto di accumulazione di E, allora

f è continua in (x₀, y₀) se e solo se il limite

lim_{(x, y)→(x₀, y₀)} f(x, y) = f(x₀, y₀)

• Se (x₀, y₀) è un punto isolato di E, allora f è automaticamente continua in (x₀, y₀)

In questo precise δ > 0 tale che Dδ (x₀, y₀) ∩ E = {(x₀, y₀)}.

Esempio

La funzione norma N : R²→ℝ tale che

N(x, y) = ||(x, y)|| è continua in tutti i punti di R²

Dato x₀ = (x₀, y₀) ∈ R² ∀ x = (x, y) ∈ R² ho

|N(x) - N(x₀)| = || x || - || x₀|| ≤ || x - x₀ || < ε

Disuguaglianza triangolare inversa

Continuo a valere:

• Continuità somma/prodotto di funzioni continue
• Continuità della funzione composta

TEOREMA DELLA PERMANENZA DEL SEGNO

Sia f: E⊆ℝ² → ℝ e sia (x₀, y₀) ∈ R² punto di

accumulazione per E. Supponiamo che lim_{(x, y)→(x₀, y₀)} f(x, y) = l

con l ≠ 0.

∃ Δ > 0 allora ∃ δ > 0 tale che f(x, y) > 0 ∀

(x, y) ∈ [Dδ (x₀, y₀)\{(x₀, y₀)}] ∩

In particolare se (x₀, y₀) ∈ E ed f è continua in

(x₀, y₀) e f(x₀, y₀) > 0 allora ∃ δ > 0 tale che

f(x, y) > 0 ∀ (x, y) ∈ Dδ (x₀, y₀) ∩ E

Ricordiamo Fermioni di-a

F(x, y) - x F_x(x₀, y₀) - y F_y(x₀, y₀) - F(x₀, y₀) ++ F_x(x₀, y₀) x₀ + F_y(x₀, y₀) y₀ = 0 √(x-x₀)² + (y-y₀)² F(x, y) = ax + by + c = 0 √(x-x₀)²+(y-y₀)²

Equazione piano

→ A bongo si approssima alla funzione.

Def

Sia a ∈ R² aperto, F: a → R, differenziabile in (x₀, y₀) ∈ a. Si definisce piano tangente al graficodi f nel punto (x₀, y₀, F(x₀, y₀)) il piano dieqazione:

z = F_x(x₀, y₀) + F_y(x₀, y₀) + F(x₀, y₀) = f_x(x₀, y₀) x₀-f_y(x₀, y₀) y₀

Scritto anche come

z = F(x₀, y₀) + f_x(x₀, y₀)(x-x₀) + f_y(x₀, y₀)(y-y₀)