Analisi 2: Funzioni a due variabili

FUNZIONI di PIU' VARIABILI

DEF Una funzione reale di 2 variabili è unafunzione F: D ⊂ R² → R.Una funzione reale di 3 variabili è una funzioneF: D ⊂ R³ → R.

Notazione F(x,y) Funzione con 2                  variabili in ingresso            F(x,y,z) 3 variabili in ingresso

Esempi

1. F(x,y) = x² + y² D = R²
2. F(x,y) = x² - y² D = R² PARABOLOIDE IPERBOLICO
3. F(x,y,z) = x³ + y² - z² D = R³
4. Potenziale elettrostatico generato da una carica    puntiforme posta nell'origine.    U(x, y, z) = k⁄√(x² + y² + z²) k > 0    D = { (x, y, z) ∈ R³ : (x, y, z) ≠ (0, 0, 0) }

DEF Sia f: D ⊂ R² → R si definisce grafico di finsieme G(f) dei punti (x, y, z) ∈ R³:(x, y) ∈ D e z = f(x, y)

DEF Sia f: D ⊂ R³ → R si definisce grafico di fG(f) = { (x, y, z, w) ∈ R⁴ : (x, y, z) ∈ D e            w = f(x, y, z) }

     L'hom può essere visualizzato solo fino a → 4 dimensioni

DEF Sia C ∈ R fisso e sia f: D ⊂ R² → R.Si dice insieme di livello C:L_c(f) = { (x, y) ∈ D : f(x, y) = c }      Attraverso differenziali che taglia funzione → Tutti i           punti di livello c (ipotesi: c)

FUNZIONI di PIU' VARIABILI

DEF Una funzione reale di 2 variabili è una funzione f: D ⊆ R² → R.

Una funzione reale di 3 variabili è una funzione f: D ⊆ R³ → R.

Notazione

f(x,y) Funzione con 2 variabili in ingresso

f(x,y,z) 3 variabili in ingresso

Esempi

1. f(x,y) = x² + y²   D = R²
2. f(x,y) = x² - y²   D = R²   PARABOLOIDE IPERBOLICO
3. f(x,y,z) = x³ + y² - z²   D = R³
4. Potenziale elettrostatico generato da una carica puntiforme posta nell’origine.U(x,y,z) = k / √(x² + y² + z²)   k > 0D = {(x,y,z) ∈ R³ : (x,y,z) ≠ (0,0,0)}

DEF Sia f: D ⊆ R² → R, si definisce grafico di f l’insieme G(f) dei punti (x,y,z) ∈ R³:(x,y) ∈ D e z = f(x,y)

DEF Sia f: D ⊆ R³ → R, si definisce grafico di fG(f) = { (x,y,z,ω) ∈ R⁴ : (x,y,z) ∈ D e ω = f(x,y,z)}

L'ho poi evito visualizzare che non... → 4 dimensioni

DEF Sia C ∈ R fissato e sia f: D ⊆ R² → R.Si dice insieme di livello C:L_c(f) = {(x,y) ∈ D : f(x,y) = C}

Attraverso intersezione che taglia funzione → Tutti i punti a livello C (quota=c)

DEF

Sia c ∈ ℝ fissato e sia f : D ⊆ ℝⁿ → ℝ.

Si dice insieme di livello c:

• L_c(f) = { (x,y,z) ∈ D : f(x,y,z) = c }

Esempi

1. f(x,u) = x² + u²

   • L_c(f) = { (x,u) : x² + u² = c }
   • se c < 0 → nulla (non esistono funzioni)
   • se c = 0 → punto
   • se c > 0 → circonferenza

2. f(x,u) = x² - u²

   • L_c(f) = { (x,u) : x² - u² = c }
   • se c = 0 → bisettrice
   • se c > 0 → iperboli equilatero

3. f(x,u,z) = x² + u² + z²

   • L_c(f) = { (x,u,z) ∈ ℝ³ : x² + u² + z² = k }

4. u(x,u,z) =

   R / √(x² + u² + z²)

   • L_c(u) = { (x,u,z) ∈ ℝ³ : R / √(x² + u² + z²) = c }
   • se c < 0 →
   • se c = 0 → L_c(u) = ∅
   • se c > 0 → x² + u² + z² = R² → sfera