Matematica - studio di funzioni
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xOy. Al variare di k si ottengono le linee di livello che dovremmo rappresentare. L’analisi del grafico ci da
l’idea della forma della superficie z = f(x,y).
RICERCA DEGLI ESTREMI LIBERI
z f(x,y)
Si dicono estremi liberi di una funzione i punti di massimo o di minimo che si trovano
=
considerando tutto il dominio della funzione.
1) Intersezione superficie con fascio di piani paralleli al piano xoy:
z = f(x,y)
z = k
2) Equazione linee di livello
Fascio di …..
3)Rappresento alcune linee di livello: dando dei valori a K
4) determiniamo se è un massimo o un minimo
se K aumenta è un MINIMO;
se K diminuisci è un MASSIMO.
RICERCA DEGLI ESTREMI VINCOLATI
f(x,y)
Si dicono estremi vincolati di una funzione i punti di massimo o di minimo che si trovano
=
z
sottoponendo la funzione a certi vincoli, per esempio restringendo il dominio ad un intervallo.
1) Intersezione superficie con fascio di piani paralleli al piano xOy:
z = f(x,y)
z = k
2) Equazione linee di livello
Fascio di …..
3) Rappresento alcune linee di livello: dando dei valori a K
4) Rappresentiamo il vincolo
Ricercare la linea di livello tangente al vincolo:
5)
f(x,y)=k
vincolo
abbandonare sistema e poniamo il delta = 0:
2
= 0 b – 4ac = 0
Δ
troviamo il valore di K
6) Troviamo il punto di tangenza.
la linea di livello tangente (con il val. di k che abbiamo trov. al punto 5
vincolo
-‐Se il vincolo interseca le linee di livello con K che decresce allora è un punto di massimo.
-‐Se il vincolo interseca le linee di livello con K che cresce allora è un punto di minimo.
Punti di massimo e minimo
Massimo relativo
(x D z =,f(x, massimo relativo
Un punto P = y ) dell’insieme in cui è definita la funzione y), è un punto di per
0
0 0
la funzione, se esiste un cerchio C di centro P (x ; y ), contenuto nel dominio della funzione, tale che per
0 0 0
C
ogni punto di risulti la relazione
f (x;y) ≤ f (x ;y )
0 0
D è limitato D,
Se il dominio e la precedente disuguaglianza vale per tutti i punti di allora il punto P è detto
0
massimo assoluto z = f(x ,
di e y ) è il massimo assoluto.
0 0 0
Minimo relativo D z = f(x, minimo relativo
Un punto P =(x y ), dell’insieme in cui è definita la funzione y) è un punto di per
0 0 0 C
la funzione, se esiste un cerchio di centro P (x ; y ), contenuto nel dominio della funzione, tale che per
0 0 0
C
ogni punto di risulti:
f (x;y) ≥ f (x ;y )
0 0
D è limitato D, minimo
Se il dominio e la precedente disuguaglianza vale per tutti i punti di allora P è detto
0
assoluto, z = f (x ,y )
e è il minimo assoluto.
0 0 0
IL METODO ELEMENTARE (o SOSTITUZIONE)
Data la funzione z = f(x,y) soggetta ad un vincolo Y = g(x) i punti estremanti vincolati di f si determinano
individuando i punti di massimo e di minimo relativi liberi della funzione a una sola variabile Z = f(X,g(X)),
vale a dire della funzione che si ottiene sostituendo nella f la funzione g al posto di y.
1) SOSTITUIRE IL VINCOLO ALLA FUNZIONE
2) CALCOLARE LA DERIVATA PRIMA DELLA FUNZIONE APPENA OTTENUTA
3) Z’ = 0 PER TROVARI GLI EVENTUALI PUNTI CRITICI o ESTREMANTI
4) Z’ > 0 PER EFFETTUARE LO STUDIO DEL SEGNO
5) STUDIO DEL SEGNO -‐-‐ +
+ -‐-‐
MASSIMO minimo
RICERCA DEGLI ESTREMANTI CON SISTEMA DI VINCOLI
1) CONSIDERARE L’EQUAZIONE ASSOCIATA DI CIASCUN VINCOLO
2) VERIFICARE PER QUALE PARTE DEL PIANO LE DISEQUAZIONI SONO VALIDE (Sostituendo 1 punto del
piano) e trovare la parte di piano che le soddisfa tutte le disequazioni:
LA SOLUZIONE DEL SISTEMA È DETTA DOMINIO DEI VINCOLI
3) DETERMINARE LE LINEE DI LIVELLO
4) SOSTITUIRE LE COORDINATE DEI PUNTI ALLA FUNZIONE DI PARTENZA
il valore più basso è un minimo
il valore più alto è un MASSIMO
MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI (FUNZIONI NON LINEARI)
1 CONSIDERARE L’EQUAZIONE ASSOCIATA DI CIASCUN VINCOLO
2 VERIFICARE QUALE PARTE DEL PIANO LE DISEQUAZIONI SONO VALIDE (sostituendo un punto del
piano e trovare la parte di piano che le soddisfa tutte) LA SOLUZIONE DEL SISTEMA è DETTA
DOMINIO DEI VINCOLI
3 DETERMINATE I VERTICI CHE DELIMITANO IL PIANO TROVATO (mettendo a sistema le 2 rette che
intersecandosi formano il punto)
4 DETERMINALE LE LINEE DI LIVELLO E RAPPRESENTARLE
5 SOSTITUIRE LE COORDINATE DEI VERTICI ALLA FUNZIONE DI PARTENZA ( Z(A); Z(B);…)
6 METTERE A SISTEMA L’EQUAZIONE DELLE LINEE DI LIVELLO CON L’EQUAZIONE DELLA PRIMA RETTA
CHE LE LINEE DI LIVELLO INCONTRANO =0 (troviamo K)
∆
7 METTERE A SISTEMA LA LINEA DI LIVELLO TANGENTE AL DOMINIO DEI VINCOLI CON LA RETTA
(troviamo il punto di tangenza)
Se le linee di livello incontrano il dominio dei vincoli con k che aumenta allora il punto di tangenza un
MINIMO ASSOLUTO
E l’ultimo punto che le linee di livello incontrano è un MASSIMO ASSOLUTO (lo vediamo anche dal punto 5)
Il punto di minimo si trova in corrispondenza del più piccolo dei valori di K, il punto di massimo in
corrispondenza del più grande
DERIVATA
Si definisce derivata della funzione nel punto X se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale al
0,
tendere a 0 (zero) dell’incremento (h)
SIGNIFICATO GEOMETRICO:
La derivata indica il coefficiente angolare della retta tangente in quel punto. Serve per determinare i punti
critici.
f ’(x)>0 f ‘(x)<0
Derivata parziale rispetto a X
f’(x )= lim h 0 f(x +h) –F(x )
0 0 0
h
Sostituisco prima (x +h) alla X; e poi (x ) alla X
0 0
-‐Se abbiamo un punto lo sostituiamo ala x o alla y : il risultato = m
-‐se >0, funzione crescente; se <0, funzione decrescente
-‐se = 0, eventuali punti critici.
Teorema della SOMMA DI 2 FUNZIONI: la derivata della somma di due funzioni è uguale alla somma delle
derivate:
Y= f(x) + g(x) y’ = f’(x) + g’(x)
Teorema del PRODOTTO DI 2 FUNZIONI: la derivate del prodotto di 2 funzioni è uguale alla derivata della
prima funzione per la seconda non derivata, aumentata del prodotto della prima funzione non derivata per
la derivata della seconda:
Y= f(x) * g(x) y’ = f’(x) * g(x) + f(x) * g’(x)
Teorema FUNZIONE COMPOSTA:
Y= f[g(x)] y’= f’ [g(x)] * g’(x)
Teorema FUNZIONE RAPPORTO: la derivate è data da una frazione che ha come denominatore il quadrato
di g(x) e al numeratore la differenza tra la derivata del numeratore per il denominatore ed il numeratore
per la derivata del denominatore:
Y= f/g y’= f’* g –f* g’ / g^2
FUNZIONE DI FUNZIONE:
con esponente = derivate della Potenza * derivate della base
- con binomio(quando argomento nn è una semplice x) = 1 fratto l’argomento per la derivata
- dell’argomento
con la e = se stessa * derivata dell’esponente
- x x
Y = k y’ = 0 Y = √x y’= 1/ 2√x Y = e y’ = e
a a-‐1 -‐x -‐x
Y = x y’ = ax Y = log x y’ = 1/x log Y = e y’ = -‐e
a a
n n n-‐1 -‐x -‐x
Y = √x y’ = 1/ n √x Y = ln y’ = 1/x Y = -‐e e
x x x
Y = a y’ = a ln
a
DERIVATE PARZIALI
posto y = y y costante
0
Z’ = lim h 0 f(x +h, y ) -‐ f(x , y )
x 0 0 0 0
h
sostituire alla x (x + h)
0
sostituire alla y (y )
0
posto x = x x costante
0
Z’ = lim k 0 f(x y + k) -‐ f(x ,y )
y 0, 0 0 0
k
sostituire alla x (x )
0
sostituire alla y (y + k)
0
DESCRIZIONE APPUNTO
Appunti di Matematica sullo studio di funzioni, in cui nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: funzione, dominio, le coniche, parabola con asse di simmetria parallela all'asse x, ellisse, iperbole equilatera, iperbole generica, retta, disequazione a due variabili, funzione di due variabili.
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