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xOy.  Al  variare  di  k  si  ottengono  le  linee  di  livello  che  dovremmo  rappresentare.  L’analisi  del  grafico  ci  da  

l’idea  della  forma  della  superficie  z  =  f(x,y).  

 

RICERCA  DEGLI  ESTREMI  LIBERI    

  z   f(x,y)  

Si  dicono   estremi  liberi  di  una  funzione   i  punti  di  massimo  o  di  minimo  che  si  trovano  

=

considerando  tutto  il  dominio  della  funzione.  

 

1)  Intersezione  superficie  con  fascio  di  piani  paralleli  al  piano  xoy:  

z  =  f(x,y)  

z  =  k  

2)  Equazione  linee  di  livello  

Fascio  di  …..  

3)Rappresento  alcune  linee  di  livello:  dando  dei  valori  a  K    

4)  determiniamo  se  è  un  massimo  o  un  minimo  

  se  K  aumenta  è  un  MINIMO;  

               se  K  diminuisci  è  un  MASSIMO.  

 

 

RICERCA  DEGLI  ESTREMI  VINCOLATI  

  f(x,y)  

Si  dicono   estremi  vincolati  di  una  funzione   i  punti  di  massimo  o  di  minimo  che  si  trovano  

=

z

sottoponendo  la  funzione  a  certi  vincoli,  per  esempio  restringendo  il  dominio  ad  un  intervallo.  

1)        Intersezione  superficie  con  fascio  di  piani  paralleli  al  piano  xOy:  

z  =  f(x,y)  

z  =  k  

2)     Equazione  linee  di  livello  

Fascio  di  …..  

3)   Rappresento  alcune  linee  di  livello:  dando  dei  valori  a  K  

4)   Rappresentiamo  il  vincolo    

Ricercare  la  linea  di  livello  tangente  al  vincolo:  

5)

       f(x,y)=k  

vincolo

abbandonare  sistema  e  poniamo  il  delta  =  0:  

2  

=  0   b –  4ac  =  0  

Δ

troviamo  il  valore  di  K  

6)   Troviamo  il  punto  di  tangenza.    

         la  linea  di  livello  tangente  (con  il  val.  di  k  che  abbiamo  trov.  al  punto  5  

         vincolo  

-­‐Se  il  vincolo  interseca  le  linee  di  livello  con  K  che  decresce  allora  è  un  punto  di  massimo.  

-­‐Se  il  vincolo  interseca  le  linee  di  livello  con  K  che  cresce  allora  è  un  punto  di  minimo.  

Punti  di  massimo  e  minimo  

 

Massimo  relativo  

(x D   z  =,f(x,   massimo  relativo  

Un  punto  P =   y )  dell’insieme   in  cui  è  definita  la  funzione   y),  è  un  punto  di   per  

0  

0   0

la  funzione,  se  esiste  un  cerchio  C  di  centro  P (x ;  y ),  contenuto  nel  dominio  della  funzione,  tale  che  per  

0   0 0

C  

ogni  punto  di   risulti  la  relazione  

   

f  (x;y)  ≤  f  (x ;y )

0 0

  D  è  limitato   D,  

Se  il  dominio   e  la  precedente  disuguaglianza  vale  per  tutti  i  punti  di   allora  il  punto  P è  detto  

0  

massimo  assoluto     z =  f(x ,  

di   e   y )  è  il  massimo  assoluto.  

0     0 0

 

Minimo  relativo   D   z   =   f(x,   minimo   relativo  

Un   punto   P =(x y ),   dell’insieme   in   cui   è   definita   la   funzione   y)   è   un   punto   di   per  

0   0   0 C  

la  funzione,  se  esiste  un  cerchio   di  centro  P  (x ;  y ),  contenuto  nel  dominio  della  funzione,  tale  che  per  

0 0 0

C  

ogni  punto  di   risulti:  

   

f  (x;y)  ≥  f  (x ;y )  

0 0

  D  è  limitato   D,   minimo  

Se  il  dominio   e  la  precedente  disuguaglianza  vale  per  tutti  i  punti  di   allora  P è  detto  

0  

assoluto,   z =  f  (x ,y )

e    è  il  minimo  assoluto.    

0   0 0

 

IL  METODO  ELEMENTARE  (o  SOSTITUZIONE)

 

 

Data  la  funzione  z  =  f(x,y)  soggetta  ad    un  vincolo  Y  =  g(x)  i  punti  estremanti  vincolati  di  f  si  determinano  

individuando  i  punti  di  massimo  e  di  minimo  relativi  liberi  della  funzione  a  una  sola  variabile  Z  =  f(X,g(X)),  

vale  a  dire  della  funzione  che  si  ottiene  sostituendo  nella  f  la  funzione  g  al  posto  di  y.  

 

1)  SOSTITUIRE  IL  VINCOLO  ALLA  FUNZIONE  

2)  CALCOLARE  LA  DERIVATA  PRIMA    DELLA  FUNZIONE  APPENA  OTTENUTA  

3)  Z’  =  0  PER  TROVARI  GLI  EVENTUALI  PUNTI  CRITICI  o  ESTREMANTI  

4)  Z’  >  0  PER  EFFETTUARE  LO  STUDIO  DEL  SEGNO  

5)  STUDIO  DEL  SEGNO                                                          -­‐-­‐            +    

                                                                                                                                                                                   +          -­‐-­‐  

 

  MASSIMO     minimo  

 

 

RICERCA  DEGLI  ESTREMANTI  CON  SISTEMA  DI  VINCOLI  

 

1)  CONSIDERARE  L’EQUAZIONE  ASSOCIATA  DI  CIASCUN  VINCOLO  

2)  VERIFICARE  PER  QUALE  PARTE  DEL  PIANO  LE  DISEQUAZIONI  SONO  VALIDE  (Sostituendo  1  punto  del  

piano)  e  trovare  la  parte  di  piano  che  le  soddisfa  tutte  le  disequazioni:    

LA  SOLUZIONE  DEL  SISTEMA  È  DETTA  DOMINIO  DEI  VINCOLI  

3)  DETERMINARE  LE  LINEE  DI  LIVELLO  

4)  SOSTITUIRE  LE  COORDINATE  DEI  PUNTI    ALLA  FUNZIONE  DI  PARTENZA  

  il  valore  più  basso  è  un  minimo  

  il  valore  più  alto  è  un  MASSIMO  

 

 

 

 

MASSIMI  E  MINIMI  ASSOLUTI  (FUNZIONI  NON  LINEARI)  

 

1 CONSIDERARE  L’EQUAZIONE  ASSOCIATA  DI  CIASCUN  VINCOLO  

2 VERIFICARE  QUALE  PARTE  DEL  PIANO  LE  DISEQUAZIONI  SONO  VALIDE  (sostituendo  un  punto  del  

piano  e  trovare  la  parte  di  piano  che  le  soddisfa  tutte)  LA  SOLUZIONE  DEL  SISTEMA  è  DETTA  

DOMINIO  DEI  VINCOLI  

3 DETERMINATE  I  VERTICI  CHE  DELIMITANO  IL  PIANO  TROVATO  (mettendo  a  sistema  le  2  rette  che  

intersecandosi  formano  il  punto)  

4 DETERMINALE  LE  LINEE  DI  LIVELLO  E  RAPPRESENTARLE  

5 SOSTITUIRE  LE  COORDINATE  DEI  VERTICI  ALLA  FUNZIONE  DI  PARTENZA  (  Z(A);  Z(B);…)  

6 METTERE  A  SISTEMA  L’EQUAZIONE  DELLE  LINEE  DI  LIVELLO  CON  L’EQUAZIONE  DELLA  PRIMA  RETTA  

CHE  LE  LINEE  DI  LIVELLO  INCONTRANO       =0    (troviamo  K)  

7 METTERE  A  SISTEMA  LA  LINEA  DI  LIVELLO  TANGENTE  AL  DOMINIO  DEI  VINCOLI  CON    LA  RETTA  

(troviamo  il  punto  di  tangenza)  

 

 

Se  le  linee  di  livello  incontrano  il  dominio  dei  vincoli  con  k  che  aumenta  allora  il  punto  di  tangenza  un  

MINIMO  ASSOLUTO  

E  l’ultimo  punto  che  le  linee  di  livello  incontrano  è  un  MASSIMO  ASSOLUTO  (lo  vediamo  anche  dal  punto  5)  

 

Il  punto  di  minimo  si  trova  in  corrispondenza  del  più  piccolo  dei  valori  di  K,  il  punto  di  massimo  in  

corrispondenza  del  più  grande  

 

 

DERIVATA  

 

Si  definisce  derivata  della  funzione  nel  punto  X se  esiste  ed  è  finito  il  limite  del  rapporto  incrementale  al  

0,  

tendere  a  0  (zero)  dell’incremento  (h)  

 

SIGNIFICATO  GEOMETRICO:  

La  derivata  indica  il  coefficiente  angolare  della  retta  tangente  in  quel  punto.  Serve  per  determinare  i  punti  

critici.  

 

f  ’(x)>0   f  ‘(x)<0  

 

 

 

 

 

 

 

Derivata  parziale  rispetto  a  X  

 

f’(x )=  lim  h 0    f(x +h)  –F(x )    

0 0 0

                   h  

Sostituisco  prima  (x +h)  alla  X;  e  poi  (x )  alla  X  

0 0

-­‐Se  abbiamo  un  punto  lo  sostituiamo  ala  x  o  alla  y  :  il  risultato  =  m  

-­‐se  >0,  funzione  crescente;  se  <0,  funzione  decrescente  

-­‐se  =  0,  eventuali  punti  critici.  

 

 

Teorema  della  SOMMA  DI  2  FUNZIONI:  la  derivata  della  somma  di  due  funzioni  è  uguale  alla  somma  delle  

derivate:    

                                 

                                 Y=  f(x)  +  g(x)     y’  =  f’(x)  +  g’(x)  

 

Teorema  del  PRODOTTO  DI  2  FUNZIONI:  la  derivate  del  prodotto  di  2  funzioni  è  uguale  alla  derivata  della  

prima  funzione  per  la  seconda  non  derivata,  aumentata  del  prodotto  della  prima  funzione  non  derivata  per  

la  derivata  della  seconda:  

                                   

                               Y=  f(x)  *  g(x)     y’  =  f’(x)  *  g(x)  +  f(x)  *  g’(x)  

 

 Teorema  FUNZIONE  COMPOSTA:  

                                     

                                   Y=  f[g(x)]   y’=  f’  [g(x)]  *  g’(x)  

 

Teorema  FUNZIONE  RAPPORTO:  la  derivate  è  data  da  una  frazione  che  ha  come  denominatore  il  quadrato  

di  g(x)  e  al  numeratore  la  differenza  tra  la  derivata  del  numeratore  per  il  denominatore  ed  il  numeratore  

per  la  derivata  del  denominatore:  

                                     Y=  f/g   y’=  f’*  g  –f*  g’  /  g^2  

 

FUNZIONE  DI  FUNZIONE:  

con  esponente  =  derivate  della  Potenza  *  derivate  della  base  

- con  binomio(quando  argomento  nn  è  una  semplice  x)    =  1  fratto  l’argomento  per  la  derivata  

- dell’argomento  

con  la  e    =  se  stessa  *  derivata  dell’esponente  

- x x

Y  =  k    y’  =  0   Y  =  √x    y’=  1/  2√x   Y  =  e    y’  =  e  

  

a a-­‐1 -­‐x -­‐x

Y  =  x    y’  =  ax     Y  =  log  x    y’  =  1/x  log   Y  =  e    y’  =  -­‐e  

  

a a

n n n-­‐1 -­‐x -­‐x

Y  =   √x    y’  =  1/  n   √x     Y  =  ln    y’  =  1/x   Y  =  -­‐e    e  

  

x x x

    Y  =  a    y’  =  a  ln  

 a

 

 

 

DERIVATE  PARZIALI  

 

posto  y  =  y      y  costante  

0

Z’  =  lim  h 0        f(x +h,  y )  -­‐  f(x ,  y )  

x 0 0 0 0

                         h  

sostituire  alla  x      (x +  h)    

 0

sostituire  alla  y      (y )    

 0

posto  x  =  x      x  costante  

0

 

Z’  =  lim  k 0        f(x  y  +  k)  -­‐  f(x ,y )  

y 0, 0 0 0

                         k  

 

sostituire  alla  x      (x )    

 0

sostituire  alla  y      (y  +  k)    

 0

 

 

 

 

 

 


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AUTORE

Exxodus

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DESCRIZIONE APPUNTO

Appunti di Matematica sullo studio di funzioni, in cui nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: funzione, dominio, le coniche, parabola con asse di simmetria parallela all'asse x, ellisse, iperbole equilatera, iperbole generica, retta, disequazione a due variabili, funzione di due variabili.


DETTAGLI
Esame: Matematica
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
A.A.: 2009-2010

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Exxodus di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università La Sapienza - Uniroma1 o del prof Scienze matematiche Prof.

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