vuoi
o PayPal
tutte le volte che vuoi
FUNZIONE DI DUE VARIABILI
È una legge che associa ad ogni coppia di valori reali (x,y) uno e un solo valore reale di z. La x = variabile indipendente, la y = variabile indipendente e la z = variabile dipendente. DOMINIO = insieme delle coppie di valori che possono essere attribuiti alla coppia x,y per avere z reale.
2
D
C
R
SISTEMA
DI
RIFERIMENTO
CARTESIANO
NELLO
SPAZIO
Preso
un
punto
O
nello
spazio,
consideriamo
tre
rette
passanti
per
O,
che
chiameremo
x,y,z,
perpendicolari
a
due
a
due
e,
su
ognuna
di
esse,
fissiamo
un
sistema
di
ascisse.
Tali
rette
rappresentano
gli
assi
cartesiani
nello
spazio
e
il
punto
O
è
l’origine.
Ad
ogni
punto
è
associata
una
terna
di
valori
(x,y,z),
ascisse
=
x
ordinata
=
y
quota
=
z.
-‐nel
piano
xOy
con
z
=
0,
l’eq
del
piano
//
al
piano
xOy,
è
z
=
k;
-‐nel
piano
xOz
con
y
=
0,
l’eq
del
piano
//
al
piano
xOz,
è
y
=
k;
-‐nel
piano
yOz
con
x
=
0,
l’eq
del
piano
//
al
piano
yOz,
è
x
=
k.
Il
PIANO:
-‐se
manca
il
termine
noto,
passa
per
l’origine;
-‐se
nell’eq
non
compare
una
delle
3
variabili,
il
piano
è
//
all’asse
della
variabile
non
presente;
-‐se
nell’eq
non
compare
una
delle
3
variabili
e
manca
il
termine
noto,
l’asse
di
quella
variabile
giace
sul
piano.
LE
LINEE
DI
LIVELLO
Sono
la
proiezione
ortogonale,
nel
piano
xOy,
della
curva
che
si
ottiene
intersecando
la
superficie
z
=
f(x,y)
con
un
piano
z
=
k,
con
k
costante.
Esempi
di
linee
di
livello:
ISOBARE
=linee
che
uniscono
i
punti
che
si
trovano
alla
stessa
pressione;
ISOTERME
=linee
che
uniscono
i
punti
che
si
trovano
alla
stessa
temperatura;
ISOCOSTI
=linee
che
uniscono
i
punti
che
hanno
lo
stesso
costo;
ISOQUANTI
=
linee
che
in
una
funzione
di
produzione
uniscono
i
punti
che
danno
luogo
alla
stessa
produzione;
ISOIPSE
=linee
che
uniscono
i
punti
che
si
trovano
alla
stessa
altezza;
ISOBATE
=linee
che
uniscono
i
punti
che
hanno
la
stessa
profondità
marina;
la
ricerca
delle
linee
di
livello
di
una
funzione
reale
avviene
mediante
la
soluzione
di
un
sistema
di
2
equazioni,
la
prima
rappresentata
dalla
funzione
z
=
f(x,y)
e
la
seconda
dall’equazione
generica
z
=
k
di
un
piano
parallelo
al
piano
xOy.
Otteniamo
cosi
l’equazione
della
linea
di
livello
che
rappresenteremo
sul
piano
xOy.
Al
variare
di
k
si
ottengono
le
linee
di
livello
che
dovremmo
rappresentare.
L’analisi
del
grafico
ci
da
l’idea
della
forma
della
superficie
z
=
f(x,y).
RICERCA
DEGLI
ESTREMI
LIBERI
z
f(x,y)
Si
dicono
estremi liberi di
una
funzione
i
punti
di
massimo
o
di
minimo
che
si
trovano
=considerando
tutto
il
dominio
della
funzione.
1)
Intersezione
superficie
con
fascio
di
piani
paralleli
al
piano
xoy:
z
=
f(x,y)
z
=
k
2)
Equazione
linee
di
livello
Fascio
di
…..
3)Rappresento
alcune
linee
di
livello:
dando
dei
valori
a
K
4)
determiniamo
se
è un
massimo
o
un
minimo
se
K
aumenta
è un
MINIMO;
se
K
diminuisci
è un
MASSIMO.
RICERCA
DEGLI
ESTREMI
VINCOLATI
f(x,y)
Si
dicono
estremi vincolati di
una funzione
i
punti
di
massimo
o
di
minimo
che
si
trovano
=zsottoponendo
la
funzione
a
certi
vincoli,
per
esempio
restringendo
il
dominio
ad
un
intervallo.
1)
Intersezione
superficie
con
fascio
di
piani
paralleli
al
piano
xOy:
z
=
f(x,y)
z
=
k
2)
Equazione
linee
di
livello
Fascio
di
…..
3)
Rappresento
alcune
linee
di
livello:
dando
dei
valori
a
K
4)
Rappresentiamo
il
vincolo
Ricercare
la
linea
di
livello
tangente
al
vincolo:
5)
f(x,y)=k
vincoloabbandonare
sistema
e
poniamo
il
delta
=
0:
2
=
0
b –
4ac
=
0
Δtroviamo
il
valore
di
K
6)
Troviamo
il
punto
di
tangenza.
la
linea
di
livello
tangente
(con
il
val.
di
k
che
abbiamo
trov.
al
punto
5
vincolo
-‐Se
il
vincolo
interseca
le
linee
di
livello
con
K
che
decresce
allora
è un
punto
di
massimo.
-‐Se
il
vincolo
interseca
le
linee
di
livello
con
K
che
cresce
allora
è un
punto
di
minimo.
Punti
di
massimo
e
minimo
Massimo
relativo
(x D
z
=,f(x,
massimo
relativo
Un
punto
P =
y )
dell’insieme
in
cui
è
definita
la
funzione
y),
è
un
punto
di
per
0
0
0la
funzione,
se
esiste
un
cerchio
C
di
centro
P (x ;
y ),
contenuto
nel
dominio
della
funzione,
tale
che
per
0
0 0C
ogni
punto
di
risulti
la
relazione
f (x;y) ≤ f (x ;y )0 0
D
è
limitato
D,
Se
il
dominio
e
la
precedente
disuguaglianza
vale
per
tutti
i
punti
di
allora
il
punto
P è
detto
0
massimo
assoluto
z
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo
