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Spazi vettoriali su R
V,S,T,...V - insieme (V,+,.)
- ∀t,w ∈ V t+w ∈ V
Prop:
- S1: t+w = w+t commutativa ∀t,w,t1 ∈ V
- S2: (t+w)+t1 = t+(w+t1) associativa
- S3: ∃0V elemento neutro (chiamato zero di V)
- S4: ∀t ∃ -t il opposto cioè ∃ -t ∈ V tale che t+(-t)=0V, w è indicato con -w
Moltiplicazione per scalare
- •: R x V → V λt ∈ V
Proprietà:
- N1: (μ + λ)t = μt + λt
- N2: t(μ+λ) = μt + λt
- N3: (μt) = μ(t)
- N4: 1Rt = ∀ t ∈ V
- N5: V ≠ ∅ è uno spazio vettoriale su R
Esempi: R^3
- R = {(a1,a2,a3) | ai ∈ R}
- (a1,a2,a3) + (b1,b2,b3) = (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
- (0R,0R,0R)
- (a1,a2,a3) = (-a1,-a2,-a3)
- λ ∈ R, x,y,z ∈ R3
- λ(a1,a2,a3) ∈ R3
- Ca = (a1,a2,a3)
- R3
R* = {(a1,a2,...,am) | ai ∈ R}
I:[a,b] ⊂ R
C(I): insieme delle funzioni continue
f: T → R
f,g ∈ C(I)
(f+g)(x) = f(x) + g(x)
f o g funzioni continua (f,g) ∈ C(I) se f(x)+g(x) continue
-P(x) = -f(x) ∈ R
- t ∈ I ⟺ f(t) ∈ R
- λ ∈ R
- f ∈ C(I)
- x ∈ I → λP(x) ∈ P(x)
- ∀x ∈ I, (λf+μg)(x) = (λf)(x) + (μg)(x)
= λ PλP
⇒ C(I) è uno spazio vettoriale
Prodotto scalare su V spazio vettoriale
VxV → R
<v,w> = 0
<v,v>
v,w ∈ V
Proprietà:
- PS1: <w,v> = <v,w> (commutativa)
- PS2: <λv,w> = λ<v,w> (λ ∈ R)
- PS3: <v + u,w> = <v,w> + <u,w>
- PS4: <v,v> ≥ 0
- PS5: <v,v> = 0 → v = 0V
Esempio:
R3 → V = {(a1,a2,a3)}
<v,w> = a1b1 + a2b2 + a3b3 = ∑ aibi
PS1: aibi + a2b2 + a3b3 = b1a1 + b2a2 + b3a3
PS3: (a1 + c1, a2 + c2, a3 + c3) (b1,b2,b3) = ∑ (ai + ci) bi = ∑ ai bi + ∑ ci bi
PS4: <v,v> ≥ 0
<v,v> = 0 → v = (0,0,0)
V = Rn. v = (a1, a2, am) ∈ V
w = (b1, b2, ..., bm) ∈ V
<v,w> = ∑ ai bi (prodotto scalare in Rn)
<v,v> = ∑ ai2 ≥ 0
V spazio vettoriale con un prodotto scalare
dim V = m
U1, U2, ..., Um sono la base di V ortogonale
∀ V ∈ V
N Ui, δiv = 0 i = j es. g.
∀ i v = δ1u1 + δ2u2 + ... + δmum δi ∈ R
Un modo comodo ui = componenti di v
Essendo ui la base ortogonale
<ui,uj> = δ1<ui,u1> + δn<ui,un> = δ1aκ
b u
Oi = <u,v>
An = δi,uj
<v,uk> = b u
N ∈ V
||v|| = √(<v,v>)
<v,w> ≥ 0
||v||
δiui
||v|| = 1
Ai = <ui,v>
Sa V u d
v = ∑ δi ui
{u1, u2, ... Um} base ortogonale
Qii = <δ1
vk = <u1,v> δ2
<δ1 v1,δ2 v2 + ... + <δmvmδm
Um
v = δ2 v
N = ∑ δiun
δiu
< sin mx sin nx > = ∫ sin2(mx)dx
sin mx = (x - x sin mx cos mx) / 2
< mx = sin mx cos nx > = π
1 || sin mx || = √π
∀ n ≥ 1
1 , cosnx sin mx
è sistema ortogonale di funzioni in [−π, π]
1 , cosnx sin mx
è sistema ortogonale di funzioni in [0, π]
1 || cos mx || = √π
|| cos mx ||2 = 1 || sin mx ||2 = 1
e ∈ [−i, i] i , 1 con mx sin mx
1 < 1 , ρ >
< cos mx , ρ >
< sin mx , ρ >
< 0, > = ad δ
< cos mx , ρ > = - ∫ ρ cos nx dx → d a0 = ∫ f
< sin mx , ρ > = ∫ ρ sin mx dx → d bm = ∫ bm m ≥ 1
f(x) = bm m = 1
am = 1/D∫ f(x) cos nx dx
bm = 1/D∫ f(x) sin mx dx
an am cosnx + ∑ bm sin mx = f (x)
∀ f(x) = composè ai punti
TEOREMA:
Sia p(x)∈CC T = T- π) e continua e derivabile in [−π, π]
Allora f(x) conv T e TTdi TC|C]
e converge al valore di f(x)
f(x) = a0 + ∑ (am cos nx ∑ bm sin mx)
∀ x∈ [−i, i]:
In x = ± i la serie converge a f(x2 T f(−Tv)) / 2
esercizio:
f(x) =
- 0, -π < x < 0
- cos x, 0 < x < π
A0 = 1/π ∫π0 cos x dx = 0
Am = 1/π ∫π0 cos x cos mx dx
cos x cos mx = cos (m+1)x + cos (m-1)x / 2
Am = 1/π ∫π0 [ cos (m+1)x + cos (m-1)x ] / 2 dx
= 1/2π [ sin (m+1)x / m+1 + sin (m-1)x / m-1 ]0π
= 0 m ≠ 1
A0 = 0 = Am
A1 = 1/π ∫π0 cos2 x dx = 1/2π [ x + cos x sin x ]0π
= 1/2
bm = 1/π ∫π0 cos x sin mx dx
cos x sin(mx) = sin (m+1)x - sin (m-1)x / 2
bm = 1/π ∫π0 [ sin (m+1)x - sin (m-1)x ] / 2 dx
= 1/2 [ -cos (m+1)x / m+1 ]0π - [ -cos (m-1)x / m-1 ]0π
= 1/2 [ 1/(m+1) + 1/(m-1) ] [ -cos (m+1)x + 1 ]π - [ -cos (m-1)x + 1 ]π
Per m pari: 1/2 [ 2/m(m+1) x + 2/m+1 ] - m+1+π/m+1 + 2π/m+1
Per m dispari: 0
Serie di Fourier:
1/2 cos x n + 1/π ∑k K / (kk - 1) sin (2Kx)
FUNZIONI DI DUE O PIÙ VARIABILI
Se f(x) = y
grafico di f(x,y)
x ∈ I ⊂ ℝ
grafico: {(x,y) ∈ ℝ2 | y = f(x)}
in generale è una curva nel piano
soddisfatta da (x,y) tali che x2 + y2 = a2
quadrato della distanza di P dal centro
circonferenza di raggio a con centro in (0,0)
y2 = a2 - x2
funzioni in più variabili
{(x,y,z) ∈ ℝ3 | z = f(x,y)}
grafico: {(x,y,z) ∈ ℝ3 | z = f(x,y) } = una superficie
Superficie quadriche.
Superfici fatte dai punti (x,y,z) ∈ ℝ3 che soddisfano una
equazione polinomiale di grado due nelle variabili x,y,z
ax2 + by2 + cz2 + dxy + exz + fyz + gx + hy + iz + e = 0
Superficie
x2 + y2 + z2 = r2
Sfera di raggio r con centro nell'origine
x2/a2 + y2/b2 + z2/c2 = 1
ellissoide
{(x,y,z) ∈ ℝ3 | x2/a2 + y2/ b2 = z2}
cilindro di asse z e raggio r
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