Funzioni derivate limiti

FUNZIONI

R → R

• INIEZIONE: se x1 ≠ x2 => f(x1) ≠ f(x2)
• SURIEZIONE: se per ogni y0 ∈ R esiste x ∈ R tale che y0 = f(x)
• BIEZIONE: se f è sia iniettiva che suriettiva (è univoca e invertibile)

es.: f: R → R

x → sin(x)

non è invertibile, quando restringo su un sottoinsieme

per fare in modo che y = sin(x) sia invertibilesi considera f: [-π/2, +π/2] → (codominio) [-1, +1]x → sin(x)è biettiva quindi è invertibile

f^-1 inversa = [-1, +1] → [--π/2, +π/2]

y → arcsin(y)

y = arcsin(x)

Simmetrica rispetto alla bisettrice

es.: f: R → R

x → cos(x)

L'inversa di:

^{-1 1 0 π}

x arco_cos(y)

Y = arc_cos(x)

es. funzione esponenziale:

Y = a^x

(a=10 a=e)

X = log_a(y)

esiste solo se y > 0

FUNZIONI IPERBOLICHE

seno iperbolico:

sinh (x) = ^{ex - e-x} / ₂

coseno iperbolico:

cosh (x) = ^{ex + e-x} / ₂

tangente iperbolica:

tanh (x) = ^{sinh (x)} / _{cosh (x)}

cos²(x) + sin²(x) = 1

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

→ circonferenza goniometrica

→ iperbole equilatera

D (f(x)^g(x))

esponenziale e logaritmo sono funzioni inverse l'una dell'altra

a → ln(a) → e^ln(a) → a

quindi

D (e^{g(x) ⋅ ln(f(x))})

(e^ln(f(x)) = f(x))

D (f(x)^g(x)) = D (e^{g(x) ⋅ ln(f(x))}) = e^{g(x) ⋅ ln(f(x))} ⋅ D (g(x) ⋅ ln(f(x)))

= f(x)^g(x) ⋅ (g'(x) ⋅ ln(f(x)) + g(x) ⋅ D (ln(f(x))))

(D ln(f(x)) = f'(x)/f(x))

= f(x)^g(x) ⋅ (g'(x) ⋅ ln(f(x)) + g(x) ⋅ f'(x)/f(x))

es. D (x^x) f(x) = x g(x) = x

D (x^x) = x^x ⋅ (1 ⋅ log(x) + x ⋅ 1/x) = x^x ⋅ (log(x) + 1)

es.

f(x) = { x² sin(¹/_x) se x ≠ 0 0 se x = 0

grafico:

grafico compreso tra le due parabole perché il seno ha un valore compreso tra 0 e 1

la funzione è derivabile per x ≠ 0 ma f'(0) esiste?

idea: calcolo f'(x) per x ≠ 0 per x ≠ 0 f(x) = x² sin(¹/_x)

f'(x) = 2x ⋅ sin(¹/_x) + x² ⋅ D (sin(¹/_x))

= 2x ⋅ sin(¹/_x) + x² ⋅ cos(¹/_x) ⋅ (-¹/_x²)

= 2x ⋅ sin(¹/_x) - x ⋅ cos(¹/_x)

calcolo:

lim x → 0 f(x) ⋅ (2x ⋅ sin(¹/_x) + x² ⋅ cos(¹/_x))

interpretazione geometrica: la funzione è compresa tra le due parabole, quando le parabole hanno la stessa rete tangente pari a y = 0 allora esendo derivata

APPROSSIMAZIONI DI FUNZIONI:

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + a₂(x-x₀)² + a₃(x-x₀)³ + ... + aₘ(x-x₀)ᵐ

devo determinare per meglio approssimare la f(x)

f'(x) = f'(x₀) + 2a₂(x-x₀) + 3a₃(x-x₀)² + ... maₘ(x-x₀)ᵐ⁻¹

x=x₀

f'(x₀) = f'(x₀)

derivo un’altra volta

f''(x) = 2a₂ + 3*2a₃(x-x₀) + ... + m(m-1)aₘ(x-x₀)ᵐ⁻²

pongo x=x₀

f''(x₀) = 2a₂ + 0 + ... = 2a₂

a₂ = 1/2 f''(x₀)

derivo:

f'''(x) = 6a₃ + 2d a₄(x-x₀) + ...

f'''(x₀) = 6a₃ + 0 + ...

a₃ = 1/6 f'''(x₀)

in generale:

aₘ = f^(m)(x₀)/m!

f(x) ≅ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)²/2! + f'''(x₀)(x-x₀)³/3! +...

es. calcolare e³ˣ:

f(x) = eˣ

f'(x) = eˣ

f''(x) = eˣ

prendo x₀=0

f(x₀) = e⁰ = 1

si trova:

eˣ ≅ 1+1(x) + (x/2!) + x³/6 + ...

+ 1/m! (x/m)

tende all’infinito più velocemente di xⁿ

perciò tende a zero

f(x) ≉ f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)²/2 parabola

Se f''(x₀) > 0 allora convavità verso l’alto

Se f''(x₀) < 0 allora convavità verso il basso

PUNTO DI FLESSO:

punto in cui la concavità della funzione cambia

Serie di potenze nel campo complesso

e^x = 1 + x + ^x2∕_2! + ^x3∕_3! + ... + ^xm∕_m! + ...

Questa serie è assolutamente convergente ∀ x ∈ ℝ

• x₁ = 1: → n.nr. di relazioni reali ℝ

Nell'insieme Q dei numeri razionali:

ℚ = ^{m}∕_{{n} | m, n interi, m ≠ 0}

• x₂ = ^√2: → n.n.r di relazioni in ℚ

√2 indica un numero che elevato al quadrato è = 2

Introduco un "numero" "i" tale che i² = -1.

Si ottiene un insieme ℂ = {a + ib | a, b ∈ ℝ}

• parte reale a
• parte immaginaria b

In ℂ tutte le equazioni fanno soluzioni

Teorema fondamentale dell'algebra:

In ℂ tutte le equazioni fanno soluzioni

Pongo x = it in e^xt:

i² = -1

i³ = -i i⁴ = 1

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

e^it = 1 + it + ^(it)2∕_2! + ^(it)3∕_3! + ^(it)4∕_4! + ^(it)5∕_5! + ...

= 1 + it + ^i2t2∕_2! + ^i3t3∕_3! + ^i5t5∕_5! + ^i6t6∕_6! + ...

= (1 - ^t2∕_2! + ^t4∕_4! - ... ) + i(t - ^t3∕_3! + ^t5∕_5! - ... )

= cos t + i sin t

⇒ e^it = cos t + i sin t → formula di Eulero

Quindi:

e^a+ib = e^a e^ib = e^a (cos b + i sin b)

V = ₄/³πR³

Se derivo la formula del volume della sfera ottengo 4πR² che è la superficie della sfera

Calcolo della lunghezza di una curva

Teorema di Pitagora:

dL = √(dx² + dy²)

dL = √(dx² + [f'(x)]² dx²)

dL = √(1 + [f'(x)]²) dx

La lunghezza totale dell’arco di curva è:

L = ∫_a^b √(1 + [f'(x)]²) dx

Consideriamo la curva: catenaria

y = ch(x) = _{e^x + e^-x} / ²

f(x) = ch(x)

f'(x) = sh(x) = _{e^x - e^-x} / ²

√(1 + [f'(x)]²) = √(1 + sh(x)²) = √ch(x)² = ch(x) perché [ch(x)]² - sh(x)² = 1 (ch(x) è sempre > 0)

Si ottiene:

L = ∫_a^b 1 + f'(x) = [sh(x)]^b_a = sh(b) - sh(a)

es. f(x) = ₁ / ^x

Dominio: x ≠ 0

∫₁^L ₁ / ^x dx = ?

Nell'estremo ₀ (o)), la funzione non è definita

∫_a¹ ₁ / ^x2 dx a > 0

lim_ε→0^- ∫_ε² μ dx / ^x

Integrale Generalizzato

Il limite può non esistere