Formulario, procedure e dimostrazioni - Campi Elettromagnetici

Equazioni del telegrafo

Dominio del tempo

I) ∂V(z,t)/∂z = -(R'I(z,t) + L' ∂I(z,t)/∂t)
II) ∂I(z,t)/∂z = -(G'V(z,t) + C' ∂V(z,t)/∂t)

Dominio della frequenza (fasori)

I) ∂V(z)/∂z = -(R'+jωL')I(z)
II) ∂I(z)/∂z = -(G'+jωC')V(z)

Equazioni delle onde

∂²V(z,t)/∂z² - γ²V(z,t) = 0

Soluzioni

V(z) = V⁺e^-γz + V^-e^γz
I(z) = I⁺e^-γz + I^-e^γz

Per unità infinita

γ = α + jβ = sqrt((R'+jωL')(G'+jωC'))
α → cost. di attenuazione
β → cost. di fase

Impedenza caratteristica

Z₀ = V⁺/I⁺ = R'+jωL' / sqrt(G'+jωC') [Ω]
Per COAX: Z₀ = 60/sqrt(ε_r) ln(b/a) [Ω]
Per Doppino: Z₀ = 120 ln(d/a) per d >> a

Linee senza perdite (o parzialmente resistive)

(R'=G'=0) → γ = jω sqrt(L'C')
I(z) = V(z)/Z₀
Z₀ = sqrt(L'/C') [Ω]

Soluzioni

V(z) = V⁺e^-jωt + V^-e^jωt
I(z) = V⁺(1/Z₀)e^-jωt + V^-(1/Z₀)e^jωt

Equazioni del telegrafo nel dominio del tempo

I) ^∂V(z,t)⁄_∂z = -R·I(z,t) - L^∂I(z,t)⁄_∂t
II) ^∂I(z,t)⁄_∂z = -G·V(z,t) - C^∂V(z,t)⁄_∂t

Dominio della frequenza (fasori)

I) (R + jωL)I(z) = jωC·V(z)
II) (G + jωC)·V(z) = jωL·I(z)

Equazioni delle onde

∂²V(z)−β²V(z) = 0
∂²I(z)−β²I(z) = 0

Soluzioni

V(z) = V⁺e^-γz + V^-e^γz
I(z) = I⁺e^-γz + I^-e^γz

Cavo coassiale

R^' = R_S⁄2π·a·[(a)(b>1)
L^' = ^μln(b⁄a)⁄_2π [H·m]
C^' = ^{(a>b)ln(b⁄a)}

Per questioni un… trascuriamo

LC^' = μεz = c⁄f = 2π⁄cv_pHz = ω⁄β… 1/√̂μεC = 1⁄√̂με

Os.: per coax: fissato b al diminuire d: L' sale C' diminuisce Z_⊗ sale

Impedanza caratteristica

Z_⊗ = ^V_o⁄_Io = √̂δ^{jχ_Ω1c⁄f
Per coax: Z_⊗ = 60⁄√̂εcoax
Per doppino: Z_⊗ = 120⁄ε per d>}

Linee senza perdite

(R^- = G^') ⇒ γ = jβ
Z = √̂¼γ<sup>`0</sup>⁄ιZ<sub>`0</sub>

Soluzioni

• V(z) = \displaystyle _{V z} - jωL^` = j€Ϟ-&const;( Vco