Formulario, procedure e dimostrazioni - Campi Elettromagnetici

Esame Campi elettromagnetici

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Sorrentino Roberto

Università Università degli Studi di Perugia

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Formulario sintetico, alcune dimostrazioni e alcuni procedimenti per risoluzione d'esercizi con spiegazioni chiare ma essenziali.

Contenuto del Formulario:
- Linee trasmissive: eqz. telegrafo, cavo coassiale, eqz. delle onde, impedenza caratteristica, linee loseless, coefficienti e impedenza d'ingresso,periodicità delle linee, invertitore d'impedenza, potenza, adattatore.
- Calcolo vettoriale: prodotti vettoriali, operatore Nabla.
- Teoremi: divergenza, stokes, Helmholtz, eqz. Maxwell (dominio del tempo e fasoriale), continuità, distribuzioni di carica, C.E. e C.M passaggio tra due mezzi, potenziale elettrostatico, unicità, C.E. in cavo coassiale, dipolo elettrico, potenziale vettore, energie statiche, teorema di poynting, propagazione di onde piane in mezzi loseless.

DIMOSTRAZIONI:
- Energia elettrostatica
- Teorema di Poynting (dominio del tempo e fasoriale)
- Eqz. di Helmholtz per C.M. e C.E. generico, nei due domini (tempo e fasori)
- Ortogonalità dei vettori E e H
- Permettività complessa
- Densità di potenza per onde piane
- Vettore di Poynting per onde piane
- Propagazione di onde piane in mezzi senza perdita

- Procedimenti Esercizi:
Polarizzazione vettori complessi, metodo differenze finite, prodotti vettoriali

…continua

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Estratto del documento

Equazioni del telegrafo

Dominio del tempo

I) ∂²V(z,t)/∂z² - R'G'V(z,t) - L'G'∂V(z,t)/∂t = 0

II) ∂²I(z,t)/∂z² - R'G'I(z,t) - R'G'∂I(z,t)/∂t = 0

Dominio delle frequenze (fasori)

I) ∂²V(z)/∂z² = (R' + jωL')(G' + jωC') V(z)

II) ∂²I(z)/∂z² = (R' + jωL')(G' + jωC') I(z)

Cavo coassiale

R' = R_s/2πl (1/l + 1/a) [Ω/m]

L' = μ/2π ln (l/a) [H/m]

G' = 2πfσ/ln(l/l) [S/m]

C' = 2πε/ln(l/a) [F/m]

Per questioni con z=0 trasmissive

L'C' = με

χ_z = C/εr = π/β

ν_pfz = ω/β

C = 1/√με

Oss. per Coax

fissato εr al diminuire di a:
L' sale
C' diminuisce
Z₀ sale

Impedenza caratteristica

Per Coax: Z₀ = 60/√εr ln(l/a) [Ω]

Per Doppino: Z₀ = 120/π ln d/a per d >> a

Linee senza perdite (parzialmente resistive)

(R' ≈ G' ≈ 0) α = 0, β = ω√LC

Solutions:

V(z) = V₀⁺ e^jβz

V(0) = V₀⁻ e^-jβz

I(z) = I₀⁺ e^jβz + I₀⁻ e^-jβz

Per ritorni:

X = α + jβ ≈ √((R' + jωL') (G' + jωC'))

Per certi lim:

V(z) = V₀⁺ e^-jβz e^jβz

I(z) = I₀⁺ e^-jβz + I₀⁻ e^jβz

Coeffi di riflessione

in potenza |Γ| = |Γ| e^jθ₂

Coeffi di riflessione:

Γ = (Z_L - Z₀)/(Z_L + Z₀)

Coeffi di adattamento:

(Z_L = Z₀)

Coefficient di ingresso:

Z_in(jα,jβ) = Z₀(1/Γ)

Continuità linee senza perdite

|V^(z)| = |V₀⁺| [1 + |Γ|² + |Γ|R(z,z₀) ]^1/2

Γ = z_max: z = 2Z_L - Z_min

R_OS = V_max / V_min

Z_in(-ℓ) = jZ₀ tan (pℓ)

Alcuni casi particolari di linee senza perdite

Z_L = 0 R_OS = 0
Z_L = ∞ R_OS = 0

Z_L = 0 quindi Z_min = Z_max

Z_in(-ℓ) = jZ₀ tan (pℓ)

Z_in(-ℓ) = Z₀

Periodicità delle linee di trasmissione

quando ℓ = mλ/2 m ∈ IN Z_in(-ℓ) = Z_L

Invertitore di impedenza

al crescere di Z_L diminuire Z_in(-ℓ)

MISURA DI POTENZA

P_L = P_IN P_AV [|1-|Γ|²|]

Adattazione a λ/4

Z_in = Z₀
Z₀ = √(Z_L/Z_in)

Teorema della divergenza:

trasforma integrale di volume in integrale di superficie

∫∫∫_V ∇⋅A dV = ∫∫_S A⋅n ds

Teorema di Stokes:

trasforma integrale di superficie in integrale di linea

∫∫_S ∇xA⋅n ds = ∮_L A⋅dl

Teorema di Helmoltz:

Qualunque campo è separabile in due componenti:

Conservativa [Rotore del Campo = 0]
Solenoidale [Divergenza del Campo = 0]

Richiami tra goniometria e analisi complessa:

√2 = |z| e ^j(φ₀+π₂)

Es: √j = ± 1 + j / √2, -√j = ± 1 - j / √2

Funzioni iperboliche

sinh(x) = e^x - e^-x / 2 cosh(x) = e^x + e^-x / 2

Relazioni:

sinh(jx) = j sin(x) cosh(jx) = cos(x) sinh²(x) - cosh²(x) = 1

Eqz. di Maxwell

∇⋅E = ρ/ε₀ ∇xE = - ∂B/∂t ∇⋅B = 0 ∇xB = με₀∂E/∂t

In forma integrale:

∮E⋅dl = -∫∂B/∂t ⋅ ds ∮H⋅dl = ∫J⋅ds + ∂D/∂t ⋅ ds ∫∫D⋅ds = ∫∫ρ ⋅ dV ∮B⋅ds = 0

Eqz. di continuità

∇⋅J + ∂ρ/∂t = 0

In forma integrale:

∫J⋅n ds = ∫∂ρ/∂t dV

C.E.M. senza corrente che varia lungo un'unica direzione

I) ∇ x E = -μ ₀ ∂H/∂t ∇ · E ≠ 0 ∂ D/∂t ≠ 0

II) ∇ · H = 0 ∇ · D = ρ D/ε = E

o nel dominio dei fasori:

IE = jk₅H₀ Hv = μE

Permittività complessa

ε.._c = ε₀ - j½ωε₀

ε ₀ = ε' - jε''

ε = ε'(1 - jtanδ)

Densità di potenza [W/m²] per onde piane

U_E = ½ε(E_x² + E_y²) = ½μ(H_z² + H_y²) = V_H

Vettore di Poynting per onde piane

P = ½ |E x H|

P⁺ = ½|E|² + μ^-1|H⁺|²

= ½η H²

P^- = ½|E^-|² - ½η^-1|H|²

Campo E.M. senza correnti variabile solo lungo z

^I ∇ × E = - μ∂H / ∂t
TH E ⊥ H

^II ∇ × H = ε∂E / ∂t
TH E ⊥ H

dimostrazione

∂²H_y / ∂z² = - ε∂E_x / ∂t ∙ ∂H / ∂z = ε∂H / ∂²

Uguagliando termine a termine:

δε_y/dt = - μ∂H_z / ∂z (1)
∂E_z/∂z = - μ∂H_y / ∂t (2)
μ∂H_z = 0 (3)

∂H_y/ε - ∂E_x/∂t = 0 (4)
∂H_x/∂z - ε∂E_y/∂t = 0 (5)
ε∂E_z/ε∂t = 0 (6)

Confrontando a coppie le equazioni:

(1,5) ∂E_y/∂z = μ∂H_x/∂t
(2,4) ∂E_x/∂z = -μ∂H_y/∂t
(3,6) H_z = 0
E_z = 0

Facendo E_z opp. agli eq. del sistema:

∂²x/∂z²ϵ

Quindi utilizziamo l’eq. di Helmholtz (caso omoegen.)

(∂²/∂z² - ϵ²/μ)E_x

Per ognuna di queste ho due onde (progressiva + una soluzione che è somma di due onde progressiva)

Le ripovno τ = μ/ϵ dato per buono:

H_y/E_x = -E_x/H_y = η = √(μ/ϵ)

Quindi

∇⋅E - H = 0

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Publisher

giocic94

A.A. 2016-2017

20 pagine

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SSD Scienze fisiche FIS/01 Fisica sperimentale

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher giocic94 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Campi elettromagnetici e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Università degli Studi di Perugia o del prof Sorrentino Roberto.