Campi Elettromagnetici - Esercizi, esercizi d'esame e formulario

ESERCIZI

4.0.1

• a≠0, k≠0

1) Omogeneo? No, perché ε_r var a con la coordinata z

2) Isotropo? No, varia la diagonale

3) Lineare? Sì, non dipende da E o B

• a=0, k≠0

1) Omogeneo? Sì, non ci sono x, y, z

2) Isotropo? Sì, non varia sulla diagonale

3) Lineare? Sì, non dipende da E/B

• a≠0, k=0

1) Omogeneo? Sì

2) Isotropo? No, varia sulla diagonale

3) Lineare? Sì

• a=0, k=0

1) Omogeneo? Sì

2) Isotropo? Sì

3) Lineare? Sì

16.0.1

ε_r=4, μ_r=3, α_e=0.05 Ω^-1

E=100 x₀ V/m^-1, H=20 y₀ A/m

D=εε_rE, E=1 + α_eμ₀μ_r(H - α_eE)

⟹B=μ₀μ_r(H-α_eE)

=...=(3.5·10^-9 - 9.5·10^-4)x₀ + 3.8·10^-8y₀ [^m/₂]

1. E₁ = 3x₀ + 5y₀ = (3,5,0)

   E(t) = E₀ cos(ωt) - Eⱼ sen(ωt)

   • Eᵣ = 3x₀ + 5y₀
   • Eⱼ = 0

   Eᵣ x Eⱼ = (3,5,0) x (0,0,0) = 0

   → POLARIZZAZIONE LINEARE o x = 0 (φ = ± arctg (5/3) 60°)

   E(0) = 0

   E(π/2) = -Eₜ ← π

   E(3/4 π) = 0 ← 3π/2

2. E₂ = (4 + 5) z₀ = (0,0,4) + j (0,0,5)

   E(t) = Eᵣ cos(ωt) - Eⱼ sen(ωt)

   • Eᵣ = 4z₀
   • Eⱼ = 5z₀

   Eᵣ x Eⱼ = x₀y₀z₀ 004 005 = 0

   → POLAR LINEARE

   E(0) = 4z₀ ← 0°

   E(π/2) = -4z₀ ← π

   E(3/2 π) = 5z₀ ← 3/2 π

   (φ = arctg (5/4) = 89°)

   x = 0

3. E₃ = 4y₀ + j 4z₀ = (0,4,0) + j (0,0,4)

   E(t) = Eᵣ cos(ωt) - Eⱼ sen(ωt)

   = (0,4,0) cos(ωt) - (0,0,4) sen(ωt)

   • Eᵣ = 4y₀
   • Eⱼ = 4z₀

   |Eᵣ| = 4 = |Eⱼ|

   Polarizzazione circolare in senso orario (+)

   Eᵣ . Eⱼ = 0

   ψ = indeterminato

   χ = arctg (4/4) = 45°

3.2.104

q: 1,6·10^-19C

m : 9,09·10^-30 Kg

S:₀ =10^-4 Kg/S²

C = 8,9·10⁸ KgS^-2

w₀ = √^C/_m = √^8,9·108/_9,09·10^-15 = 3,14·10⁴ rad/s

a = S/m = ¹⁰⁴/_9,09·10^-15 = 0,055·10¹⁴ s^-1

w ≪ w₀ (BASSE FREQUENZE)

w ≫ w₀ (ALTE FREQUENZE)

w = w₀

E"₌ ^q2/_2ε⁰mμω0 [ (Δw)²τ² ] = ^q/_2ε⁰mω0

w₀=3,14·10⁴ rad/s

3.3.0

N = 10²⁴

S:₀ = 2,55·10^-3 Kg·m^-3·s^-4

m_e = 9,1·10^-31 Kg

q_e = 1,6·10^-19 C

f:_z = 159 KHz = 159·10³ Hz

a = 2,9·10³¹ S^-4 m^-3

w = 2πf = 2π·159·10³ 9,9·10⁵ rad/s

w ≪ a BASSE FREQUENZE

q = q_e·N = 1,6·10^-19·10²⁴ C = 160 C

m = m_e·N = 9,1·10^-31·10²⁴ = 9,1·10^-10 Kg

Mezzo Dielettrico Disomogeneo Privo di Dissipazioni

ε = 2ε₀

μ = μ₀

1. Campo Elettrico Totale nel Punto P

   E₁ = E_0,1 e^-jk₀Φ₁

   E₂ = E_0,2 e^-jk₀Φ₂

   E₁, E₂ stessa direzione e ampiezza

   nel punto P: E = E₁ + E₂ = E e^-jk₀Φ₁ + e^-jk₀Φ₂ =

   = e₀ + E e₀ =

   = E [cos(k₀Φ₂) - j sin(k₀Φ₂) + cos(k₀Φ₁) - j sin(k₀Φ₁)] e₀ =

   = E [cos(k₀Φ₁) + cos(k₀Φ₂) - j (sin(k₀Φ₁) + sin(k₀Φ₂))] e₀

   • Proprietà Utilizzate

   cos(α) + cos(β) = 2 cos((α + β)/2) · cos((α - β)/2)

   sen(α) + sen(β) = 2 sen((α + β)/2) · cos((α - β)/2)

   α = k₀Φ₁, β = k₀Φ₂

   E = E [2 cos((k₀(Φ₁ + Φ₂)/2) cos((k₀(Φ₂ - Φ₁)/2) - j · 2 sen((k₀(Φ₁ + Φ₂)/2) cos((k₀(Φ₂ - Φ₁)/2))] e₀

   = 2 E cos((k₀(Φ₂ - Φ₁)/2) [cos((k₀(Φ₁ + Φ₂)/2) - j sen((k₀(Φ₁ + Φ₂)/2)] e₀ =

   = 2 E cos((k₀(Φ₂ - Φ₁)/2) · e^{-jk₀(Φ₁+Φ₂)/2} e₀

   • La differenza di fase tra i campi va a influenzare la polarizzazione del campo totale E
   • Se i campi sono in fase (Φ₁ = Φ₂) l'ampiezza di E e massima e pari a 2E
   • Se l'argomento del coseno è tale che k₀(Φ₂ - Φ₁)/2 = π/2 il campo totale ha ampiezza nulla

2. Polarizzazione

   è data dal vettore complesso (scrivete in questo caso)

   2 E cos((k₀(Φ₂ - Φ₁)/2)) e₀ → Pol. lineare

B 3.12.1

E_o = 8 V m^-1

E = 3E_o

H = H_o → MEZZO SENZA DISSIPAZIONI

P_t = ^E_o2⁄_η = ⁸²⁄_η = ⁸²⁄_{^√(4π10-7⁄36π} = 0,5 W m^-2

B 3.12.2

η = 400 + j 200 Ω

E_o = 3x_o V m^-1 → P_t lineamente

○ H ?

ONDAPIANA UNIFARE → λ = 0, α || B → B_o = ζ_o

H_o = ^{B_o x E_o}⁄_η = \frac{z_o x E_o⁄_η =

H_o = ^{8 γ_o}⁄_{400 + j 200} = (6·10^-3 - j3·10^-3) γ_o → P_t lineate

H(r) = H_o e^-jμk_z = (6·10^-3-j3·10^-3) γ_o e^-jωResub>z

○ H||=2

H||=2

= (6·10^-3 -j3·10^-3)γ_o = H_b

E|_z=0 = 3x_o = E_o

E(c, t) = Re [E(r)e^jwt]

H(c, t) = Re [H(r)e^jwt]

= E_F cosωt = 3cosωt x_o

= ^{(6·10-3-j3·10-3)}e^-jωtResub>(z)(cosωt-senωt) γ_o

= 6·10^-3 cosωt γ_o + 3·10^-3 senωt γ_o