Formulario equazioni differenziali

Formulario equazioni differenziali

Primo ordine

g x

dy ( ) ⇒ ⇒

= ❑ ∫ ∫

h y dy= g x dx

( ) ( )

❑

• h(y)dy=g(x)dx A variabili separate

dx h y

( ) P x dx

( )

⇒ '

[ ]

' A x A x

( ) ( )

y P x y+Q x e y x)e

• con (A(x)= Lineari

( ) ( )=0

+ ❑ =Q( ∫ ¿ ¿

⇒ ∫ P x dx

( )

−

'

y x y=0❑ y=c e

• Omogenea

( )

+P ⇒ ⇒

' m 1−m ' −m

• y P x y+Q x y sostituire u= y u y y ' Bernoulli

( ) ( )

+ =0 ❑ =(1−m)

⇒ 1

' 2

y P x y+Q x y R x sostituire u=

( ) ( ) ( )=0

+ +

• Riccati

y y

− ←

1 qualunque soluzione

' ' '

( )

ax dx+ a x y dy

( )

+by +c +b +c

• A coefficienti lineari

a b

= ¿

∼ Se le rette sono parallele ( si pone u=ax+by

a' b '

∼ Se le rette sono incidenti, si calcola il punto in cui si incontrano P(h,k) (con

{ ⇒

x=X dx=dX

+h❑

l’intersezione) poi effettuo se seguenti sostituzioni ⇒

y=Y dy=dY

+k ❑

⇒ y

sostituisco u=

• y’= f(x,y) Omogenea di grado zero

x

Secondo ordine ⇒ [ ]

' '

( ) ( ) ( )

W y x y x y x y x)

= − (

y=C y y

• ❑ +C

y’’+P(x)y’+Q(x)=0 N.B. 1 2 2 1

1 1 2 2

Omogenea ⇒ 2

• y’’+py’+qy=0 (p,q Omogenea a coeff.costanti

R eq.caratteristica p

∈ ¿ ∝ + ∝+q=0

→ αx αx

C e e

+C

1 2

∆> 0❑

∼ y(x)= 1 2

→ α x α x

∆=0❑ y x e e

( )=C

∼ +αC

1 2

1 2