Formulario equazioni differenziali

Formulario equazioni differenziali

Primo ordine

g(x) dy ⇒ ⇒ = ❑ ∫ ∫ h(y) dy = g(x) dx ( ) ( ) ❑ • h(y) dy = g(x) dx a variabili separate

dx h(y) P(x) dx ⇒ '[ ]' A(x) A(x)

( ) y P(x) y + Q(x) e y(x) • con (A(x) = Lineari( ) ( ) = 0 + ❑ = Q(∫ ¿ ¿ ⇒ ∫ P(x) dx ( ) − 'y x y = 0)❑ y = c e • Omogenea

( ) + P ⇒ ⇒ ' m 1 − m ' − m • y P(x) y + Q(x) y sostituire u = y u y y ' Bernoulli

( ) ( ) + = 0 ❑ = (1 − m) ⇒ 1 ' 2y P(x) y + Q(x) y R(x) sostituire u = ( ) ( ) ( ) = 0 + + • Riccati

y y − ←1 qualunque soluzione ' ' '( ) ax dx + a(x) y dy ( ) + by + c + b + c • A coefficienti linearia b = ¿ ∼ Se le rette sono parallele (si pone u = ax + by a' b' ∼ Se le rette sono incidenti, si calcola il punto in cui si incontrano P(h, k)

(con { ⇒ x = X dx = dX + h❑l’intersezione) poi effettuo se seguenti sostituzioni ⇒ y = Y dy = dY + k ❑ ⇒ y sostituisco u = • y’ = f(x, y) Omogenea di grado zero

Secondo ordine

⇒ [ ]' ' ( ) ( ) ( ) W(y) x y(x) y(x) y(x) = − (y = C y y • ) ❑ + C y’’ + P(x) y’ + Q(x) = 0 N.B. 1 2 2 11 1 2 2 Omogenea

⇒ 2 • y’’ + p y’ + q y = 0 (p, q Omogenea a coeff. costanti R eq. caratteristica p ∈ ¿ ∝ + ∝ + q = 0 → α x α x C e e + C1 2 ∆> 0 ❑ ∼ y(x) = 1 2 → α x α x ∆ = 0 ❑ y(x) = C ∼ + α C1 21 2