Analisi (formulario)

Funzioni Iperboliche

sinh_R(x) = (e^x - e^-x) / 2

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

cosh_R(x) = (e^x + e^-x) / 2

Derivate

D(x^m) = mx^m-1

D(lnx) = 1/x

D(a^mx) = ma^mxlnx

D(sinx) = cosx

D(cosx) = -sinx

D(tgx) = 1 + tg²x

D(e^x) = e^x

D(e^u) = u' e^u

D(arcsin(y)) = 1/√(1-y²)

D(arccos(y)) = -1/√(1-y²)

D(arctg(y)) = 1/(1 + y²)

D(sinh_Rx) = cosh_Rx

D(cosh_Rx) = sinh_Rx

D(Φ^-1(x)) = 1/Φ'(x)

Asintoto Obliquo

m= lim_x→∞ (f(x)/x)

q= lim_x→∞ (f(x) - mx)

Sviluppo di una funzione in serie di Taylor

f(x) = Σ_m=0 (f^m(x₀)/m!) (x-x₀)^m se converge

e^x = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ...

sin(x) = x - x³/3! + x⁵/5! - ...

cos(x) = 1 - x²/2! + x⁴/4! - ...

ln(1+x) = x - x²/2 + x³/3 - ... converge per -1 < x < 1 e x = 1 divergente per x < -1 x > 1 e x = -1

Forme Indeterminate

(∞/∞) | (±∞/0) | 0/0 | 0 × ∞ | % | ±∞/∞

Funzioni Iperboliche

senh(x) = ^{ex - e-x}/₂

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

cosh(x), ^{ex + e-x}/₂

Derivate

• D(x^m) = mx^m-1
• D(n^x) = n^xln
• D(a^x) = a^xln a
• D(sen x) = cos x
• D(cos x) = -sen x
• D(tg x) = ¹/_{1 + tg² x}
• D(¹/_{cos² x})
• D(e^x) = e^x
• D(ln x) = ¹/_x
• D(arcsin y) = ¹/_{√(1 - y²)}
• D(arccos y) = ¹/-√(1 - y²)
• D(arctg(y)) = ¹/_{1 + y²}
• D(sinh x) = cosh x
• D(cosh x) = sinh x
• D(φ ¹/_(ψ)) = ¹/φ₁'(x)

Asintoto Obliquo

• m= lim _x->∞ ^f(x)/_x
• q= lim _x->∞ (f(x) - mx)

Sviluppo Di Una Funzione In Serie Di Taylor

f(x)= ∑ _m=0 ^f(m)(x₀)/_m! (x - x₀)^m se converge

e^x = 1 + x + ^x2/_2! + ^x3/_3! + ...

sin(x) = x - ^x3/_3! + ^x5/_5! - ...

cos(x) = 1 - ^x2/_2! + ^x4/_4! - ...

ln(1 + x) = x - ^x2/₂ + ^x3/₃ - ... converge per -1 < x < 1 e x=1

diverge per x < -1 x > 1 e x=-1

Forme Indeterminate

• ∞/∞
• 0/0
• 0*∞
• %
• ±∞/±∞

LIMITI NOTEVOLI

1. lim_x→0 ^sin(x)/_x = 1
2. lim_x→0 ^1-cos(x)/_x = ¹/₂
3. lim_x→∞ (1 + ¹/_x)^x = e
4. lim_x→0 ^{log(1 + x)}/_x = 1
5. lim_x→0 ^{ex - 1}/_x = 1

pari: f(x) = f(-x) \ dispari: f(-x) = -f(x)

Simmetrica rispetto asse y (coseno)Simmetrica rispetto origine (seno)

funzioni equivalenti

(x→0)

• sin x ≈ x
• tg x ≈ x
• arcsin x ≈ x
• e^x ≈ 1 + x
• log (1 + x) ≈ x
• 1 - cos x ≈ ^x2/₂

teorema fondamentale dell'algebra:

e^it = cos t + i sin t

INTEGRALI:

b∫_af(c)dx = -a∫_bf(x)dx

a∫_bf(x)dx = G(b) - G(a)

G è primitiva di f

integrali di funzioni elementari

• ∫Kdx = Kx + c
• ∫xⁿdx = ^xn+1/_n+1 + c
• ∫¹/_xdx = ln|x| + c
• ∫sin(x)dx = -cos(x) + c
• ∫cos(x)dx = sin(x) + c
• ∫e^xdx = e^x + c

regole di integrazione

• per sostituzione
• per parti; ∫f(x)g(x) = f(x)g(x) - ∫f'(x)g(x)dx

Volume solido di rotazione attorno x:V = π∫_a^b[f(x)]²dx

Lunghezza curva:L = b∫_a√[1 + (f'(x))²]dx

curva parametrica:y = C sin atL = Sb(a) - Sb(0)

integrale generalizzato

• e_m,n = e^a∫^b dx/_x^m
• ∫_a^bf(x)dx = _m=0Σ^∞f(m)

• ∫1/x = artg ¹/_x/a
• ∫1/√1 - x² = arcsin ¹/_a

ANALISI

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

equazioni differenziali del 1^o ordine

1. a variabili separabili:

   y'(t) = a(t) · b(y)

   ∫1/b(y) dt = ∫a(t) dt

2. lineari:
   • omogenee:

     y'(t) + a(t)y(t) = 0

     y(t) = c · e^-∫a(t) A(t) = ∫a(t) dt

   • non omogenee:

     y'(t) + a(t)y(t) = φ(t)

     metodo della variazione della costante

     y'(t) + [c(t) · e^∫a(t) = φ(t) e^-∫a(t)]

     c(t) = ∫[φ(t) e^∫a(t)] dt + e^-∫a(t)

     A(t) = ∫a(t) dt

equazioni differenziali del 2^o ordine lineari

1. omogenee:

   a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = 0

   a, b, c ∈ ℝ, costanti

   considero equazione di secondo grado associata: a λ² + bλ + c = 0

   • Δ > 0

   y(t) = a₁ e^⁢l₁t + a₂ e^⁢l₂t l₁, l₂ ∈ ℝ

   • Δ < 0

   y(t) = a₁ e^αt cos(βt) + a₂ e^⁢αt sin(βt)

   l = α ± iβ, α, β ∈ ℝ, l ∈ ℂ

   • Δ = 0

   y(t) = a₁ e^⁢lt + a₂ te^lt

2. non omogenee:

   a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = φ(t)

   • metodo della variazione delle costanti:

   y(t) = a₁(t) e^⁢l₁t + a₂(t) e^⁢l₂t

   calcolo y'₁(t) e y'₂(t), sostituisco nell'equazione differenziale e trovo

   a₁(t) e a₂(t)

   • metodo della somiglianza:

   soluzione assomiglia a φ(t)

   1. f(t) è un polinomio di grado n:
      • y(t) = φ(t) se c != 0 φ(t) polinomio di grado m
      • y(t) = tφ(t) se c = 0, b != 0
      • y(t) = t²φ(t) se c = 0, b = 0, a != 0
   2. f(t) è del tipo f(t) = a e^xt

      y(t) = g(t) e^xt g(t) deve essere determinato