Analisi (formulario)

Analisi delle funzioni iperboliche

Funzioni iperboliche

sinh(x) = ^{ex - e-x}/₂

cosh(x) = ^{ex + e-x}/₂

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Derivate

• D(x^m) = mx^m-1
• D(1/x) = ^-1/_x²
• D(sinx) = cosx
• D(cosx) = -sinx
• D(tg x) = 1 + tg²x
• D(e^x) = e^x
• D(e^u(x)) = e^u(x)
• D(arcsin(y)) = ¹/_√1-y²
• D(arccos(y)) = ^-1/_√1-y²
• D(arctg(y)) = ¹/_{1 + y²}
• D(φ^-1(y)) = ¹/_φ'(x)

Asintoto obliquo

m = lim x→∞ ^f(x)/_x

q = lim x→∞ (p(x) - mx)

Sviluppo di una funzione in serie di Taylor

f(x) = Σ_m=0^{∞ f(m)(x₀)}/_m! (x-x₀)^m se converge!

e^x = 1 + x + ^x2/₂ + ^x3/_3! + ...

sin(x) = x - ^x3/_3! + ^x5/_5! - ...

cos(x) = 1 - ^x2/_2! + ^x4/_4! - ...

(1 + x)^α = 1 + αx + ^α(α-1)x2/_2! + ^{α(α-1)(α-2)x3}/_3! + ...

Converge per -1 < x < 1 e x = 1

ln(1 + x) = x - ^x2/₂ + ^x3/₃ + ...

Diverges per x < -1, x > 1 e x = -1

Forme indeterminate

∞⁰ 1^∞ (-∞)⁰ 0(±∞)

∞/∞ 1^∞ 0/0

Funzioni iperboliche (ripetuto)

sinh(x) = ^{ex - e-x}/₂

cosh(x) = ^{ex + e-x}/₂

cosh²(x) - sinh²(x) = 1

Derivate (ripetuto)

• D(x^m) = m x^m-1
• D(ln x) = 1/x
• D(sinx) = cosx
• D(cosx) = -sinx
• D(tg x) = 1 + tg²x
• D(^ex/_e^x) = ^cos2x/_e^x
• D(ln x) = 1/x
• D(arcsin^x) = 1/^√(1-y2)
• D(arccos^y) = -1/√(1-y²)
• D(arctg^y) = 1/(1-y²)
• D(ϕ²(y)) = 1/ϕ'(x)
• D(sinh x) = coshx
• D(cosh x) = sinhx

Asintoto obliquo (ripetuto)

m = lim^x→∞ f(x)/x

q = lim^x→∞(ϕ(x)-mx)

Sviluppo di una funzione in serie di Taylor (ripetuto)

f(x) = ∑_m=0^{∞ fm(x₀)}/_m! (x-x₀)^m se converge!

^ex = 1 + x + ^x2/_2! + ^x3/_3! + ...

sin(x) = x - ^x3/_3! + ^x5/_5! - ...

cos(x) = 1 - ^x2/_2! + ^x4/_4! - ...

^ln(1+x) = x - ^x2/₂ + ^x3/₃ - ...

Converge per -1 < x < 1

Forme indeterminate (ripetuto)

∞ / ∞ 1^∞ ∞⁰ 0(∞) 0⁰ % ∞ 1 ∞/∞

Limiti notevoli

1. ^lim_x→0 sin(x) / x = 1
2. ^lim_x→0 (1 - cos(x)) / x² = 1 / 2
3. ^lim_x→+∞ (1 + 1/x)^x = e
4. ^lim_x→0 log(1+x) / x = 1
5. ^lim_x→0 e^x - 1 / x = 1

Funzioni pari e dispari

Pari: f(-x) = f(x)

Dispari: f(-x) = -f(x)

Simmetrie delle funzioni

Simmétrica rispetto asse y (coseno)

Simmétrica rispetto origine (seno)

Funzioni equivalenti (x→0)

• sin x ~ x
• tg x ~ x
• arcsin x ~ x
• e^x - 1 ~ x
• ln (x+1) ~ x
• 1 - cos x ~ 1 / 2 x²

Teorema fondamentale dell’algebra

e^it = cos t + i sin t

Integrali

∫_b^af(x)dx = -∫_a^bf(x)dx

∫_a^bf(x)dx = G(b) - G(a)

G è primitiva di f

Integrali di funzioni elementari

• ∫Kdx = Kx + c
• ∫xⁿdx = xⁿ⁺¹ / n+1 + c
• ∫1 / x dx = ln|x| + c
• ∫sin(x)dx = -cos(x) + c
• ∫cos(x)dx = sin(x) + c
• ∫e^xdx = e^x + c

Regole di integrazione

1. Per sostituzione
2. Per parti: ∫f(x)g'(x)dx = F(x)g(x) - ∫F'(x)g(x)dx

Volume solido di rotazione attorno a x

V_x = π∫_a^b(f(x))²dx

Lunghezza curva

L = ∫_a^b√1 + f '(x)²dx

Curva catenaria

y = C ch (a)

L = S_R(b) - S_R(a)

Integrale generale e esteso

∫_e.m^e.o(1 + 1/x)^xdx

∫f(x)dx = ∑_{n: n^α}f(m)

∫1 / √1 - x² = arcsin (√1 - a

Equazioni differenziali del primo ordine

1. A variabili separabili: y'(t) = a(t) · b(y); ∫ y'(t) dt = ∫ a(t) · b(y)
2. Non omogenee: y(t) = a(t), a(t) · y(t) = 0
3. Omogenee: y(t) = c · e^-q₁; A(t) = ∫ a(t) dt
4. Non omogenee: y'(t) + a(t)y(t) = ρ(t)

Equazioni differenziali del secondo ordine lineari

1. Omogenee: a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = ρ(t); a,b,c ∈ ℝ, costanti
2. Considero equazione del secondo grado associata: aα² + bα + c = 0
3. ∆ > 0: y(t) = A e^λ₁t + A₂ e^λ₂t, λ₁, λ₂ ∈ ℝ
4. ∆ = 0: y(t) = (A + Bt) e^λ₁t, λ₁ = λ₂ ∈ ℝ
5. ∆ αt (cos(pt) + i sin(pt))(e^αt((cos(pt)) + i sin(pt)))
6. Non omogenee: a y''(t) + b y'(t) + c y(t) = ρ(t)
7. Metodo delle variazioni delle costante: y(t) = a₁(t) e^λ₁t a₂(t) e^λ₂t
8. Sostituisco nell’equazione differenziale e trovo a₁(t), a₂(t)
9. Metodo delle somiglianze: soluzione assomiglia a ρ(t); f(t) è un polinomio al grado s
10. y(t) ≠ p(t) se c ≠ 0; b ≠ 0
11. y(t) = e^λt polinomio al grado r; g(t) = f(t)