Formulario Elettromagnetismo

ELETTROSTATICA

Forze di Coulomb: _{F e} = k _q1q2 ^r_^² = 1/4πε₀ q₁q₂/r²

ε_o 8.854 x 10^-12 c²/Nm²

Campo elettrico: _{E ^} = _Q/_4πε0 1/r²

Densità di carica:

• superficiale: ρ = Q_TOT/_σ , σ = Q_TOT/_Σ
• lineare, volumetrica ρ_TOT= ∫ ρ dτ = ∫ σ dΣ, ∫ λ dℓ

Campo elettrico a distanza x da un filo carico: _{E ^}(x)= 1/2πε₀ λ/x

Spira di raggio r: _{E ^}(x) = 1/2ε_o λxπ/(x²+πl²)

Anello di raggio r: _E^(x)= 1/2ε₀ x π/_{(x² + πl² )³}

Disco di raggio r: _{E ^}(x)= _σ/_2ε0 (1-1/√(x² + πl²) )^_nc

_σ/2ε₀ (1-cos(αx))x^₂

Piano di carico: _E^{^}(x) = lim _ε σ/2ε₀ {1 - |x|/√(x² + πl²) }

σ/_2ε0 x

Flusso di un campo elettrico in una sfera

ϕ_Σ (_{E ^}) = ∮_{Σ E ^} dΣ = Q/4πε₀ 1/r² = Q/ε₀

Campo elettrico in una sfera piena carica:

• E = { Q/4πε₀ r³ - r, r < R
• Q/4πε₀ 1/r² - βπ/3ε₀ r > R

Elettrostatica

Forze di Coulomb: ^Fe⁄_r² = k ^q₁q₂⁄_r² = 1⁄4πε_o ^q₁q₂⁄_r²

ε_o = 8.854 x 10^-12 c² ⁄ Nm²

Campo elettrico: Ē = ^Q⁄4πε_o ¹⁄_r²

densità di carica:

superficiale σΣ = ^Q_TOT⁄_Σ

lineare, volumetrica ρTOT = ∫ρdv = ∫σdΣ = ∫λdℓ ^Q_TOT⁄_v   ^Q_TOT⁄_ℓ

• Campo elettrico e distanza: Ē(x) = ¹⁄_2πεo ^λ⁄_x x̂ da un filo carico
• Sfina di raggio R Ē(x) = ¹⁄_2εo ^λxπ⁄(r^{x2+R2)3) x̂}
• Anello di raggio R Ē(x) = ¹⁄_2εo ^λxπ⁄(r^{x2+R2)3) x̂}
• Disco di raggio R Ē(x) = ^σ⁄_2εo (1 - ^{1}⁄(x²+R²)ⁿ) x̂
• ^{σ_o(1-cos(α))}⁄_2εo x̂
• Piano di carico Ē(x) = lim_n->∞ [^σ⁄_2εo (1 - ^|x|⁄(x²+R²]) x̂ =^σ⁄ _2εo x̂

• Flusso di un campo elettrico in una sfera: ΦΣ(Ē) = ∮ Ē · dΣ = Q⁄4πεo 1⁄r2 godΣ = Q⁄εo
• Campo Elettrico in una sfera piena carica:E =
  • {Q⁄4πεo 1⁄R3 R n < R
  • {Q⁄4πεo 1⁄r2 = (rR⁄3εo) R->∞

CAMPO E IN UNA SFERA CARICA:

E = { Q / 4πε₀ r²

Teorema di Gauss:

Φ(E) = Qint / ε₀

Teorema di Gauss differenziale:

div E = ρ / ε₀

• Potenziale generato da una carica puntiforme q in un punto a distanza r: V(r) = ∫ E ds = q / 4πε₀r
• N cariche: V(r) = 1 / 4πε₀ ∑ (qi / |r - ri|) + C
• Distribuzioni di carica: V(r) = 1 / 4πε₀ ∬ (dτ' / |r - r'|) ρ(r') V(r) = 1 / 4πε₀ ∫ (σ(r') / |r - r'|) dΣ V(r) = 1 / 4πε₀ ∮ (λ(r') / |r - r'|) dl'

Relazione tra potenziale e campo:

E = -grad V

Cartesiane: E = { Ex = -∂V/∂x Ey = -∂V/∂y Ez = -∂V/∂z

Cilindriche: E = { Er = -∂V/∂r Eφ = -1/r ∂V/∂φ Ez = -∂V/∂z

Sferiche: E = { Er = -∂V/∂r Eθ = -1/r ∂V/∂θ Eφ = -1/rsinθ ∂V/∂φ

Momento di dipolo:

p̅ = q d̅

Campo elettrico di dipolo:

E̅ = ¹/_4πε0 [3 (p̅·n̅) n̅ - p̅]

= ¹/_4πε0 [^{3n (p̅·n̅) - p̅}/_π³]

Se p̅ = ρẑ vale:

E =

• E_x = ρ ¹/_4πε0 ^x₃/_π⁵
• E_y = ρ ¹/_4πε0 ^y₂/_π⁵
• E_z = ρ ¹/_4πε0 ^{3cosθ - 1}/_π³

= ρ¹/_4πε0 (^3z2/_π⁵ - ¹/_π²)

Momento torcente di dipolo:

τ̅ = [p̅ × E̅]

F̅ = ∑_x, ∑_y, ∑_z

Energia del dipolo:

U = -E̅·p̅

Potenziale approssimato con momento di dipolo e quadripolo

= ⁴/_4πε0 + ...

Circuiti Elettrici

Capacità: C = ^Q/_V

Condensatore Sfera: C = 4πε₀ R₁ R₂/_{R2 - R1}

Energia: ¹/₂ CV² = ¹/₂ Q²/_C = ¹/₂ QV

Lavoro: 2 [ΔU] nel {nome} generatore

Energia campo elettrico:

U_es = ε₀ / 2 ∫ E² dv

Discontinuità del campo elettrico:

1. E_2⊥ - E_1⊥ = ^σ/_ε0
2. E_2∥ = E_1∥

Condensatore riempito in parte con dielettrico

C = (a + (e_r-1)x)

Densitá di carica di polarizzazione

s_p =

s_p = - = - div

Relazioni dielettrici:

= e₀ (e_r-1)

= e₀ +

div =

= e

D

=

Discontinuita del campo elettrico

₁₁ = ₂₁

₁+e_r2 = _r1 e₁₁

=>

tan =

tan =

Formulario Elettromagnetismo

• Magnetostatica
  • I formula di Laplace:
    • dF = I d_ℓ x B
    • F = q v x B
  • Forza di Lorentz
  • Frequenza di ciclotrone:
    • ω = ^qB/_m
  • Raggio di curvatura:
    • R = ^mv₀/_qB
  • Momento magnetico
    • spira/circuito
    • m = IS m̂
  • Momento Meccanico:
    • M = m x B
  • Forze:
    • F_z = -∇(m̂ • B)
  • Energie:
    • U_H = -m • B
  • I formula di Laplace:
    • B(r̂) = ^μ₀/_4π ⌠_τ ^{J(r̂') x Δr̂}/_|Δr̂|³ dτ
• Campo magnetico
  • FILO: B₀(r̂) = ^μ₀I/_2πr t̂
  • SPIRA:
    • B₀(z) = ^μ₀I2/_{2(R²+z²)^3/2}
    • = ^μ₀/_2π ^m/_{(R²+z²)^3/2}
  • SOLENOIDE:
    • B₀ = n μ₀ I ẑ
• Potenziale vettore
  • totA = ȧ = B
  • A = ^μ₀/_4π ⌠_τ ^J/_|Δr̂| dτ
• Corrente generatrice
  • dalla rotazione: di = dg / T = dg / 2π = ω

Magnetismo nella materia

H=B- MM/

B= μμH, M= χH

χ_H= μ=

• Densità di corrente amperiana

JN= rot M

Jχ= H× m

• Condizioni di raccordo

H_2n/H_1n=μ₂/μ₁, B_2t/B_1t=μ₂/μ₁

• Circuiti magnetici
• Resistenza: R: ∫l/ S
• Circuito RC

f = Q/ C=Rl,I(t) = C dVdt, τ= RC, V(t) = f(1 - e^-t/τ)

• Circuito RL

f = LdIdt=Rl, I(t) = f/R(1 - e^-t/τ)

• fem: f = fem =RI
• Potenza dissipata: P= Rl²
• Potenza generatore: P = V→I
• Legge di Hopkins: F:NI=RΦ, F_e: ∮H.de
• Riluttanza: R: ∫ de/ μS

ELETTRO MAGNETISMO

• fem indotta: f_i = -αdΦ(B)
• Campo elettromotore: E_e = v x B , ∮E·dℓ = f_i
• Autoinduzione: L = Φ(B) / I
• per un solenoide: L = μ_omℓπn²r²
• Legge di Felsi: ΔQ = 1/R [Φ_i - Φ_f]
• Mutuo induzione:
  • Φ₁(B₂) = M_I2, Φ₂(B₁) = M_I1
  • fem₂ = -∫αI₁/dt
• Densità energia magnetica: μ_M = 1/2 B²/μ = 1/2 μH² = 1/2 H·B
• energia magnetica:
  • U_M = 1/2 ∑_i I_iΦ_i
  • U_L = 1/2 L I²
  • U_n = 1/2 ∑_i,j M_ij I_iI_j
• Densità di corrente di spostamento: J_s = ε_o∂E/∂t
• Vettore di Poynting: S = 1/μ E x B
• Eqn. di Maxwell nel vuoto:
  • div E = ρ/ε_o
  • div B = 0
  • rot E = -∂B/∂t → ∮E·dℓ = -d/dt Φ(B)
  • rot B = μ_o(J + J_s) → ∮B·dℓ = μ_oI + μ_oI_s