Formulario, Analisi matematica II

Equazioni Differenziali

I ordine - Coefficienti Variabili

Homogene b(x) = 0

y'(x) = a(x) y(x) → y(x) = C e^∫a(x)

Non Homogene b(x) ≠ 0

y'(x) = a(x) y(x) + b(x)

y(x) = e^∫a(x) [∫b(x) e^-∫a(x) dx + C]

Con Particolare

• a(x) = 0, y'(x) = b(x) → y(x) = B(x) + C
• b(x) = 0, a(x) = 1 → y'(x) = y(x) → y(x) = e^x

I ordine - A variabili separabili

Se g(y) ≠ 0 → y'(x) = f(x) / g(y)

y(x) = costante

Se g(y) + o → y(x) = G^-1 o F(x) o C

con G = primitiva di 1 / g, C = G^-1 (inverso, non reciproco)

I ordine - Coefficienti costanti

Caso Homogene f(x) = 0

1. Δ > 0

y(x) = C₁ e^λ₁ x + C₂ e^λ₂ x

1. Δ = 0

y(x) = e^βx (C₁ + C₂ x)

1. Δ < 0

y(x) = e^αx (C₁ cos βx + C₂ sen βx)

con α = - a / 2, β = √|Δ| / 2

Teorema

Se y₁, y₂ sono due soluzioni particolari lineari, (c₁y₁ + c₂y₂) è l'integrale generale, rappresentato con la somma delle soluzioni.

Teorema

Se y₁, y₂ sono due soluzioni particolari linearmente indipendenti allora (c₁y₁ + c₂y₂) è l'integrale generale rappresentato con la somma delle soluzioni.

Ordine

n D.E. a coefficienti costanti, omogenea

y⁽ⁿ⁾ + a_ny^(n-1) + a_n-2y^(n-2) + … + a_ny^n-1 = 0

Soluzione con l'intersezione dei casi precedenti.

Attenzione alla molteplicità delle soluzioni.

- Caso non omogeneo: P(x) ≠ 0 allora

y⁽ⁿ⁾(x) = e^{- a_nx} y⁽ⁿ⁾(x) + a_n-1y^(n-2)(x) + … + a₁y(x) + e^nx(x) = f(x)

Calcoliamo l'omogenea associata ed aggiungiamo la funzione vaga identificata con il metodo delle funzioni simili.

Se f(x) = e^mx P_m(x) non grado di P_m(x)

P_(x) ≠ 0 - e^ω(x) = e^m_ω P_m(x) * (polinomio di grado m con lo stesso coefficiente

- P'(x) ≠ 0 - e^m_ω e^-3 P_m(x) * x^b

con b = multiplicità radice

Analisi III

Teoremi

Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz

∀x,y∈ℝ ^|2xy|≤(x²+y²)

Dimostrazione

0≤(x-y)²=x²+y²-2xy --> 2xy≤(x²+y²)

0≤(x+y)²=x²+y²+2xy     -2xy≤(x²+y²)

2(x²+y²) => (x²+y²)≤2xy≤(x²+y²)

∀x,y∈ℝ^{n |x·y|}≤|x|²|y|²

Dimostrazione

2|∑_k=1ⁿx_ky_k|≤∑_k=1ⁿ(x_k²+y_k²)

2|∑_k=1ⁿx_ky_k|≤∑_k=1ⁿx_k² + ∑_k=1ⁿy_k² ≤ |x|²|y|²

Limiti (di funzioni a valori scalari)

Sia f:N≬ℝⁿ¯≡ℝ¯ℝ, e x₀∈ℝ punto di accumulazione per D_f

lim_x→x0 f(x) = l ∈ ℝ se e solo se

∀ε≡0 r.c. ∀x∈N∑x−x₀•f(x)−l_ℝ< ―ℚℬ;ε

Oppure.

∀ε≡0 ∨x∈N―≬ωx₀n + x^y₀•f(x)−l_ℝ< ―ℚε

Proposizione

Se f è differenziabile in x ∈ D ⊆ ℝⁿ allora f è continua in x.

Altra Definizione

Differenziabilità

Sia f: D ⊆ ℝⁿ → ℝ^m aperto di ℝⁿ. x ∈ D. f si dice differenziabile nel punto x se ∃ L: ℝⁿ → ℝ^m ∋ f(x + ẟ) =

f(x) + L(ẟ) + o(||ẟ||)

∀ h ∈ ℝⁿ

(f(x + h) - f(x) - L(h))/||h||

lim_h→0 o(||ẟ||)/||ẟ|| = 0

lim_h→0 (f(x + h) - f(x) - L(h))/||h|| = 0

Seconda Proposizione

Se f è differenziabile in x ∈ D ⊆ ℝⁿ allora f è derivabile in x.

Teorema del Differenziabile

Se D ⊆ ℝ → ℝ e derivabile in I; se le derivate parziali sono continue

in un intorno di x allora f è differenziabile in x.

• F Differenziabile → F Continua
• F Non Continua → F Non Differenziabile
• F Differenziabile → F Derivabile
• F Non Derivabile → F Non Differenziabile
• F Derivabile → F Continua

Problema di Cauchy

Teorema di esistenza ed unicità del problema di C

(PC)     y^'(x) = g(x) y(x) + b(x)

          y(x₀) = y₀

                                         x₀ ∈ I

                                 y₀ ∈ R

interno      soluzioni

interno, diverso, limitato

Se g, b ∈ C sono funzioni continue in I (compatto) ⊂ R

allora ∀ y₀ ∈ R esiste una ed una sola soluzione y(x) del problema di Cauchy

Integrazione in 2 Variabili

Integrali doppi su domini normali

Formule di riduzione

A. Dominio normale rispetto a x

A = { (x, y) ∈ ℝ² : α(x) ≤ y ≤ β(x), x ∈ [a, b] }

- α, β funzioni continue su [a, b]

- α(x) ≤ β(x) ∀ x ∈ [a, b]

- a, b ∈ ℝ, a < b

Se f è continua in A

∬_A f(x, y) dx dy = ∫_a^b (∫_α(x)^β(x) f(x, y) dy) dx

B. Dominio normale rispetto a y

B = { (x, y) ∈ ℝ² : γ(y) ≤ x ≤ δ(y), y ∈ [c, d] }

- γ, δ funzioni continue su [c, d]

- γ(y) ≤ δ(y) ∀ y ∈ [c, d]

- c, d ∈ ℝ, c < d

Se f è continua in B

∬_B f(x, y) dx dy = ∫_c^d (∫_γ(y)^δ(y) f(x, y) dx) dy