Formulario analisi 2

Resto di Lagrange:

T0 k n!n=0ξex k+1 ξx−T =Resto di Lagrange: . Se x<0 allora , se x>0 allorae x , 0<ξ< x <e <1ek (k +1)! k+1x| |ξ x xξ ξx | | xe quindi , da cui perché la−T ≤ {e =0<e =e <max {e e max , 1}1<e e ,1} k (k +1) !quantità max{…} è costante in x, mentre il rapporto va a zero per k che va a infinito.| |x xPerciò , cioè la serie converge a f(x).−T ≤ → →e 0 T ek kSerie di Fourier aSerie di funzione +∞ +∞2π-periodica* ∑ ∑0 + + (a cos( kx) b sin kx)k k2 n=1 n 1Calcolo dei coefficientiπ πTermine noto** 1 2∫ ∫= ( = (a f x) dx f x) dxπ π0 −π 0π πcoseno 1 2∫ ∫= ( (kx) = (a f x) cos dx f x) cos( kx) dxπ πk −π 0π πseno 1 2∫ ∫= ( = (x )sin (b f x) sin( kx) dx f kx) dxπ πk −π 0Somma della serie*** ( )+ ( )f x f xPOS NPOS=S 2Identità di Parseval π 2 +∞a1 ∫

² + ²(² + ²)f(x)dx a bπ k k²-π k= 1
Se la funzione non è periodica, allora si considera la funzione ristretta e periodica(x)f̄nell'intervallo (-π,π] e si calcola la serie di Fourier sulla restrizione.
**Se la funzione è pari, avrò una serie di soli coseni: dovrò calcolare soltanto il termine a₀ e il termine a_k. Se la funzione è dispari, avrò una serie di soli seni: dovrò calcolare soltanto i termini b_k.
Per il calcolo dei coefficienti di Fourier si ha:
π π +∞ +∞∫ ∫ ∑ ∑ , cioè:
(²)cos(kx)dx = (²(kx) + ²(kx))f(x) a cos b sin cos(hx) dxk k-π -π k=0 k=1π π+∞∫ ∑ ∫ , dove l'integrale è pari a zero se k≠h,
(²)cos(kx)dx =f(x) a cos(kx) cos(hx)dxk-π -πk=0oppure a π se k=hπ π+∞∫ ∑ ∫ , dove l'integrale è pari a zero per ogni k, h.(x)cos(kx) = (kx)

1. cos (hx )dxf dx b sink−π −πk=1
2. Perciò per k=h, si trova a come definito sopra. Per calcolare b si procede allo stesso modo moltiplicando a dx e sx per il seno.
3. Se la funzione è continua, allora la somma della serie trovata è uguale alla funzione. Se invece x è un punto di discontinuità per la funzione, allora si calcolano i limiti dx e sx: e la serie converge come sopra.
4. ∃ (x+ = (x ), ∃ (x +h) = ( )lim f h) f lim f f xpos nposh→0 x→0pos npos
5. Spazio L 2
6. Definizione: ={f [−π π ] → ℝ }X : , , regolari a tratti
7. Somma ∀ + = ( (f , g∈ X , f g f x)+ g x)
8. Prodotto scalare per vettore ∀ ∈ λ ∈ℝ λ = λ (x)f X , , f fπ
9. Prodotto L 2 ∫⟨ ⟩:= (f , g f x) g( x) dx−π⟨ ⟩ = ⟨ ⟩f , g g ,f
10. Proprietà 1 ⟨ α + β = α ⟨ ⟩ + β ⟨f f , g⟩ f , g f , g⟩
11. Proprietà 2 1 2 1 2⟨ ⟩ ≥ ∀ ∈

<pre> → ⟨ ⟩ = &hArr; =f , f 0 f X f , f 0 f 0 Proprietà 3 √Norma L 2 π∫√ 2||f|| = ⟨ ⟩ = (x)f , f f dx−π Variabile complessa Prodotto complesso | | | || |= ( ) = ) + ( ) + πz z : z z z z , arg z z arg( z arg z 2 k1 2 1 2 1 2 1 2 1 2θ+ π θ+ π2 k 2 k Radici complesse n√= |z|( ) + ))w cos( sin(k n n Esponenziale complesso π + πz x+ iy x i z 2 i z= = ( + = −1 =e e e cos y isin y) , e , e e Seno e coseno complessi −iz −iziz iz−e +e e e= =sin z ; cos z2 i 2 Logaritmo complesso +w x iy| | | |(cos= + + π)⇔ ≡ = ≡ θ + )w ln z i(θ 2 k e e z z isinθ Funzione complessa ℂ∋ ( ) ≡ ) + ) → ∈ℝf z u( x , y iv( x , y u , v Derivabilità ( − ( )f z) f z 0)f '( z := lim0 −z z→z z 00 Equazione della retta | |( ) = ( ) + ) ( ) + )f z f z f '( z z− z o( z− z0 0 0 0 Differenziabilità ( ) = ( ) ( ) = −v ( )* </pre>x, y v, x, y; u, x, y, x0, 0, y0, 0, y0, 0, x0, 0∫, ∫, ∫, ∫Integrale su una curva γ (u + fz dz + u dx + v dy + i dy + v dx)⃗ ⃗ ⃗ ⃗γ γ γ γ∫Potenziale associato ⇒ (dz = γ) − γ)fz F'(z) fz F(⃗ F(2 1⃗γ∫Integrale (fz dz 0funzione olomorfa*** ⃗γSingolarità isolata )(g(z) = z : fz h(z) 0 0)h(z)Residuo (**) ∫(fz dz 0) π2 i ⃗γResiduo su singolarità )g(z)g(z) 0(z) = z : f, h(z) 0 Res fz, h'(z) 0 0 0)h(z)h'(z) 0Teorema dei residui n(***) ∫ ∑(fz dz 2 i Res fz k=k 1⃗γIntegrale di Cauchy (fz fz)1 ∫) = (fz fz) 1 · k! dz+1π k2 i (z−w) c c∞Sviluppo di Laurent ∑ k2−1 −2( = ( ) = + ( ) + + ( ) + + …f z) c z− z c c z− z c z− zk 0 0 1 0 2 0 2z− z ( )z− z= −∞k 0 0Singolarità eliminabile 3z +…z− 2sin z 6 ! z= ∀ < → = = + … = + …z : a 0 k 0 1− a0 k 0z z 6= ∀ ≠0z : a 0 k<− N , aPolo ordine N −0 k N≠0 <z : a q . o . k 0Sing. Essenziale 0 k*Equazioni di Cauchy-Riemann.**Secondo la definizione. 1***f = u+iv è olomorfa quando u,v sono entrambe C su R e quindi il campo associato a fè irrotazionale.(*) Presa una distanza d dal centro, tale che 0<|z-z |<d, l’integrale di f sulla curva che0racchiude la singolarità isolata è lo stesso per qualunque valore di r, purché sia più∫ ∫piccolo di d: 0<r <r <d → ( = (z)dzf z) dz f1 2 γ⃗ ⃗γr r1 2(**) Quando l’integrale si può calcolare direttamente.(***) Con z "racchiuse" di f(z) (cioè contenute in una curva semplice percorsa in senso positivo e non passante per le singolarità). Ho curva bordo del dominio di f, che non racchiude singolarità di f(z): l'integrale di fγ,(*) sulla curva è nullo. Prendo una funzione g(z) definita come sopra e calcolo il residuo in w punto all'interno del dominio di f. A questo punto: l'integrale di g(z) sulla curva è dato dal teorema dei residui, ma il residuo di g è pari a f(w), quindi l'integrale di g(z) in w è pari al valore della funzione f(w) per 2πi. Vero perché derivando da una parte e dall'altra per dw non modifico la funzione(**) originale. Trasformata di Laplace ∞ Definizione ∫ -∞ px(f(x))e^(-px)dx 0∞ Condizione di convergenza* ∫|s|

^∞Linearità ∫ ∫^-px px(α + β = α( + β (ℒ f g) e f x) dx e f x) dx0 0^∞Integrazione 1 p∫ ∫^-px(f (α = (α = ( )ℒ x)) e f x) dx Fα α0 ∞Traslazione ∫ ∫^-( - )p x p p x(e ( = ( = ( )ℒ f x)) e f x) dx F p- p0 0 00^∞Derivazione I° ∫ ∫^-px(f = ( = (0)ℒ '( x)) e f ' x) dx pF( p)-f0 ∞Derivazione II° ∫ ∫^-px 2(f = = ( (ℒ ' '( x)) e f ''( x) dx p F p)- pf 0)- f ''(0)0Unicità (f ) = ( ⇔ =ℒ ℒ g) f gTrasformate notevoliαCostante (α ) =ℒ p αRetta (α ) =ℒ x 2pαParabola 2(α ) =ℒ x 3p 1Esponenziale -α x(e )=ℒ +αp ωSeno (sin( ω )) =ℒ x 2 2+ ωp pCoseno (cos (ω =ℒ x)) 2 2+ ωp ωSeno iperbolico (sinh ( ω ) =ℒ x) 2 2-ωp pCoseno iperbolico (cosh ( ω =ℒ

x)) 2 2− ωp α ω2 p

Retta per seno (α ω =ℒ xsin( x)) 2 2( ω + )p

Retta per coseno 2 2− ωp(α ( ω = αℒ xcos x)) 2 2 2(ω + )pω

Esponenziale per seno −α x(e =ℒ sin(ω x)) 2 2( α ) + ωp+ +αp

Esponenziale per coseno −α x(e (ω =ℒ cos x)) 2 2( + α) + ωp

Derivata della trasformata** ( n) n n( = ((−1) (ℒF p) x f x))

Antitrasformata a+ i M1 ∫ px( =f x) lim e F( p) dpπ2 i → ∞

M a− i M (Q p)

Antitrasformate di polinomi del tipo: ***0=F( p) (Q p)1A

Fratti semplici −1 p xunica radice reale = ⇒ ( =ℒp : F( p) F( p)) Ae 00 p− p0

Fratti semplici kA A Aradici reali multiple ∑−1 k 1 i i−1 p x= +…+ ⇒ ( =ℒF( p) F( p)) x e 0kp− p ( i−1) !( )p− p0 i= 10Ap+ B B

Radici complesse −1 &alph;