Formulario analisi 2

Disequazioni irrazionali

√ √

( ( ( ( ( (

f x))≤ g x) f x))≥ g x)

( )≥ ( )≥ (

f x 0 f x 0 g x)≥ 0

U

(

g x)≥ 0 2

2 ( )≥ ( )

( f x g x

g x)< 0

( )≤ ( )

f x g x

Angoli notevoli

seno coseno

0 0 1

π √

1 3

6 2 2

π √ √

2 2

4 2 2

π √ 1

3

3 2

2

π 1 0

2

Funzioni iperboliche +∞

sinh(x) −x

x 2 n+1

−

e e x

∑

=

2 (2 n+ 1)!

n=0

+∞

cosh(x) −

x x 2 n

+

e e x

∑

=

2 ( 2 n)!

n=0

tanh(x) (x)

sinh

cosh( x)

sinh(x+y) ( ( ) + (x) ( )

sinh x) cosh y cosh sinh y

cosh(x+y) ( ( ) + (x) ( )

cosh x) cosh y sinh sinh y

cosh(2x) 2 2

(x ) + (

cosh sinh x)

sinh(2x) ( (

2 sinh x)cosh x)

√

arcsinh(x) 2

( + +

ln x x 1)

√

arccosh(x) 2

( + −

ln x x 1)

1 +

arcsinh( x) c

∫ *

√ 2 +1

x 1 +

arccosh( x) c

∫ √ 2 −1

x 2 2

(x ) − (

cosh sinh x)=1

*Nel primo caso sostituire x = sinh(t), dx = cosh(t)dt e usare la relazione

cosh²(x)-sinh²(x) = 1, nel secondo caso sostituire x = cosh(t), dx = sinh(t)dt.

Operazioni in R n n

Prodotto scalare* ∑

⃗ =

x ·⃗

y x y

i i

=

i 1 √

Norma , | |

| |

√ 2 2

|| ||

⃗ = ⃗ ( = +

x x ·⃗

x x , y) x y

√

Distanza 2 2

| |

|⃗ |

⃗ ⃗ ⃗

( ) = = ( − ) + + ( − )

d x , y y− x y x ... y x

1 1 n n

Disuguaglianza Schwarz ⟨ ⟩

|| || || ||≤ || || || ||

− ⃗ ⃗ ⃗ ≤ ⃗ ⃗

x · y x ,⃗

y x · y

|| ||≤||⃗

||+||⃗

||

Disuguaglianza triangolare ⃗ +⃗

x y x y

*Vale: (⃗ + ⃗ )· ⃗ = ⃗ ⃗ + ⃗ ⃗ ⃗ ⃗ > ⃗ ⃗ = ⇔ ⃗ =

x x y x · y x · y , x · x 0 , x · x 0 x 0

1 2 1 2

Limiti e Continuità

Funzione continua ⃗ ∈D

x

(⃗ ) = ( ⃗ )

f x lim f y ,

⃗ ⃗

y→ x

Limite su una curva* (**) ⃗

⃗

(⃗ ) = ( γ ( )) =

lim f x lim f t l

⃗ →⃗ →t

x x t

0 0

⃗

*Avendo posto: ⃗

γ (t ) = ⃗ ( ⃗ ) =

x , f x l

0 0 0

(**)Svolgere gli esercizi prendendo curve del tipo: x=0,y=0, y=ax, y=x², (x,y)=(at,bt).

Nell’ultimo caso studiare i casi (a,b)≠0, (a,b)=0.

Derivate

Derivabilità* ( )−f ( ) ( )−f ( )

f x , y x , y f x , y x , y

0 0 0 0 0 0

,

lim lim −

x−x y y

→ →

x x y y

0 0

0 0

Gradiente ∇ (⃗ ) = ( ( ⃗ ) (⃗ ) ( ⃗ ))

f x f x , f x , f x

0 x 0 y 0 z 0

Differenziabilità ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

( )− ( )− ( )( )−f ( )( )

f x f x f x x− x x y− y

0 x 0 0 y 0 0

lim || ||

( )−( )

x , y x , y

⃗ → ⃗

x x 0 0

0

Piano tangente ⃗ ⃗ ⃗

= ( )( ) + ( ) ( ) + ( )

z f x x−x f x y− y f x

x 0 0 y 0 0 0

Derivate direzionali (⃗ + )− ( ⃗ ) δ

f x h⃗

v f x f

δ f ( ⃗ ) = ⟨ ∇ ( ⃗ ) ⃗ ⟩

0 0 x f x , v

,

=

lim 0 0

δ ⃗

v

δ ⃗

h v

h→ 0 (x +h )−f ( )

f , y x , y

0 0 0 0

*Ricondurre a una variabile usando Fermat: ,

lim h

→0

h

(x +h)−f ( )

f , y x , y

0 0 0 0

lim h

→0

h

Massimi e minimi in R n

Matrice Hessiana:

derivate seconde, nxn, simmetrica per il Teorema di Schwarz

( )

2 2

δ f δ f

⃗ ⃗

( ) ⋯ ( )

x x

0 0

δ x δ x

2

δ x 1 n

1

2

∇ (⃗ ) =

f x ⋮

0 2 2

δ f δ f

( ⃗ ) ⋯ (⃗ )

x x

0 0

2

δ x δ x δ x

n 1 n

Teorema di Schwarz 2 2

δ δ

f f

=

δ δ δ δ

x y y x

λ ⋯ λ

Autovalori , elementi sulla diagonale principale

1 n

Traccia 2

( ∇ ) = λ +⋯+ λ

tr f 1 n

Condizione necessaria 2 2

⃗ ⃗ ⃗

∇ ( ) = ∇ ( )> ∇ ( )<

min/max* f x 0 f x 0 ; f x 0

0 0 0

*Bisogna studiare l’Hessiana e i suoi autovalori:

2 2

· matrice definita positiva, x punto di minimo

λ ⋯λ > → ∇ )>0 → ( ∇ )>

0 det( f tr f 0 0

1 n

stretto. 2 2

· matrice definitia negativa, x punto di massimo

λ ⋯λ < → ∇ )>0 → ( ∇ )<

0 det( f tr f 0 0

1 n

stretto. 2

· matrice indefinita, x né max né min (punto di sella)

λ > λ <0 → (∇ )<

0 , det f 0 0

i j

2 2 2

· matrice semidefinita (positiva o negativa):

( ∇ )=0 ( ∇ )> (∇ )<0

det f , tr f 0 o tr f

almeno un autovalore è nullo e il caso è dubbio.

In questo caso devo studiare il segno della funzione ponendo: f(x,y)-f(x ,y ) e studiando

0 0

come varia l’intera differenza. Se risulta ≤ 0, allora avrò un massimo locale (assoluto se <);

se invece risulta ≥ 0, allora avrò un minimo locale (assoluto se >).

Altro modo per trovare max/min nel caso dubbio è calcolare l’andamento della funzione

ristretta a una retta generica passante per il punto critico (ovvero studio dei massimi e

minimi in una variabile: f’(x )=0, f’’(x )>0 (<0, ecc..)).

0 0

Integrali Multipli ∫ ∫ ∬

Proprietà α = α ∀ α ∈ℝ = (

f f , , kf k area Q)

Q

∬ ∬ ∬ ∬ ∬

Proprietà (2) + = + ≤ ⇒ ≤

f g f g , f g f g

Proprietà (3) b d

∬ ∫ ∫

( ) = ( ( ) ⇒ ( ) = ( ( )

f x , y f x)· f y f x , y dxdy f x) dx f y dy

1 2 Q a c

∬ ∭

Integrale su rettangolo* ( (

f x , y) dxdy , f x , y , z) dxdydz

Q D

Formule riduzione b d d b

∬ ∫ ∫ ∫ ∫

( ) = ( ) = ( )

f x , y dxdy dx f x , y dy dy f x , y dx

Q a c c a

Ω normale rispetto a x 2

Ω = {( ∈ℝ ∈[ ] ( ≤h ( )}

x , y) : y c , d , h y)≤x y

1 2

Ω normale rispetto a y 2

Ω = {( ( ≤ (

x , y)∈ℝ : x∈[ a , b] , g x)≤ y g x)}

1 2

Ω normale rispetto a z 3 2

Ω = {( ( )∈ ( )≤ (

x , y , z)∈ℝ : x , y E ,( x , y)∈ℝ , g x , y z≤ g x , y)}

1 2

∭

Massa di Ω = (x )dxdydz

m(Ω) 1 ·ρ , y , z

(misura) Ω 1

Baricentro di Ω ∭ ∭ ∭

( = (

x̄ , ȳ , z̄) x·dxdydz , y·dxdydz , z·dxdydz)

)

m(Ω Ω Ω Ω

∭

Momento d’inerzia di Ω 2 2

= ( + )·ρ ( )

I x y x , y , z dxdydz

z Ω

∬ ∬ ∬

Integrabilità** = +

f·dxdy f·dxdy f·dxdy

∪

E E E E

1 2 1 2

∬ ∬

Cambio variabile*** (⃗ | |

( ) = ζ ( (ζ η)) ζ η

f x , y dxdy f F( ,η)) · det J , d d

⃗

F

~

E E | |

Coordinate polari = ρ θ = ρ θ ( ) = ρ

x cos , y sin , det J ⃗

F | |

Coordinate sferiche 2

= ρ θ ϕ = ρ θ ϕ = ρ ϕ ( ) = ρ ϕ

x cos sin , y sin sin , z cos , det J sin

⃗

F

| |

Coordinate cilindriche = ρ θ = ρ θ ( ) = ρ

x cos , y sin , z , det J ⃗

F ∬

Simmetrie ( ) (−x ) = −f ( ⇒ =

x , y)→(−x , y , f , y x , y) f·dxdy 0

(f pari, Ω simmetrico) Ω

∬ ∬

Simmetrie ( )→(−x (−x ) = ( ) ⇒ =

x , y , y) , f , y f x , y f·dxdy 2 f·dxdy

(f dispari,Ω simmetrico) ~

Ω Ω

*Integrale doppio: Q rettangolo [a,b]x[c,d]. Integrale triplo: D parallelepipedo

[a,b]x[c,d]x[e,f].

**E ,E insiemi disgiunti, misurabili, senza punti in comune (al più, in comune punti di

1 2

frontiera): m(E UE ) = m(E )+m(E ). Per trovare il baricentro di E UE devo:

1 2 1 2 1 2

1) trovare la misura m(E UE );

1 2 ∬ ∬

2) calcolare gli integrali x = , y e z e dividere le quantità trovate per

+

x dxdy x dxdy

E E

1 2

m(E UE ).

1 2

***Per il cambio di variabile devo introdurre la quantità “derivata rispetto a x e a y” delle

nuove variabili, espressa tramite lo Jacobiano:

( )

δF δF

1 1

ζ η

δ δ

(ζ η) = matrice nxm delle derivate prime, non simmetrica.

J ,

⃗

F δF δF

2 2

ζ η

δ δ

Curve in R e in R

2 3

Curva parametrica ⃗

γ ( = ( γ ( γ (t )) ∈[t ] =

t) t) , , t ,t I

1 2 0 1

Curva parametrica ⃗

γ ( = ( γ ( γ (t ) γ ( )) ] =

t) t) , , t , t∈[ t , t I

3

in R 1 2 3 0 1

Sostegno della curva* 2

⃗

γ ( ) ∈ℝ

I

Sostegno della curva 3

⃗

γ ( )∈ℝ

I

3

in R

Curva chiusa** ⃗ ⃗

γ ( ) ≡ γ (t ) ∈[t ]

t , t ,t

0 1 0 1

Curva semplice*** ⃗ ⃗γ

γ ( ≠ ( ∀ ( ∈[t ]

s) t) , s , t) , t

0 1

Retta per due punti (*) ⃗

γ ( = ( + − ) + ( − )) ∈ℝ

t) x t( x x , y t y y , t

0 1 0 0 1 0

(parametrica)

Vettore velocità ⃗

γ = ( γ (t) γ (t) ) ] =

'(t) ' , ' , t∈[ t , t I

1 2 0 1

Curva regolare (**) ⃗

γ '(t)≠0

Lunghezza b

∫ | |

| |

⃗γ ⃗

) = γ )

L( '( t dt

a

⃗

Curve equivalenti (***) γ ( ) = ⃗η ( )) ∀ ∈ [ ]→[ ]

t h(t , h '( t)≠0 t a , b] , h:[ a ,b c , d

*Immagine attraverso dell’intervallo [t ,t ].

γ 0 1

**γ(t estremi della curva.

), γ(t )

0 1

***La curva non passa sullo stesso punto per più di una volta.

(*) Dato un punto P = (x ,y ) e una direzione = (v ,w ), la retta passante per quel punto

γ’(t )

0 0 0 0

0

con quella direzione sarà:

x = x + tv equazione parametrica

0 0

y = y + tw