Analisi matematica II - formulario

Continuità: ) ( )=

( )= (

lim , , ,

( , )→( , )

Derivabilità:

( + ℎ, )− ( , ) ( , + )− ( , )

lim = lim 0 "ℎ 0

! #

ℎ

→ →

Differenziabilità:

( )− ( )− ( )ℎ ( )

+ ℎ, + , , − ,

lim =0

&

+

√ℎ ( (

($,%)→( , ) ( )ℎ ( )

+

) * + : -(ℎ) = , ,

&

Equazioni differenziali lineari del primo ordine:

( ) )

è 0 * 1 + : = + 2(

/ / ( )= )1

4 + 4 + : (6 2( )

3 + + * 1 1 ++ / 5(&) #5(&)

)è ( ), ( )

1 7 8( 9 7 1 ++ + * 1 ++ 4 + 9 + ".

/

) ( )="

; 2( = 0 + 0 * 1 " 9 4 + + * :

/ 5(&)

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti:

è 0 * 1 + + +2 = ( )

/ // /

+ 0 * 9 4 " è + +2 =0

/ // /

" 1 + 0 * " " : λ + λ + b = 0 + + *

(

( )

; ∆> 0 = " + "

&A &A

B C

@ (

• ( )

; ∆= 0 = " + "

&A &A

B C

@ (

• √−∆

M

( )

; ∆< 0 = " cos I + " sin I K = − I =

M

E& E& 2 2

@ (

•

Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti:

( ) ( ) ( )

è 0 * 1 + + + ⋯+ + = ( )

(N!@)

/ (N) /

@ N#@ N

+ 0 * " " è: P(λ) = λ + λ +⋯+ λ + =0

(N#@)

/ N @ N#@ N

( )

( )=

Q + " A R : ( )

; P(λ) ≠ 0 ++ + 0 * 99 4 + " + 1 + : 0

/ A R

• ; P(λ) = 0 λ ha molteplicità h, ++ + 0 * 99

/

• e ( )

4 + " + 1 + : 0

A R

( )= ( )

Q + " [ sin [ ]

cos [ +

A R \ :

; P(λ + μi) ≠ 0 ++ + 0 * 99 4 + " + 1 + :

/

• ( )

[0 cos [ + sin [ ] " 0 + 9 1 4 1 9

_ = max{9, }

A R_ _ R_ _

R R

Se P(λ + μi) = 0 λ + μi ha molteplicità h, ++ + 0 * 99 4 +

/

• ( )

" + 1 + : [0 cos [ + sin [ ]

A R_ _

R

; =0 " ò λ = 0 è una radice di P(λ) = 0, allora l equazione ha per

/

• (2 )

integrale particolare un polinomio di grado m + h del tipo: + 2 x + ⋯ + 2 con h molteplicità

R

@ ( R

della radice λ = 0

Metodo di variazione delle costanti:

( )

l 0 * 1 + + +2 =

/ // / ( ) ( )+

( )

ℎ " 9 4 + 4 + = " + " 7

@ @ ( ( ( ) ( ) ( ) ( )

m + m = 0

/ (/

( ) ( ) ( ) ( )

1 7 7 = m + m +7 1 + 9 : n @ (

@

( ) ( ) ( ) ( )

m + m = ( )

@ @ ( ( / / (/ (/

@ @

Equazioni a variabili separabili:

( )4( ) ( ) )

l 0 * 1 + = " 4( * "

/ / 1

1 ( )4( ) ) ( )1

= 4( ≠ 0 1 =

P 7 + + * " 7 : )

4(

1 1 ( )1 ) )

4 1 9 92 9 92 6 1 = 6 : p( = q( + "

)

4(

Equazione di Bernoulli: ( ) )

l 0 * 1 + = + 2( " K ≠ 0, 1.

/ / E

′ ( ) ) )

; 1 7 1 1 = + 2( *( = (( ( ))

E @#E @#E

E

(1 ( )* (1 )

) 7 1 * = − K) + − K)2( +7 " 9 0 * 1 * +

/ / 1 + 9 1 .

Equazioni delle forme:

0 * 1 + = 4s t " 4 " .

l / /

• & ( ) ),

P +7 *= 0 1 = *( = * + * ,

/ /

* ℎ * = 4(*) − * "ℎ è 7 2 + 2 +

/ )

l 0 * 1 + = 4( +2 " 4 " .

/ /

• ) ( )

; " 1 " 7 2 + 2 + " + * : *( = +2

u 1 * = +2 + 0 * 0 7 + *: * = + 24(*)

/ / / /

Massimi e minimi relativi:

( )=0

,

; n ++ 7 " " " " " 9 9 9 9 .

& ( )=0

, ( , ) ( , )

( )1 )

P * , "+ v 8 1 1" w : w( , = x x

&& &

( ( , ) ( , )

&

( )= ( )=0

, , ( )

8++ , è 1 z 9 { + 7 .

; + n & ) ( )>0

w( , > 0; ,

&&

( )= ( )=0

, , ( )

8++

; + n , è 1 z 9 { + 7 .

& ) ( )<0

w( , > 0; ,

&&

)<0 ( )

; w( , ++ , è è 1 9 9 , è 1 9 9 ,1 P ; ++ .

)=0

; w( , ò 1 ++ .

Massimi e minimi vincolati:

( )è

| 1 + , 7 " + 7 " 7 4 + : ( )

=

; + " 7 è ++ 0 * 9 "ℎ n "" 1 9 9 9 9 9

( )

=

• ( ), ( )~

1 ++ * " 9 } 1 1 + 1 7 9 ≥ 0.

)

; + " 7 è 1 9 " = 4(

• )~.

1 9 9 9 9 9 1 ++ * " 9 } , 4(

)

; + " 7 è 1 1 + * 1 + 4( , = 0 ++ 4 1 "+ v @

• ( ) ( )

, + λ 4 , = 0

& &

( )+λ ( )

, 4 , =0

7 " " ò + 9 1 1 9 + + " 1 - 4 4 : € )

4( , = 0

• 1 + ++ * 7 7 + 7 è 9 9 7 7 + 4 7

è 9 9 .