Analisi matematica II - formulario

Continuità e derivabilità

Continuità

( ) ( )= (lim , , ,( , )→( , )

Derivabilità

( + ℋ, )− ( , ) ( , + )− ( , )lim = lim 0 "ℋ 0! #ℋ→ →

Differenziabilità

( )− ( )− ( )ℋ ( )+ ℋ, + , , − ,lim =0&+√ℋ ( (($,%)→( , ) ( )ℋ ( )+) * + : -(ℎ) = , ,&

Equazioni differenziali lineari del primo ordine

( ) )è 0 * 1 + : = + 2(/ / ( )= )14 + 4 + : (6 2( )3 + + * 1 1 ++ / 5(&) #5(&))è ( ), ( )1 7 8( 9 7 1 ++ + * 1 ++ 4 + 9 + "./) ( )="; 2( = 0 + 0 * 1 " 9 4 + + * :/ 5(&)

Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti

è 0 * 1 + + +2 = ( )/ // /+ 0 * 9 4 " è + +2 =0/ // /" 1 + 0 * " " : λ + λ + b = 0 + + *(( ); ∆> 0 = " + "&A &AB C@ (• ( ); ∆= 0 = " + "&A &AB C@ (• √−∆M( ); ∆< 0 = " cos I + " sin I K = − I =ME& E& 2 2@ (•

Equazioni differenziali lineari non omogenee a coefficienti costanti

( ) ( ) ( )è 0 * 1 + + + ⋯+ + = ( )(N!@)/ (N) /@ N#@ N+ 0 * " " è: P(λ) = λ + λ +⋯+ λ + =0(N#@)/ N @ N#@ N( )( )=Q + " A R : ( ); P(λ) ≠ 0 ++ + 0 * 99 4 + " + 1 + : 0/ A R• ; P(λ) = 0 λ ha molteplicità h, ++ + 0 * 99/• e ( )4 + " + 1 + : 0A R( )= ( )Q + " [ sin [ ]cos [ +A R \ :; P(λ + μi) ≠ 0 ++ + 0 * 99 4 + " + 1 + :/• ( )[0 cos [ + sin [ ] " 0 + 9 1 4 1 9_ = max{9, }A R_ _ R_ _R RSe P(λ + μi) = 0 λ + μi ha molteplicità h, ++ + 0 * 99 4 +/• ( )" + 1 + : [0 cos [ + sin [ ]A R_ _R; =0 " ò λ = 0 è una radice di P(λ) = 0, allora l equazione ha per/• (2 )integrale particolare un polinomio di grado m + h del tipo: + 2 x + ⋯ + 2 con h molteplicitàR@ ( Rdella radice λ = 0

Metodo di variazione delle costanti

( )l 0 * 1 + + +2 =/ // / ( ) ( )+( )ℎ " 9 4 + 4 + = " + " 7@ @ ( ( ( ) ( ) ( ) ( )m + m = 0/ (/( ) ( ) ( ) ( )1 7 7 = m + m +7 1 + 9 : n @ (@( ) ( ) (