Analisi matematica II - Formulario

Serie di Fourier

T_λ = 2π / k

ω = 2π / T

T = [a, b]

a₀ = 1 / T_λ ∫_a^b f(x) dx

a_k = 1 / T_λ ∫_a^b f(x) coskx dx

b_k = 1 / T_λ ∫_a^b f(x) sinkx dx

Curve

φ regolare:

• semplice
• φ ∈ C1(A)
• φ'(t) ≠ 0
• ‖φ'(t)‖ ≠ 0

Curvatura = ∫_a^b‖φ''(t)‖ dt ⇔ φ regolare

Parametrizzazione arclinea

s(t) = ∫_1/2^t ‖φ'(t)‖ dt ⇨ t ⇢ s(t)

Teado:

T'(s) = k(s) N(s)

B'(s) = τ(s) N(s)

N'(s) = -τ(s) B(s) - k(s) T(s)

Funzioni scalari

Differenze definite:

lim_{(x,y) → (x0, y0)} (f(x, y) - f(x₀, y₀) = f_x (x - x₀) - f_y (y - y₀)) / √((x - x₀)² + (y - y₀)²) = 0

Derivate differenziali

_h→0

f(_{x0 +hΔ1, y0 +hΔ2}) - f(x₀, y₀)

---------------------------------------- =f_x (x₀, y₀)_R

Derivate funzioni composte

f' (x, y) = f_x (x(t), y(t)) . x' (t) + f_y (x(t), y(t)) . y' (t)

Studio di massimi e minimi

Teorema:

H = | f_xx f_xy|

| f_xy f_yy|

H > 0 -> f_xx > 0 -> P₀ di min

⇒

f_xx < 0 -> P₀ di max

H < o -> P₀ di sella

H = 0 Indeterminato

Esistenza:

1. Punti critici
2. Punti di non doc
3. Frontiera: AB, BC, ...

AB: 1), 2), 3)

DC: 1), 2), 3)

Massimi e minimi vincolati: esplicitare una variabile rispetto all' altrea oppure Teorema:

f_x - ϕ_λ =0

f_y - ϕ_λ =0

ϕ (x,y) =0)

Campi vettoriali e curve

Integrale curvilineo |_y f(ϕ(t)) ds = |^b_a f(ϕ(t)) || ϕ' (t) || dt se ϕ regola

G(y) = F(x) + c

II) Amougeure di Newfood

f(dx,dy) = f(x,y) +(x) = y/x

III) Lineari

y' = a(x)y + b(x) y = e ∫a(x)dx [ ∫b(x) e −∫a(x)dx dt + h ]

IV) Bernoulli

y' = a(x)y + b(x)y^u u ≠0, u ≠1 cambiamento di variabile: z(x) = y^1−u OS: u=0 → y _{o sez} ion partic

b) in forma non normale

I)

w

• se w esists: U = K
• se w non esiste: ψw esite U ≠ri a) ψ(x) = e ∫ξ(x)dx dove ξ(x) = (∂H/∂y − ∂H/∂x) 1/N b) ψ(y) = e ∫β(y)dy