Analisi matematica II - Formulario

Serie di Fourier

T_½ = ^2π/_k   ω = ^2π/_T   T = [a,b]

a₀ = ¹/_T½ ∫_a^b f(x) dx

a_n = ¹/_T½ ∫_a^b f(x)cosnωxdx

b_n = ¹/_T½ ∫_a^b f(x)sinnωxdx

Curve regolari

1. Φ ∈ C¹(A)
2. Φ'(t) ≠ 0 ⇨ ||Φ'(t)|| ≠ 0

Lunghezza = ∫_a^b ||Φ'(t)|| dt ⇔ Φ regolare

Parametrizzazione ascisse curvilinee, s(t) = ∫_a^t ||Φ'(t)|| dt ⇨ ±s(t)

Teorema

T'(s) = k(s) N(s)

B'(s) = τ(s) N(s)

N'(s) = -τ(s) B(s) - k(s) T(s)

Funzioni scalari

Differenze finite:

lim_{(x,y)→(x0,y0)} ^{f(x,y) - f(x₀,y₀) = f_x(x-x₀) - f_y(y-y₀)} / ^{(√(x-x₀)2 + (y-y₀)2)} = 0

Serie di Fourier

T₁ = ^2π/_k ω = ^2π/_T

T₁ = [a₀, b]

a₀ = ¹/_T1/2 ∫_a^b f(x) dx

a_n = ¹/_T1/2 ∫_a^b f(x)cosnωx dx

b_n = ¹/_T1/2 ∫_a^b f(x)sinnωx dx

Curve regolari

1. |sϕ|
2. ϕ ∈ C¹ (A)
3. ϕ'(t) ≠ 0 ⇔ ||ϕ'(t)|| ≠ 0

Lunghezza: ∫_a^b ||ϕ'(t)|| dt ⇔ ϕ regolare

Parametrizzazione rispetto curvilinea, s(ϕ) = ∫_a^b ||ϕ'(t)|| dt = +− s(s)

Triade

T'(s) = K(s) N(s)

B'(s) = τ(s) N(s)

N'(s) = -τ(s) B(s) - K(s) T(s)

Funzioni scalari

Differenze finite:

lim(x,y) → (x₀, y₀)^{f(x, y) - f(x₀, y₀) - f_x(x - x₀) - f_y(y - y₀)} / _{√(x - x0)² + (y - y0)²} = 0

Derivate direzionali

lim_h→0+ ^{f(x₀ + hΔ₁, y₀ + hΔ₂) - f(x₀, y₀)} / _h = f_x(x₀, y₀)

Derivate funzioni composte

g'(x, y) = f_x(x(t), y(t))·x'(t) + f_y(x(t), y(t))·y'(t)

Studio di massimi e minimi

Teorema

H = |f_xx f_xy| |f_xy f_yy|

• H > 0 → f_xx > 0 → p₀ di minimo
• H > 0 → f_xx < 0 → p₀ di massimo
• H < 0 → p₀ di sella
• H = 0 → indeterminato

Esistenza

1. Punti critici
2. Punti di non derivata
3. Frontiera

AB: a, 2, 1, 3

BC: 1, 2, 3

Massimi e minimi vincolati

Esplicitare una variabile rispetto all'altra OPPURE Teorema:

f_x - λφ_x = 0

f_y - λφ_y = 0

φ(x, y) = 0

Campi vettoriali e curve

Integrale curvilineo:

∫_γ f(φ(t))ds = ∫_a^b f(φ(t))||φ'(t)||dt

Lavoro:

L = ∫_γ <F, T> ds = ∫_a^b <F(φ(t)), φ'(t)> ||φ'(t)|| dt

Per ω = M(x,y)dx + N(x,y)dy

L = ∫_γ ω = ∫_a^b <ω(φ(t)), φ'(t)> dt = ∫_a^b [M(x(t), y(t)) x'(t) + N(x(t), y(t)) y'(t)] dt

Teorema

ω esatta ⇔ ∫_γ ω è ind. da γ ⇔ ω esatta ⇔ D stellato e ω chiusa.

∂H/∂y = ∂N/∂x

Se ω esatta: L = ω(B) - ω(A)

Area e Volume

Area: ∬_D 1 dxdy

Volume: ∭_E 1 dxdydz

Teorema di Guldino

Volume solidi di rotazione:

V = α ∫_a^b x dxdy

Formule di Green-Gauss

1. D normale rispetto all'asse x

∫_B ∂f/∂g dxdy = - ∫_∂D fdx

b) D normale rispetto all'asse y

D_D1

Esempi

1. D_D1A = D = -D₂

Area racchiusa da una curva

A = ²

Superfici

ϕ regolare se:

1. ϕ ∈ C¹(a)
2. ϕ invertibile
3. ϕ x ≠ 0 &10234; |ϕ_u x ϕ_v| ≠ 0

Da funzione scalare a superficie (ϕ)

1. x = u
2. y = v
3. z = z(u,v)

Da curva a superficie (di rotazione) (z)

1. x = x(t) cosθ
2. y = y(t) sinθ
3. z = z(t)

Area (ϕ)

A = ∫_B ||ϕ_u x ϕ_v|| dudv

Area (2)

A = ∫_θ₁^θ₂ 1/2 ||x'(t)|| ||y'(t)|| dt

Campi vettoriali e superfici

∫_S f(x, y) i ∂σ = ∫∫_D f(φ(u,v)) ||φ_u × φ_v|| dudv

Flusso

Φ = ∫_S dσ = ∫∫_D / ||φ_u × φ_v|| dudv

Teorema di Stokes

∫_S dσ = ∫_∂S ds

Teorema della divergenza

∫_T dσ = ∫∫∫_T divF dxdydz

Equazioni differenziali

1. Di primo ordine
   1. In forma normale
      1. A variabili separabili

      y' = f(x) g(y)

      g(y) ≠ 0 => dy ≠ 0 solvibile

      oppure

      dy/dx = f(x) g(y)

      ∫ 1/g(y) dy = ∫ f(x) dx

G(y) = F(x) + c

III) omogenee di Newton

f(dx, xy) = f(x, y)

F(x) = y/x

III) lineari

y' = a(x) y + b(x)

y = e^∫a(x)dx [∫b(x) e^-∫a(x)dx dx + k]

IV) Bernoulli

y' = a(x) y + b(x) y^u, u ≠ 0, u ≠ 1

viene a var. sep.

z(x) = y^1-u

oss: u = 0 ⇒ y = 0 soluzione partic

b) in forma non normale

I) ω

Se ω esatta: U = K

Se ω non esatta: ψ ω esatta ⇒ U = Kψ

a) ψ(x) = e^∫ξ(x)dx

dove ξ(x) = (∂H/∂y - ∂N/∂x) (1/N)

b) ψ(y) = e^∫ξ(y)dy

dove f(y) = (∂N/∂x - ∂M/∂y) 1/M

1. Di secondo ordine
   1. Nell'equazione manca y

      f(x,y',y'') = 0

      z(x) = y'(x)

      z'(x) = y''(x)

   2. Nell'equazione manca x

      F(y,y',y'') = 0

      z(y)x) = y'(x)

      y''(x) = z' · y' = z' · z

Di ordine m > 1

1. Lineare

   a coefficienti costanti

   omogenea (h)

   sistema fondamentale

   trovare y_p:

   metodo di variazione delle costanti:

   y_g = c₁(x)y₁(x) + ... + c_n(x) y_n(x)

   c'_i(x)y_i(x) +...+ c'_i(x) y_n(x) = 0

   c'_i(x)y_u-1(x) +...+ c_i(x) y_u-1(x) = f(x)/a_n(x)

   metodo di annullamento:

   y_o = e^βx [p̂(A)cosγx + p̂(A)sinγx] x^m