Formulario Analisi 2

Funzioni In Più Variabili

• Continuità

lim_{(x,y)→(x₀,y₀)} f(x,y) = f(x₀,y₀)

Risolvere il limite utilizzando restrizioni o sostituzioni: il limite e i risultati si pongono uguali a f(x₀,y₀). Se sono uguali, f è continua.

• Derivabilità

Se fₓ e fᵧ esistono e f(x,y) ∈ D di fₓ e fᵧ

Se le derivate esistono e sono uguali

lim_x→x₀ fₓ(x₀,y) = lim_y→y₀ fᵧ(x,y₀) = f(x₀,y₀)

Se z = lim e i limiti è derivabile

• Differenziabilità

lim_h,k→0 (f(x₀+h,y₀+k) - f(x₀,y₀) - fₓ(x₀,y₀)h - fᵧ(x₀,y₀)k) / √(h²+k²) = 0

Applico se la funzione è più derivabile, che continua di classe C¹

→ Conseguenze

Se f è differenziables o continua

Se f è differenziables allora esiste Df_(x₀,y₀) = (fₓ (x₀,y₀), fᵧ (x₀,y₀))

Dv f(x₀,y₀) = lim_t→0 (f(x₀+tv₁,y₀+tv₂) - f(x₀,y₀)) / t

Nota:

DIrezione bisettrice 1q: (^√2/₂, ^√2/₂)

Bisettrice 2q: (-^√2/₂, ^√2/₂)

Se f differenziables allora esiste piano tangente

z = g(x₀,y₀) = fₓ (x₀,y₀)(x-x₀) + fᵧ(x₀,y₀)(y-y₀)

Nota: se fₓ, fᵧ nel pt e non nell'eq piano tg

Vf → dir max crescent

N.B. "Gradiente"

se f diff. in (xo, yo) grad f è ⊥ alla curva di livello di Fpassante per (xo, yo)

grad f direzione max crescita di f

• es netto tg alla curva di livello

v ≠ 1 grad f → Dvf (xo, yo) = grad f ∙ v → massimo valore Dvfv direzione di questo

Hessiano

H =

• pti per tg rispetto a pt attraverso una pz superficie z = f(x, y)
• H(xo, yo) =
| f_xx f_xy | | f_xy f_yy |
• autovalue > 0 → tutta sopra al piano tg
• autovalore < 0 → tutta sotto al piano tg
• → due = 0 → mezzo piano tg intersechi
• → uno = 0 → sella

punti di massimo e minimo (estremi liberi)

→ grad f = 0 ricerca 1 pto candidato

• det > 0 e f_xx > 0 pto min relativo
• det > 0 e f_xx < 0 pto max relativo
• det < 0 pto di sella
• det = 0 non so nullo

se det H = 0 => studio f in p e poi guardo l'ausamento in un intorno di p

punti max e min (estremi vincolati)

grad f = 0 → trovo 1 pto

H(p1) → det H pau stabilisco 1 tipo di pto

Applicazioni integrali doppi

m = ∫∫_D δ(x,y) d x d y → massa

X_G = ∫∫_D x δ x y d x d y

Y_G = ∫∫_D y δ x y d x d y → coordinate baricentro

V = ∫∫_D h(x,y) d x d y → volume solido in figura

A(D₁) = ∫∫_D 1 d x d y → area del dominio

Serie numeriche

• Serie geometrica

  Σ^∞_n=0 qⁿ se |q|<1, converge

  se |q|≥1, diverge

  S_n = a / (1-q) somma

• Serie armonica generalizzata

  Σ^∞_n=1 1 / (u^α) se α>1, converge

  se α ≤ 1, diverge

• Serie di Mengoli

  Σ^∞_n=1 1 / (n(n+1)) converge a 1

N.B. "Test di non convergenza"

• Se lim_n→∞ a_n ≠ 0 → lim a_n ≠ 0
• Quindi calcolo lim a_n se ≠ 0 so che diverge e mi fermo
• Se 0 ne studio i parametri di convergenza

Teorema di Fermat

"Se f : A ⊆ Rⁿ → R e x₀ ∈ A è un punto di estremo locale se \ f è derivabile in x₀ ⇒ il gradiente di f(x₀) è il vettore nullo."

dim. assumo x₀ pt. di minimo di f ovvero f(x₀) ≤ f(x) ∀x ∈ U(x₀) \ dove U è un intorno di x₀. \Scelto ɘₓ₀ introduco g(t) = f(x₀ + tɛₓ₀) t ∈ I⊆ℝ e per t = 0 \ho un minimo locale

\[\ Rightarrow \] g(t) = f (x₀ + tɛₓ₀) - f(x₀) = g(t) (per Ip)\[\ Rightarrow \] g'(t) = g'(0) = \[\ Rightarrow \] (x₀) t=0

Direzione di Massima e Minima Crescita

"Se g : A ⊆ Rⁿ → R con A aperto, x₀ ∈ A, gdifferenziabile, x₀ ⇒ il vettore \ gradiente di g nel pto x₀ ≠ vettore nullo è quello di max accrescamento, \ inverso x₀ ∈ U(x₀ è direzione di minimo accrescamento \la direzione u → gradiente f(x₀) le derivate direzionali sono nulle."

dim. \f(x₀ + tu) - f(x₀) = t |∇f(x₀)| cosϑ = \ \[\ Rightarrow \] t |∇f(x₀)| cosϑ \se ϑ = 0 cosϑ = 1 arr. il massimo \se ϑ = π cosϑ = -1 arrivo il minimo \se ϑ = π/2 cosϑ = 0 arrivo il vett. nullo \∇f(x₀) (1, f) quindi Jmax = \[\ Rightarrow \] \[\ Rightarrow \] e Jmin = \[\ Rightarrow \] \[\ Rightarrow \]

Teorema Continuità nelle Classe

"df∈ Cᵏ(A) ⇒ f ∈ Cᵏ⁻¹(A) ∀k ≥ 1."

dim si possiede tutte le derivate parziali di ordine k allora significa \che ho le derivate delle derivate k - 1 érence :

\(\}i.. \ \{...i.. \) significa che le funzioni

sono derivabili: quindi sono anche continue e f ∈ Cᵏ⁻¹(A)

Lo spazio vettoriale delle soluzioni di una eq omogenea ha dim = 2

"Lo spazio vettoriale delle soluzioni di l y = 0 ha dim = 2"

dim {

• l y₁ = 0
• l y₂ = 0
• y₁ = c₁
• y₂ = c₂

sono t.c. sol di y₁ e y₂

y₁ y₂ sono linearmente indipendenti

P.u. supponiamo che siano lin dipendenti ovvero che siano multipli

• y₂ = k y₁ k ∈ R
• y₁ = k y₂

k = 0 y₁ ≠ 0 assurdo

• Φ(l x) = 0
• Φ(l x) = 0

Sta y₁, k ∈ R y₂ = c₁ Φ₁ + c₂ Φ₂

• y₁ soddisfera y₁ = y₀ y₂ = y₁
• y₀ = y₂ y₁ (x)

A = y₃

y₁ = y₀ y₁ = y₀ + y₁(x)

• Φ₁ e genaratori di K_i l fin da Φ₂

dim K_i l=2

Struttura integrale generale di eq lineare del 2 ordine

"L'int. generale di l y (x) si ottiene sommando all'int. generale

dell'eq omogenea l y = 0 un'intergale particolare dell'eq completa"

dim sia {2 z e x sol di l y = 0 e {s sia y (x) int particolare di l y = 0

t+ permanente sol di l y (x) impostato l (x)

(x) – t + z k t q u = 0 {x + c (2) .

viceversa se Ψ(x) = generale di l y(x)

è del tipo t+ Ψ. Per Hp l y (x) = y(x) consideriamo 2 y (x) = 2

arro l y – Ψ_t = l y₁ - Ψ_i + Ψ Ψ = 0

y – y int verede (i) – 0 (x)

• Φ l = t y

Integrale Generale Eq Lineare omogenea 2 Ordine a Coeff Costanti

Data l eq diff a (x) y' +x dy'b = 0 sia = a b = 0 e discriminante

dell’a =

• 0 il genarale dell'eq diff è dato da:
• 1 = 0 Y λ₁, c₂ ∈ R.con b (c₃ + c₁ c₂ e^{λ₁ x} log con
• Δ > 0 y₁ = (c₁ – c₁ e^π) λ_n due radici c₁c₂ ∈ R.

Se c₀ e λ = 0 significare e it. = 0 subbx c₁ c₂ radicali