Formulario Analisi 2

Funzioni in più variabili

• Continuità

  lim_{(x,y)→(x0,y0)} F(x,y) = F(x₀,y₀)

• Derivabilità

  se Fₓ Fᵧ,

  Fx_(x0,y0) = lim_x→x0 [F(x,y₀) - F(x₀,y₀)] / (x-x₀)

  Fy_(x0,y0) = lim_y→y0 [F(x₀,y) - F(x₀,y₀)] / (y-y₀)

  se i 2 lim. &ident; finiti è derivabile

• Differenziabilità

  lim_{(h,k)→(0,0)} [f(x₀+h, y₀+k) - f(x₀, y₀) - Fx(x₀, y₀)h - Fy(x₀, y₀)k] / √(h²+k²) = 0

  oppure se la funzione è sia derivabile che continua è classe C¹

  • conseguenze
    • f differenziabile ⇒ f continua
    • f differenziabile ⇒ ∃ Dv F(x₀,y₀), ∇f(x₀,y₀)
    • grad f = Fx, -Fy

  Dy F(x₀,y₀) = lim_t→0 [F(x₀+t, y₀+Bt) - F(x₀, y₀)] / t

N.B. direzione bisettrice 2q. (^√2/₂, ^√2/₂)

bisettrice 2q. (-^√2/₂, ^√2/₂)

f differenziabile ⇒ piano tangente

z = f(x₀, y₀) + Fx(x₀, y₀)(x-x₀) + Fy(x₀, y₀)(y-y₀)

N.B. Fₓ, Fᵧ nel pt.^o e non nel eq. piano tg

∇F = dir. max. crescita

max = √(Fₓ², Fᵧ²)

Funzioni in più variabili

• Continuità

  \[\lim_{{x,y} \to {x_0,y_0}} F(x,y) = F(x_0,y_0)\]

• Derivabilità

  se \(F\) \(\{x,y\}\) è \(F(x,y)\) e \(\{D_x\}\) di \(F\{x,y\}\)

  se lo giuntare è continuo

  \[\lim_{{x} \to {x_0}} F(x,y_0) = F(x_0,y_0)\]

  \[\lim_{{y} \to {y_0}} F(x_0,y) = F(x_0,y_0)\]

  se i 2 limiti \(\neq\) giunti è derivabile

• Differenziabilità

  \[\lim_{{h,k} \to {0,0}} \frac{{f(x_0 + h, y_0 + k) - f(x_0, y_0) - h \cdot \frac{{\partial f}}{{\partial x}}(x_0, y_0) - k \cdot \frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x_0, y_0)}}{{\sqrt{h^2 + k^2}}} = 0\]

  oppure se la funzione è \(\mathcal{C}^1\) derivabile che contiene di classe

  • \(f\) è differenziabile \(\Rightarrow f\) è continuo
  • \(f\) è differenziabile \(\Rightarrow \exists D_v f(x_0,y_0) = \nabla f(x_0,y_0)\)

  \(grad f = F_x \cdot F_y\)

  \[D_v f(x_0,y_0) = \lim_{{t} \to {0}} \frac{{F(x_0 + t \cdot v) - F(x_0,y_0)}}{{t}}\]

N.B. direzione bisettrice \(\left(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

bisettrice zq. \(\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right)\)

\(f\) è differenziabile \(\Rightarrow\) piano tangente

\(z = f(x_0, y_0) + F_x(x_0,y_0)(x-x_0) + F_y(x_0,y_0)(y-y_0)\)

\(N.B. \quad \nabla F_{x, y} \, nel \, campo \, e \, non \, nell \, eq. \, piano \, tg\)

\(\nabla F = dir \, max \, crescit\)

\(max = \sqrt{2 \cdot f_x^2}\)

N.B. "GRADIENTE"

se f diff in (x₀, y₀) → grad f è ⊥ alla curva di livello di f passante per (x₀, y₀)

grad f direzione max crescita di f

x - x0 y - y0 = [grad f(ξ)] [grad f(η)] → eq. retta tg alla curva di livello

v = ^u _{grad f} → D_uf(x₀,y₀)= grad f · v → massimo valore D_uf v direzione di questo

Hessiano

H = ^{|f_xx f_xy|} _{|fxy fyy|}

• palato rispetto a P attraverso curve la superficie z = f(x, y)
  1. λ₁, λ₂ > 0 → tutta sopra al piano tg
  2. λ₁, λ₂ < 0 → tutta sotto al piano tg
  3. λ₁ > 0, λ₂ < 0 → piano tg intersecato
  4. = 0 → semidefinita è non nulla
• punti di massimo e minimo (estremi liberi)

{ _{fx=0 fy=0} } → grad f=0 ricerca i