Formulario analisi 2

F

F con

= ∀i ≠ J i, J = 1, … , N

x x Centro di massa

Se è conservativo è irrotazionale

F ⇒ F

Se è esatta è chiusa

ω ⇒ ω 1

x = xρ x, y dx dy

massa Ω

Regola della catena 1

y = yρ x, y dx dy

d massa Ω

f∘γ t = ∇f γ t ⋅γ t

dt

Negli integrali doppi: v v

rot v x, y = ∇ × v x, y = − e

x y

f x, y dx dy = v v

div v x, y = ∇ ⋅ v x, y = +

x y

f ψ u, v det J u, v du dv La divergenza può essere interpretata come la densità di

flusso di uscente da per unità di misura.

v x , y

Coordinate polari e ellittiche Flusso di uscente da

v Ω

Polari: v ⋅ n dS

det J ρ, φ = ρ

Ellittiche: det J ρ, φ = abρ Teorema della divergenza

dominio regolare a tratti

Ω ⊆ ℝ

2

ℝ

Formule di Green in v ⋅ n dS = div v dx dy

semplice rispetto ad entrambi gli assi oppure con un

Ω

dominio regolare a tratti: Formula di integrazione per parti

f dx dy = + fdy

x div fv = ∇f ⋅ v + f div v

f dx dy = − f dx f div v = fv ⋅ n dS − ∇ f ⋅ v

y Se il campo è conservativo (v = ∇g):

div ∇ = tr D g

Flusso di attraverso

v γ

Ω = 1 dx dy = x dy = − y dx Φ v = v ⋅ n dS

1

= x dy − ydx

2 Metodi risolutivi:

• Definizione

• Integrale di II specie equivalente

• Teorema della divergenza (con alcune attenzioni)

Circuitazione di intorno ad

v Ω

v ⋅ T dS

2

ℝ

Teorema del rotore in

v ⋅ T dS = rot v ⋅ e dx dy

f x, y, z dx dy dz

Massa: ρ x, y, z dxdy dz

Volume: 1dxdy dz

Integrazione per fili

{

= , , ∈ ℝ : , ∈ , , ≤

}

≤ , , d d d

,

= , , d d d

,

Analogamente per x e y.

Integrazione per strati

= ∈ , , , ∈ ⊆ ℝ

, , d d d

= , , d d d

ℝ Cartesiana σ u, v = u, v, f u, v

σ u, v = u, f u, v , v

σ u, v = f u, v , u, v

σ ∧ σ = ∇f + 1

Porzione di paraboloide (superficie cartesiana) Versori normali: ± −∇f, 1

Σ= x, y, z ∈ ℝ : x + y ≤ R , z = x + y

D = x, y : x + y ≤ R ∇f +1

Parametrizzazione: Regolare

x=u

y=v

σ u, v = sono linearmente

Se e

σ u , v σ u ,v

z=u +v indipendenti.

D =ℝ • Versori normali

Tronco di cono (superficie cartesiana) σ u ,v ∧σ u ,v

± σ u ,v ∧σ u ,v

Σ= x, y, z ∈ ℝ : x + y ≤ R , z = x +y • Piano tangente

Parametrizzazione: x− x ,y− y ,z −z ⋅n =0

Π=

x=u

y=v

σ u, v = z= u +v Intorno all’asse z:

D =ℝ x t, φ = γ t cos φ

Superficie sferica y t, φ = γ t sin φ

σ t, φ = z t, φ = γ t

Σ= x, y, z ∈ ℝ : x + y + z = R D = a, b × 0,2π

Σ= R sin θ sin φ , R sin θ cos φ , R cos θ : φ, θ ∈ D σ ∧σ = γ t ⋅ γ t

D = 0,2π × 0, π

Parametrizzazione:

x = R sin θ sin φ

σ φ, θ = y = R sin θ cos φ i j k

z = R cos θ x y z

D =ℝ σ ∧σ = u u u

σ ∧ σ = −R sin θ ⋅ σ φ, θ x y z

v v v

σ ∧ σ = R sin θ

Superficie laterale del cilindro

Σ = x, y, z ∈ ℝ : x + y = R , 0 ≤ z ≤ h Area Σ = σ ∧σ du dv

Parametrizzazione:

x = R cos φ Per una superficie di rotazione:

σ u, v = y = R sin φ

z=z Area Σ = 2π γ t γ t dt

D = 0,2π × 0, h distanza dall’asse di rotazione.

γ t