Formulario di Analisi 2

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI MODENA E

REGGIO EMILIA

Dipartimento di Ingegneria “Enzo Ferrari”

Corso di Laurea in Ingegneria Informatica

Riassunto di

Analisi II Giovanni Tassotti

Basato sulle lezione di: Mercuri Carlo, Ferrari Luca

Indice

1 Equazioni differenziali 3

1.1 Risoluzione di un problema di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Equazioni a variabili separabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Risoluzione di un’equazione a variabili separabili . . . . . 4

1.3 Trovare l’intervallo di esistenza ”massimale” . . . . . . . . . . . . 4

1.4 Equazioni lineari di 1° grado, non omogenee, . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Teorema 2 - Soluzione generale di un’equazione del 1°ordine

lineare e soluzione del PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.2 Risoluzione di un’ED del 1° ordine + PC . . . . . . . . . 6

1.4.3 Equazione di Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Verifica della soluzione di un’equazione differenziale . . . . . . . . 7

1.6 Equazioni lineari di 2° grado a coeff. costanti . . . . . . . . . . . 7

1.6.1 Teorema 5 - Soluzione generale di un’equazione del 2°ordine

lineare e soluzione del PC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6.2 Teorema 8 - Verifica della lineare indipendenza delle so-

luzioni di un’eq. di 2° ordine . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.3 Teorema 9 - Trovare le soluzioni linearmente indipendenti

di y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

om

1.6.4 Teorema 10 - Trovare la soluzione particolare del polino-

mio caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.5 Risoluzione di un’ED del 2° ordine + PC . . . . . . . . . 10

2 Calcolo differenziale 13

2.1 Ricerca degli estremi assoluti vincolati . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Classificazione dei punti critici per funzioni di 2 variabili . . . . . 14

2.3 Limiti di funzioni in due variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.4 Verifica della continuità in un punto . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Verifica della esistenza e continuità delle derivate parziali . . . . 17

2.6 Verifica della differenziabilità in un punto . . . . . . . . . . . . . 18

2.6.1 Teorema del differenziale totale . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7 Equazione del piano tangente al grafico di una funzione . . . . . 18

2.8 Formula di Taylor al secondo ordine di una funzione di due variabili 19

3 Successioni e serie di funzioni 20

3.1 Successioni di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.1 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.2 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.1.3 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.2 Serie di funzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.1 Convergenza puntuale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.2 Convergenza uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2.3 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Serie di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1 Teorema A - ”convergenza puntuale della serie di Fourier” 22

3.3.2 Teorema B - ”convergenza uniforme della serie di Fourier” 24

4 Serie numeriche 27

4.1 Esempi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2.1 Criteri per le serie a termini non negativi . . . . . . . . . 27

4.3 Serie a termini qualunque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1 Criteri per le serie a termini qualunque . . . . . . . . . . 28

5 Integrali 29

5.1 Integrazione per parti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.1.1 Esempi fondamentali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

5.2 Integrali razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.1 Fratti semplici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

5.2.2 Casi non riconducibili ai precedenti . . . . . . . . . . . . . 31

2

1 Equazioni differenziali

Figura 1: Schema riassuntivo sulle equazioni differenziali

1.1 Risoluzione di un problema di Cauchy

( ′

y = f (x, y) eq. del 1° ordine in forma normale

(P.C.) y(x ) = y condizione iniziale

0 0

Una volta trovata la soluzione generale dell’equazione differenziale, dobbiamo

verificare la condizione iniziale andando a sostituirla in quest’ultima. Trovere-

mo il valore della nostra costante c che andremo a sostituire nuovamente nella

soluzione generale per ottenere l’unica soluzione del nostro PC.

1.2 Equazioni a variabili separabili

′

y = a(x)b(y)

Prima di trovare la soluzione dobbiamo verificare le condizioni di esistenza.

3

1.2.1 Risoluzione di un’equazione a variabili separabili

1. Fare in modo di avere tutte le variabili dipendenti nel membro di sinistra,

applicando le opportune condizioni di esistenza:

( ′ 2 2 2 2

− −

2xx = (x 1) (x 1) 2x

′ ′

· ⇒ =1

x = 1 x 2 2

−

2x (x 1)

−2

x(1) = 2 2

− ̸ ⇒ ̸ ±1

imponendo ((x 1) ) = 0 x =

2. Integrare entrambi i membri e troviamo la nostra soluzione generale:

r − −

Z Z

2x 1 t c

′ ⇒ ±

x dt = 1dt x(t) =

2 2

− −t −

(x 1) c

La costante c deve rimanere tale nel caso di somme, sottrazioni, . . . una

utile sostituzione per risolvere l’integrale è:

x = x(t)

′

dx = x (t)

3. Trovare la soluzione del PC imponendo la condizione iniziale:

r − −

1 t c 4

−2 ⇒ −2 − ⇒ −

x(1) = = c =

−t − c 3

r −3t + 7

La soluzione del nostro PC è: x(t) = −3t + 4

É importante notare che nei casi in cui abbiamo una radice dobbiamo

scegliere la parte da prendere a seconda di quello che abbiamo nel primo

membro.

4. (Se richiesto) trovare l’intervallo di esistenza massimale:

(q −3t+7 ≥ 0 4

−3t+4 ⇒ ∈ − ∞,

t 3

−3t ̸

+ 4 = 0

1.3 Trovare l’intervallo di esistenza ”massimale”

L’intervallo di esistenza massimale I è il più grande intervallo aperto in cui:

MAX

4

• l’equazione differenziale ha senso (ovvero se la funzione è differenziabile

su quell’intervallo, ergo continua e derivabile su quell’intervallo):

• troviamo il punto che ci viene imposto dal problema di Cauchy.

Siccome tutte le funzioni differenziali che ci verranno assegnate saranno conti-

nue e derivabile su un intervallo escluso al più un numero di punti, andiamo

a trovare questi ultimi calcolando le condizioni di esistenza della nostra ED e

imponendole successivamente alla soluzione particolare. Trovata anche la so-

luzione particolare, verifichiamo le condizioni di esistenza di quest’ultima e le

intersechiamo con quelle precedentemente trovate. Per concludere prendiamo

l’intervallo che contenga la condizione iniziale (l’intersezione tra intervalli

non è un intervallo aperto).

1.4 Equazioni lineari di 1° grado, non omogenee, . . .

′ ∈

y (x) + p(x)y = q(x), p, q C(I)

1. linearità - teorema della funzione implicita

l’eq. ha struttura = q(x), dove è la parte dell’equazione che dipende

Ly L

′ ′

da y e da y : = y + p(x)y.

Ly ∀α, ∈ ∀y

è un operatore lineare, cioè β , y derivabili vale che =

L R, L

1 2

′ ′ ′

(αy + βy ) = (αy + βy ) + p(x)(αy + βy ) = αy + βy + αp(x)y +

1 2 1 2 1 2 1

1 2

βp(x)y = αLy + βLy

2 1 2

2. non omogenee ≡

perché q(x) non può essere nullo. Nel caso q 0 parliamo di equazione

omogenea.

3. in forma normale

′

y (x) non ha coefficienti (non tutte le funzioni si possono ridurre in forma

normale).

4. a coefficienti costanti

p e q sono delle funzioni.

1.4.1 Teorema 2 - Soluzione generale di un’equazione del 1°ordine

lineare e soluzione del PC

′

La soluzione generale di y (x) + p(x)y = q(x) è rappresentata da:

Z

n o

−P (x) P (x)

y(x) = e c + e q

• dove P (x) è una qualsiasi primitiva di p(x)

• dove ”assortiamo” in c tutte le costanti di integrazione

Il problema di Cauchy

( ′ (x) + p(x)y = q(x)

y ∈

dove x I

0

y(x ) = y

0 0 5

1.4.2 Risoluzione di un’ED del 1° ordine + PC

1. Individuare i coefficienti:

Risolvere i seguenti problemi di Cauchy ad equazioni differenziali del

primo ordine

( 2

′ xt t +1 2

−

x = 1 t + 1

t −

p(x) = q(x) =

t t

−1

x(1) = ̸

imponendo t = 0

2. Trovare P (x) e applichiamo il Teorema 2 per trovare la soluzione genera-

le: Z Z 1 −

− dt = log t

P (x) = p(x)dt = t 2

Z t + 1 1

n o

−

log t log t · −

x(t) = e c + e dt = t c + t

t t

3. Trovare la soluzione del PC imponendo la condizione iniziale:

1

−1 ⇒ −1 − ⇒ −1

x(1) = = c + 1 c =

1 2 − −

La soluzione del nostro PC è: x(t) = t t 1

4. (Se richiesto) trovare l’intervallo di esistenza massimale:

̸

Siccome per le condizioni di esistenza t = 0, la nostra funzione

∪

sarà continua in (−∞, 0) (0, +∞); la condizione del PC impone

⇒

il passaggio per t = 1 I = (0, +∞)

M AX

1.4.3 Equazione di Bernoulli

′ α

y + p(x)y = q(x)y

• se α = 0 =⇒ un caso particolare dell’equazione lineare del 1° ordine;

• ′ −

se α = 1 =⇒ y + (p(x) q(x))y = 0;

• ̸

se α = 0, 1 =⇒ nuovo caso di cui andiamo a formulare la soluzione.

Assumiamo che le funzioni p e q siano definite sullo stesso intervallo I (dove

⊆ −→

I è l’intersezione tra i domini delle due funzioni) con p, q : I R R e ivi

6 α

̸

continue (quindi Riemann-integrabili). Se y(x) = 0 su I, dividendo l’eq. per y

abbiamo che: ′ −α 1−α

y y + p(x)y = q(x)

Strategia: definiamo una nuova funzione 1−α

z(x) = [y(x)] ′

z

′ ′ −α ′

1−α−1

− −

z = (1 α)y y = (1 α)y y =⇒ + p(x)z = q(x) =⇒

−

1 α

′ −

− z = q(x)(1 α)

z + p(x)(1 α) |

{z } {z }

| ¯ ¯

p(x) q(x)

Dal Teorema 2: Z

n o

¯ ¯ ¯

R

− p(x)dx p(x)

z(x) = e c + e q(x)dx

1.5 Verifica della soluzione di un’equazione differenziale

Per verificare se una funzione è una soluzione di una data equazione differenziale

o di un problema di Cauchy, basta calcolarsi la derivata prima e controllare che

risulti uguale alla nostra ED.

1.6 Equazioni lineari di 2° grado a coeff. costanti

′&p