Formulario di Analisi 2

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Zn o−P (x) P (x)y(x) = e c + e q• dove P (x) è una qualsiasi primitiva di p(x)• dove ”assortiamo” in c tutte le costanti di integrazioneIl problema di Cauchy( ′ (x) + p(x)y = q(x)y ∈dove x I0y(x ) = y0 0 51.4.2 Risoluzione di un’ED del 1° ordine + PC1. Individuare i coefficienti:Risolvere i seguenti problemi di Cauchy ad equazioni differenziali delprimo ordine( 2′ xt t +1 2−x = 1 t + 1t −p(x) = q(x) =t t−1x(1) = ̸imponendo t = 02. Trovare P (x) e applichiamo il Teorema 2 per trovare la soluzione genera-le: Z Z 1 −− dt = log tP (x) = p(x)dt = t 2Z t + 1 1n o −log t log t · −x(t) = e c + e dt = t c + tt t3. Trovare la soluzione del PC imponendo la condizione iniziale:1 −1 ⇒ −1 − ⇒ −1x(1) = = c + 1 c =1 2 − −La soluzione del nostro PC è: x(t) = t t 14. (Se richiesto) trovare l’intervallo di esistenza massimale:̸Siccome per le

condizioni di esistenza t = 0, la nostra funzione sarà continua in (−∞, 0) (0, +∞); la condizione del PC impone⇒il passaggio per t = 1 I = (0, +∞)M AX1.4.3 Equazione di Bernoulli′ αy + p(x)y = q(x)y• se α = 0 =⇒ un caso particolare dell’equazione lineare del 1° ordine;• ′ −se α = 1 =⇒ y + (p(x) q(x))y = 0;• ̸se α = 0, 1 =⇒ nuovo caso di cui andiamo a formulare la soluzione.Assumiamo che le funzioni p e q siano definite sullo stesso intervallo I (dove⊆ −→I è l’intersezione tra i domini delle due funzioni) con p, q : I R R e ivi6 α̸continue (quindi Riemann-integrabili). Se y(x) = 0 su I, dividendo l’eq. per yabbiamo che: ′ −α 1−αy y + p(x)y = q(x)Strategia: definiamo una nuova funzione 1−αz(x) = [y(x)] ′z′ ′ −α ′1−α−1− −z = (1

α)y y = (1 α)y y =⇒ + p(x)z = q(x) =⇒−1 α′ −− z = q(x)(1 α)z + p(x)(1 α) |{z } {z }| ¯ ¯p(x) q(x)Dal Teorema 2: Zn o¯ ¯ ¯R− p(x)dx p(x)z(x) = e c + e q(x)dx1.5 Verifica della soluzione di un’equazione differenzialePer verificare se una funzione è una soluzione di una data equazione differenzialeo di un problema di Cauchy, basta calcolarsi la derivata prima e controllare cherisulti uguale alla nostra ED.1.6 Equazioni lineari di 2° grado a coeff. costanti′′ ′y + a (x)y + a (x)y = b(x)1 0| {z }L(y)1.6.1 Teorema 5 - Soluzione generale di un’equazione del 2°ordinelineare e soluzione del PCLa soluzione è: y(x) = y (x) + y∗omDove:• y (x) è la soluzione generale di = 0, y (x) = c w (x) + c w (x)L(y)om om 1 1 2 2• y è una soluzione particolare dell’equazione completa∗Il problema di Cauchy ′′ ′y + a (x)y +

a (x)y = b(x)1 0

∩ dove x Iy(x ) = y 00 0′

y (x ) = y

0 1 71.6.2 Teorema 8 - Verifica della lineare indipendenza delle soluzionidi un’eq. di 2° ordine

Ipotesi: ∩Assumiamo che a (x) e a (x) C(I) e siano w e w soluzioni di:

1 0 1 2′′ ′ = 0y + a (x)y + a (x)y1 0

| {z }L(y)

Tesi: w (x) w (x)1 2 ̸ ∀x ∩ = 0 Iw e w sono linearmente indipendenti su I det1 2 ′ ′

w (x) w (x)1 2{z }|”matrice wronskiana”

Trovare tutte le soluzioni (la soluz. generale) di:

′′ ′2 −9x y + 12xy 2y = 0 su I = (0, +∞)

Soluzione: ′′ ′La nostra equazione non è nella forma = b(x) con = y +a (x)y +L(y) L(y) 12 ̸a (x)y ma possiamo dividere per 9x , ponendolo = 0 su I = (0, +∞) ed0ottenere un’eq. equivalente.

Quindi tutti i teoremi sono applicabili. In particolare y(x) = c w (x) +1 1c w (x) dove w e w sono soluzioni linearmente indipendenti.

2 2 1 2Strategia: cerchiamo

generale dell'ED su I = (0, +∞) è y(x) = cx + 1-2/3 ∈ cx, c, c R2 1 21.6.3 Teorema 9 - Trovare le soluzioni linearmente indipendenti diyom1.6.4 Teorema 10 - Trovare la soluzione particolare del polinomiocaratteristico∈Siano α, β e P un polinomio di grado r (corrisponde al grado di b(x)).R rAllora una soluzione particolare di ( αx sin βxP (x)er= b(x) =L(y) αxP (x)e cos βxr9è data da: n o**h αx Q (x) cos βx + P (x) sin βxy (x) = x e* r r• ±dove h è la molteplicità di α iβ come radice del polinomio caratteristico(h = 0 se non è radice);• **dove Q (x) e P (x) sono opportuni polinomi di grado rr r1.6.5 Risoluzione di un'ED del 2° ordine + PC1. Individuare la soluzione della nostra ED:Risolvere i seguenti problemi di Cauchy ad equazioni differenziali delsecondo ordine '' ' t- -x 2x + x = t(e

1. ′′ ′ t⇒ − −x 2x + x = te 2tx(0) = 2′
2. x (0) = 1

Soluzione: x(t) = x (t) + c w (t) + c w (t)∗ 1 1 2 2| {z }xom iiiiii ⇒ ) = b (x) + b (x)) +(t) ) =(t) + x

dove x (t) = x L(xL(x L(x∗∗ 1 2∗∗∗∗Possiamo riscrivere il forzante in questo modo grazie alla linearità dell’eq.

2. Trovare la soluzione generale (calcolando il polinomio caratteristico e ap-plicando il Teorema 9):

2 2 2− → − →λ ∈Φ(λ) = λ 2λ + 1 = 0 (λ 1) = 0 = 1 Rcon molt. 2(( tλt w = ew = e 11 t t⇒ ∈x = c e + c te , c , c Rom 1 2 1 2λt tw = te w = te22 103.

3. Cercare la soluzione particolare (applicando il Teorema 10, in questo casoseparatemente per ogni polinomio)

Analizziamo t αtb (t) = te = P (t)e cos βt r = 1, α = 1, β = 01 r± → →α iβ = 1 è radice di Φ h = 2n o∗

1. Calcoliamo le derivate:
• i t³ x(t) = e^{(at + bt)}
• i t³ x'(t) = e^{(at + bt + 3at + 2bt)}
• i t³ x''(t) = e^{(at + bt + 6at + 4bt + 6at + 2b)}
2. Se andiamo a sostituire nell'ED, otteniamo:

(1a = 1i 3 t6 ⇒ x(t) = t e^6b = 0

1. 2 ± → → α iβ = 0 non è radice di Φ
2. h = 0
3. n o*

1. Calcoliamo le derivate:
• ii x(t) = at + b
• ii x'(t) = a
• ii x''(t) = 0
2. Se andiamo a sostituire nell'ED, otteniamo:

(-2a = ii⇒ -2t - x(t) = 4*-4b = 11

calcolare la derivate prima dellasoluzione principale: 1 1′ t t t 2 t 3 t −x t t(t) = c e + c e + c te + e + e 21 2 2 2 6( ( (−x(0) = 2 2 = c 4 c = 61 1′ − −3x (0) = 1 1 = c + c 2 c =1 2 2Conclusione: 1 3 tt t − −− t e 2t 4x(t) = 6e 3te + 6122 Calcolo differenziale2.1 Ricerca degli estremi assoluti vincolatiDeterminare il massimo e il minimo assoluti (ovvero la quota o valore di z) oi punti di massimo o minimo assoluti di una data funzione su un determinatoinsieme AProcedimento:○ Verificare che l’insieme sia diverso dal suo dominio naturale e1 che la nostra funzione sia continua○ oDividiamo il nostro insieme A nei punti interni A e nei punti di2 frontiera ∂A○ oRicerca degli estremanti nell’interno di A (A )3 • Cerco le coordinate (x , y ) dei: punti critici (posso trovarli ponen-0 0∇fdo (x , y ) = 0), verificando che appartengano al nostro insieme0 0interno, e punti in cui f non è derivabile

(capita più raramente), verificando che appartengano al nostro interno.

• Ricerca degli estremanti sulla frontiera di A (∂A)
• Se spezzo la frontiera in più parti devo considerare i punti di raccordo tra le restrizioni come possibili punti di est