Formulario elettrotecnica

Formulario di elettrotecnica

Introduzione

Con e− → −v: +, v(a) = + v(b) = Tensione: ab |P| = vi Potenza • Convenzione degli utilizzatori: i versi sono discordi (la corrente va da a La potenza − +). è assorbita: P = vi • Convenzione dei generatori: i versi sono concordi (la corrente va da a La potenza −). + è erogata: −vi P = −

Leggi di Kirchhoff

• Numero maglie: m = b n + 1
• Legge di Kirchhoff delle correnti: P i = 0
• Legge di Kirchhoff delle tensioni: P v = 0

kmaglia − v = e e Potenziale di nodo m M m Mei = i = i v = v + v

Bipoli

Bipoli in serie:

• ei = i + i
• v = v = v

Bipoli in parallelo:

• i = g(v) = Gv + A Bipoli controllabili in tensione
• v = r(i) = Ri + v Bipoli controllabili in corrente

Resistenza

v = Ri [Ω]

• In serie: P RR = eq ii
• In parallelo: 11 P= iR q Re i

Conduttanza: G = [S]

• In parallelo: PG = Geq ii

Potenza

2v (t)² > 0 p(t) = v(t)i(t) = Ri(t) = Potenza RP Pi = ( v )/( R )

Circuito a 1 maglia

k kP Pv = ( i )/( G )

Circuito a 2 nodi

R In serie. Con 2 resistenze e Rjv = v v = v v = 1 Partitore di tensione j 1 2 maglia maglia R R + R eq 1 2.R v 2 maglia R + R 1 2

Partitore di corrente

• G In parallelo. Se si utilizza il numeratore è la somma di ji = i R,
• Partitore di corrente j nodo G eq tutte meno. Con 2 resistenze e .G GR i = i i = i 1 2 j 1 2 nodo nodo G + G G + G 1 2 1 21

Trasformazioni

i A v E− −i = Gv + A =⇒ R = v = ; v = Ri + E =⇒ G = A =0G G R RP PV = ( G v )/( G ) Teorema di Millman k k k

Generatori equivalenti

Il valore della potenza totale non cambia, ma varia il modo in cui è prodotta.

• Situazioni non ammissibili:
• Generatori di tensione in parallelo se diversi.
• Generatori di corrente in serie se diversi.
• Il generatore di tensione o un resistore non influenzano il circuito ai fini della caratteristica.
• Il generatore di corrente o un resistore non influenzano il circuito ai fini della caratteristica.

Generatore di corrente

(a) Generatori in serie (b) Generatori in parallelo

Doppio bipolo

Possibile se 6det G = 0.

Controllata in corrente

• r r11 12 ·v = R i + E R = r r21 22
• v v v v1 1 2 2 r = r = r = r =11 12 21 22
• i i i i1 2 1 2 i =0 i =0 i =0 i =02 1 2 1

Controllata in tensione

• g g11 12 −1·i = G v + A G = = R g g21 22
• i i i i1 1 2 2 g = g = g = g =11 12 21 22
• v v v v1 2 1 2 v =0 v =0 v =0 v =02 1 2 1

Formulazione ibrida diretta

• h heiv 11 1211 H =+= H a h hvi 21 2222
• v v i i1 1 2 2 h = h = h = h =11 12 21 22
• i v i v1 2 1 2 v =0 i =0 v =0 i =02 1 2 1

Possibile se 6det H = 0.

Formulazione ibrida indiretta

0 0 h havi 11 −100 11 12 = HH =+= H 0 0 h heiv 22 21 22 i i v v1 1 2 20 0 0 0 h = = = =h h h11 12 21 22 v i v i1 2 1 2 i =0 v =0 i =0 v =02 1 2 1

Formulazione di trasmissione diretta

• v v t t1 2 11 12= T T =i i t t1 2 21 22
• v i iv 1 1 11 t = t = t =t = 12 21 2211
• v i v i2 2 2 2 i =0 i =0 i =0 v =02 2 2 2

Formulazione di trasmissione inversa

• 0 0 v v t t2 10 0 11 12= T T = 0 0 i i t t2 1 21 22
• v v i i2 2 2 20 0 0 0 t = t = t = t =11 12 21 22
• v i v i1 1 1 1 i =0 v =0 i =0 v =01 1 1 1

Configurazioni di resistenze

Configurazioni e

Se esiste esiste sempre la configurazione a .T R, T Configurazione a R + R RA C CR = R R + RC B C Se esiste esiste sempre la configurazione aΠ G, Π.Configurazione a −GG + GA C CG = −G G + GC B C Figura 1: Configurazione a e aT Π

Passaggio da a R

• R R R R R RAB AC AB BC AC BCR = R = R =A B CR + R + R R + R + R R + R + RAB BC AC AB BC AC AB BC AC

4Y Passaggio da a R

• R G GA B A BR = R + R + G =AB A B AB
• R G + G + GC A B CR R G GB C B CR = R + R + G =BC B C BCR G + G + GA A B CR R G GA C A CG =R = R + R + ABAC A C R G + G + GB A B C

Se le tre resistenze sono uguali

R = 3R4 Y 4

Analisi nodale

Si considerano come positive le correnti uscenti dal nodo; −i = (e e )/G.aab b

Resistenze e generatori di corrente

1. Scegliere un nodo come nodo di riferimento;
2. Applicare la LKC a tutti i nodi, meno quello di riferimento;
3. Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo.

Nota operativa

Sia un circuito di quattro nodi (di cui uno di riferimento). Ge = is • : somma delle conduttanze dei resistori connessi al nodo; G ii • : somma delle conduttanze dei resistori connessi tra il nodo e−G i j; ij • : somma delle correnti dei generatori connessi al nodo i i. si La matrice è simmetrica.

Resistenze, generatori di corrente e di tensione

1. Scegliere un nodo come nodo di riferimento;
2. Applicare la LKC a tutti i nodi, meno quello di riferimento;
3. Esprimere tutte le correnti nei resistori in funzione delle tensioni di nodo;
4. Inserire tante variabili ausiliari quanti gli elementi non controllabili in tensione (generatori di tensione);
5. Aggiungere i vincoli imposti dai generatori di tensione.

Super-nodi per resistenze, generatori di corrente e di tensione e Op-amp ideali

1. Scegliere un nodo come nodo di riferimento;