Formulario elettrotecnica

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C Caperto e l'induttore con un corto circuito.

Nell'istante sostituire il condensatore con un generatore indipendente di tensione+t = 0 di valore o l'induttore con un generatore indipendente di corrente di valorev (0) i (0)C Le ricavare +y(0 ).

Sostituire il condensatore con un circuito aperto o l'induttore con un corto circuito, ricavando y(∞).

Determinare la resistenza vista dal condensatore o dall'induttore. Req

La grandezza si ottiene dalla relazione cont+ −y(t) [y(0 )−y(∞)] exp +y(∞) τ = R Ceqτo τ = L/R Ceq 98 Circuiti differenziali del secondo ordine Circuiti RLC serie o parallelo.

2ẍ + 2αẋ + ω x = 0 Forma canonica 0.α Smorzamento• Serie : Rx = i α =L 2L• Parallelo : G 1x = v α = =C 2C 2RC1ω = Risonanza √0 LC p 22−α ± −s = α ω Soluzioni 1,2 0α > ω Circuito sovra-smorzato 0• Soluzione: s t s tA e + A

è riscrivibile in forma matriciale con se non sono presenti

ẋ = Ax + u

u = 0

generatori.

In un circuito le relazioni devono essere in funzione di e .

RLC i v c

LH H i v

11 12 s

C C C

Cẋ = A = u = v

H Hi s

21 12

L LL L

tr(A) 2− −α = ω = det(A) y = ẍ tr(A) ẋ + det(A)x0

Il sistema è stabile se etr(A) < 0 det(A) > 0.

9.1 Regime alternato (co-)sinusoidale

9.1 (Co-)sinusoidi e fasori

x(t) = A cos (ωt + ϕ)

Cosinusoide

Fissato jϕ jωt<(Xeω: X = Ae =⇒ x(t) = )

Fasore dX̄ ruotato in senso antiorario, modulo moltiplicato per

jω X̄ 90° ωdt

Non è un fasore.

Immettenza

• Impedenza ¯Z: V̄ = Z I [Z] = [Ω] Z = R + jX

resistenza

R:– reattanza

X:–

• Ammettenza : ¯ −1Y I = Y V̄ [Y ] = [Ω ] Y = G + jB

conduttanza

G:– suscettanza

X:– Impedenza Ammettenza Reattanza Suscettanza

Z Y X B

Resistore 0 0

R G = 1/R

Induttore −1/ωLjωL 1/jωL ωL >

0Condensatore -1/ωC1/jωC jωC < 0 ωC.Circuito RLC• In serie: jϕ|Z|eZ = R + j(X + X ) = zC L• In parallelo: jϕ|Y |eY = G + j(B + B ) = yC LSerie - parallelo N N Z Z1 2X XZ = Z Y = Y Z = N =2sS Pk k Z + Z1 2k=1 k=19.1.1 Metodo simbolico dei fasori1. Sostituire ogni generatore indipendente di pulsazione con un generatore di valore costante, ωpari al fasore corrispondente.2. Sostituire ogni variabile (tensione o corrente) con il fasore corrispondente.113. Sostituire ogni condensatore di capacità con un bipolo di impedenza ed ogniC 1/(jwC),induttore di induttanza con un bipolo di impedenzaL jwL.4. Analizzare il circuito così ottenuto alla stregua di un circuito resistivo, ricavando i fasori dellegrandezze desiderate.5. Ricavare le grandezze sinusoidali con la legge di antitrasformazione dei fasori:X = A exp (jϑ) =⇒ x(t) = A cos (ωt + ϑ)9.1.2 Dominio del tempo - dominio dei fasori129.2 Potenza 12

• · −p(t) = v(t) i(t) = V I cos (ϑ ϑ ) + cos (2ωt + ϑ + ϑ )
• Potenza istantanea max max v i v i12 −P = V I cos (ϑ ϑ ) = V I cos ϕ
• Potenza attiva (o media) max max v i e eM• Resistore: 21 V 1 11 max2 2 2V I = RI = p(t) = RI + RI cos (2ωt + 2ϑ )P = max max iM max2 2 2R 2 2
• • Induttore e condensatore: P = 0M1 12 2−p (t) = ωLI sin (2ωt + 2ϑ ) p (t) = ωCV sin (2ωt + 2ϑ )i iL Cmax max2 2Valore efficace VI maxmax√ √V = P = V II = e eMef fef f 2 2
• Potenza complessa S = V̄ I = V I (cos ϑ + j sin ϑ) = P + jQ [VA]e e
• • Potenza attiva: P = P = S = V I cos ϕ [W]e eM• Potenza reattiva: Q = V I sin ϕ [var]e e• Potenza apparente p 2 2|S|A = = P + Q [VA]• −arg S = (ϑ ϑ ) = ϕv i• Resistore: - solo attiva2 ∈S = RI Re - solo reattiva• Induttore: 2 ∈> 0S =

jωLI Ie 2I•

Condensatore: - solo reattiva∈S = j < 0e IωCPcos ϕ =Fattore di potenza SSi aggiunge un condensatore di capacità C.

Rifasamento industriale −P (tan ϕ tan ϕ )u 1 2C = 2ωVP−η = 1 uRendimento P gPotenza erogabile da una sorgente E−XX = R = R I =s u s u max 2RSRete di adattamento r Rs 2−X −n = X = n Xs uRuT = nT = mTRegime periodico 1 2 ( seP 6P = P n = miM i seP6P = P n = miM iMassimo trasferimento 2|V |SZ = Z̄ P =carico adattamento disp 8Rs1310 Risposta in frequenzaLa risposta è qualsiasi tensione o corrente nel circuito, l’ingresso èFunzione di trasferimentol’unico generatore indipendente nel circuito.Fasore della rispostaH(jω) = Fasore dell’ingressoFunzione di rete generica|V | |H(jω)| · |V |cos (ωt + ϕ ) = cos (ωt + ϕ + ϕ(ω))out out in in• risposta in ampiezza - varia l’ampiezza della sinusoide|H(jω)|:•

di risonanza si comporta come un filtro passa-banda:

√1

√1

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