Fisica sperimentale (pt. 1)

FORZA DI ATTRITO VISCOSO

f = −βv è proporzionale a v

v

= =

è il coefficiente di attrito viscoso (u.m )

β 2

−1

dipende dalla forma dell’oggetto e dalle caratteristiche del fluido: temperatura, fluidità,

,

β = 6πRη η=

densità. In particolare, per corpi sferici, con viscosità del fluido: misura

−6 2 ;

quanto attrito il fluido offre. Nell’aria dove nell’acqua

η ≅ 17x10 ∙ , = /

−3 nella glicerina

η ≅ 10 ∙ ; η ≅ 1.5 ∙ . 2

N.B. Se la velocità è molto alta, si parla di moto turbolento ed è proporzionale a , nel

f v

v

nostro caso supponiamo che la velocità sia bassa e che il moto sia laminare.

Se l’unica forza agente sul corpo è la forza peso:

F = ma = mg → g = a

Se sul corpo oltre alla forza peso, agisce l’attrito viscoso:

mg − βv = ma la componente x è nulla, le uniche forze agenti sul corpo

sono dirette lungo y, quindi posso passare dai termini vettoriali agli scalari, facendo

attenzione ai segni: infatti la forza peso è diretta verso il basso, l’attrito viscoso verso l’alto

mg − βv βv

−mg + βv = −ma → a = →a=g−

→ m m

È costante aumenta sempre più

Quando il secondo termine uguaglia il primo a diventa nulla e il moto diventa rettilineo

uniforme con velocità v:

βv βv m

a=g− =0→ =g→v=g VELOCITÀ DI REGIME

m m β

Quindi il moto inizialmente è accelerato, per poi trasformarsi, al ridursi dell’accelerazione

in rettilineo uniforme, con velocità pari alla velocità di regime. 32

Studiamo ora il moto di un corpo la cui velocità iniziale non è nulla e su cui agisce attrito

viscoso.

y v 0 x

Condizioni iniziali: (0) (0)

v = v î + v ĵ → v = v e v = v

0 0 0 x 0x y 0y

Applicando la seconda legge della dinamica:

F = ma

mg − βv = ma → x) 0 − βv = ma

x x

→ ) − mg − βv = ma

y y

dv m dv m dv

x) x x x

−βv = m → +v = − → ∫− dt = +c

∫

x x

dt β dt β dt

con c costante arbitraria, ciascuno dei due integrali ha una costante la cui somma è c che

porto al secondo membro

β β β β

− mt+c − mt − mt

c

ln v = − t + c → v = e → v = e e → v = A e

x x x x

m

I (t 0)

mponendo le condizioni iniziali ottengo che v = = A = v

x 0x

β

− t

v = v e

Quindi: m

x 0x dv dv dv

mg m

y y y

y) – mg − βv = ma = m → + v = − → =

∫ mg

y y y

dt β β dt +v y

β

β mg β mg −

− dt + c → ln ( + v ) = − t + c → + v = → v =

∫

y y y

m β m β

−

−

mg mg

I (t 0)

mponendo le condizioni iniziali ottengo che = = B − = v → = + v

0y 0y

β β

mg

−

−

( )

Quindi: v = + v

y 0y

β 33

:

Quindi β

− t

v = v e m

x 0x

mg

−

−

v = ( + v )

y 0y

β

Ma se t→ ∞ 0

β

− mt

v = v e

x 0x

mg mg

β

− mt

e −

v = ( + v )

y 0y

β β

0

−

Quindi la velocità verticale tende ad assumere valore costante pari a dove il segno

– è dovuto al fatto che la velocità verticale è diretta verso il basso; mentre la velocità

m.

orizzontale tende a 0. La velocità con cui va a 0 l’esponenziale dipende da e

y β1 con β2 > β1

β2 x

y β=0 x

N.B. il moto piano è accelerato, ma non uniformemente accelerato. 34

PENDOLO SEMPLICE Il pendolo semplice (o pendolo matematico) è un sistema

fisico costituito da un filo inestensibile e da una massa

puntiforme (m) fissata alla sua estremità e soggetta

all'attrazione gravitazionale (che supponiamo uniforme

nello spazio e costante nel tempo). T è la tensione del

filo, la risposta del filo alla forza che la pallina esercita sul

filo, cioè la reazione vincolare del filo; è una forza di

contatto.

F = ma se il corpo è fermo

T + m = 0 se il corpo è in moto

T + m = ma dv

x) 0 + mgcosθ = ma = m

tg dt

2

mv

y) T − mgsinθ = ma =

c d

Ricorrendo al teorema del momento angolare si ottiene:

dl

dmgsinθk̂

= m = m + m (mg) = d × T + d × mg =

(T)

o o o

dt d ha modulo pari alla lunghezza del filo, è diretto lungo il filo

dal punto O al punto in cui è legata la pallina. Ne consegue che d e T sono antiparalleli,

quindi il loro prodotto vettoriale è nullo π k̂

l = d × q = d × mv = +dmv sin

o 2

k̂

d(+dmv )

dmgsinθk̂ = dt

dv

dmgsinθk̂ k̂

= +dm poiché entrambe le componenti dipendono solo da K,

dt

proietto tutto su K, passando ad una equazione scalare 35

dv

gsinθ = assumendo che θ<<1 rad (57,3 °), cioè nell’ipotesi di piccole

dt

oscillazioni, posso approssimare sinθ con θ, infatti se θ tende a zero, con gli sviluppi di

Taylor osservo che, approssimando al primo ordine, sinθ= θ+o(θ)

Quindi:

dv

gθ = dt

In un moto circolare uniforme: 2 2

dθ dθ v d dθ d θ d θ g

(

v = ωd = d → ω= = → gθ = d) → gθ = d → − θ=0

2 2

dt dt d dt dt dt dt d

Abbiamo un’equazione differenziale di secondo ordine, si sceglie, dunque, una soluzione

di prova: 2

dθ d θ 2

θ(t) cos(ωt φ) sin(ωt φ)

= θ sin (ωt + φ) → = θ + ω → = −θ + ω

0 0 0

2

dt dt

2

d θ g g

2

sin(ωt φ) sin(ωt φ)

Sostituendo si ottiene: − θ = 0 → −θ + ω + θ + =

0 0

2

dt d d

g

2 √( ) è la pulsazione del moto, NON è la velocità angolare, per

ω − = 0 → ω =

d m

−1

√( )

non fare confusione possiamo indicarlo con ; u.m.

ω =

2

m s

θ(t) sin(ωt φ)

Quindi una possibile soluzione: con valore iniziale

= θ + θ

0 0

dell’angolo formato con l’asse verticale; dipende dalla geometria del sistema (da

ω

quanto è lungo il filo); è la fase iniziale.

φ

e sono costanti e dipendono dal tipo di moto (sono angoli); è una costante,

θ φ ω

0

sempre uguale, non arbitraria.

T

θ sinφ

0

Questo moto si definisce MOTO OSCILLATORIO ARMONICO, è un moto periodico. Il

periodo, inteso come l’intervallo di tempo che intercorre tra due massimi (o minimi), è 36

2π d

definito come: . La frequenza è, invece, il numero di cicli nell’unità di tempo,

= = 2π√

ω g 1

indicata come essa è il reciproco di T, cioè [Hz o 1/s].

, = =

2

Infine sfruttando l’equazione di equilibrio lungo y:

2

mv

y) T − mgsinθ = ma =

c d 2

mv ,

T = mgsinθ +

ricaviamo la tensione che agisce sul filo quindi non è costante ma

d

varia durante il moto del pendolo.

SPINTA DI ARCHIMEDE

opposta alla forza peso

F = −(m g)

A fluido

m 3

u.m kg/m

ρ = densità = V

m = ρ V

fluido fluido spostato

modulo della spinta di Archimede

|F | = V g

A fluido

È diretta come la verticale locale, con verso positivo,

cioè antiparallela al peso P.

Come detto, è la densità, in particolare si considerino i seguenti valori di riferimento

ρ 3 3 3

, .

≅ 1.3 / ≅ 10 /

20

FORZA ELASTICA m g

La forza elastica è una forza a contatto esercitata dai corpi a seguito di una deformazione

che li comprime o che li dilata. Propriamente è dovuta alle interazioni elettrostatiche tra gli

atomi della molla. È diretta nella direzione della molla e in verso opposto alla forza peso. 37

N.B nell’analisi assumiamo che l’unica massa presente sia il corpo azzurro in figura e che

la molla abbia massa trascurabile.

F = −k ∆r

el

dove è la deformazione, cioè l’allungamento o accorciamento rispetto alla lunghezza a

∆r

riposo. Invece k è la costante elastica [N/m], dipende dalla geometria.

F = −k ∆r ∆r = 0

el

F = −k x x = x î

el 1 1 1

F = −k x x = −x î

el 2 2 2

mg + N + F = ma → x) − kx = ma

el x

→ y) − mg + N = 0

2 2

d x d x eqne del MOTO OSCILLATORIO ARMONICO

−k x = → + kx = 0

2 2

dt dt

x(t) con costanti

= x sin (ωt + φ) , ,

0 0

2

dx d x 2 2

(ωt φ)ω

= x sin (ωt + φ)ω = −x sin +

0 0

2

dt dt

Sostituendo si ottiene:

2 2

(ωt φ)ω sin(ωt φ)

−x sin + + x + ω = 0

0 0

à

√ √

= = = =

pulsazione u.m. 1/s, infatti √ √ 2

θ sinφ

0

θ sinφ

0 38

Il moto oscillatorio armonico semplice comporta un’oscillazione che si mantiene costante.

Sperimentalmente, però, si osserva che le oscillazioni diventano sempre più modeste.

Questo perché non si è tenuto conto delle forze d’attrito viscoso.

MOTO OSCILLATORIO ARMONICO SMORZATO

Deriva dalla combinazione di forza elastica e attrito viscoso

F = ma tutto su x

−kx − βv = m →proiettando −kx − βv =