Fisica sperimentale (pt. 1)

Sommario

Introduzione ................................................................................................................................ 2

Cinematica.................................................................................................................................... 8

Moti nel piano ......................................................................................................................... 12

Esercizi di cinematica ............................................................................................................. 17

Dinamica .................................................................................................................................... 23

Esercizi di dinamica ............................................................................................................... 41 1

INTRODUZIONE

Per dare una definizione al concetto di misura, bisogna innanzitutto dare una definizione al

concetto di misurazione. Con quest’ultimo termine, in particolare, si intende il processo

mediante il quale si quantifica una grandezza fisica, mentre con il primo termine si intende

l’esito di tale processo. Il concetto di misura è sempre associato a quello di errore. In

effetti, per definizione stessa (UNI 4546) una misura è un’informazione assegnata a

descrivere un determinato parametro di un determinato sistema costituito da un numero,

un’incertezza e un’unità di misura. Nessuna misura, dunque, è esente da errore. Misurare

permette di conoscere, di descrivere, di controllare un sistema fisico e di prendere

decisioni per modificarne lo stato. L’incertezza sulla grandezza che si vuol misurare può

essere causata da diversi fattori:

- Interferenza dello strumento di misura sul fenomeno fisico che si vuol misurare (errore di

inserzione);

- Livello di approssimazione del modello;

- Grandezze di disturbo non identificate.

L’assegnazione dell’incertezza serve a delimitare un intorno entro cui il parametro

misurato può variare. L’esecuzione di una misura richiede un confronto tra una quantità

incognita e una nota. Nessun risultato di una misura è esente da errore, dove per errore si

intende la deviazione o scarto tra la grandezza misurata e il valore della misura atteso (o

teorico, o “vero”: NB Non si può mai parlare di valore vero). Pertanto il valore atteso può

essere solo definito in termini statistici o probabilistici. Qualsiasi misura è soggetta a

limitazioni: inaccuratezza e imprecisioni che vanno indicate insieme al valore della misura.

Esse sono comprese nell’incertezza che è parte integrante della misura.

Accuratezza: Grado di approssimazione della quantità misurata al valore atteso.

Precisione: Indicazione numerica dell’approssimazione di un insieme ripetuto di misure

della stessa quantità al valor medio dell’insieme delle misure. Indica pertanto il grado di

scostamento dei risultati delle misure tra loro.

Una misura viene espressa come: valor medio incertezza. L’incertezza può essere

±

espressa sia in termini di errore assoluto, inteso come la semi-larghezza dell’intervallo in

cui è compresa la grandezza di interesse; sia come errore relativo, adimensionale, inteso

come il rapporto tra il valore assoluto e il valore centrale dell’intervallo.

La misurazione, come detto, presuppone sempre un termine di riferimento, adottato per

convenzione, per confrontare una grandezza con altre della stessa specie. Il campione è il

termine di riferimento nell’ambito delle grandezze della stessa specie. Esso costituisce

l’unità di misura. Il campione deve essere preciso; accessibile; riproducibile; invariabile. Il

sistema delle unità di misura, che dal 1960 si chiama Sistema Internazionale, è da sempre

in costante evoluzione. Nel tempo non solo è aumentato il numero delle unità di misura di

base - da tre a sette - ma anche le definizioni delle unità hanno subito cambiamenti. La

tendenza attuale (il 20 maggio 2019 è stato introdotto il nuovo Sistema) è di riferirle alle

proprietà atomiche della materia. 2

Ricordiamo che le 7 grandezze fondamentali e le relative unità di misura sono:

L – lunghezza – metro [m]

M – massa – chilogrammo [kg]

T – tempo – secondo [s]

I – intensità di corrente elettrica – ampère [A]

Θ - temperatura termodinamica – kelvin [K]

N – quantità di materia – mole [mol]

J - intensità luminosa – candela [cd]

Da queste è possibile ottenere le grandezze derivate, cioè grandezze fisiche dipendenti;

ciò significa che sono ricavabili dalle grandezze fondamentali mediante semplici

operazioni aritmetiche (moltiplicazione, divisione). Esempi di grandezze derivate sono:

m

F- forza – Newton [N] = kg × 2

s

Le grandezze fisiche vengono anche distinte in grandezze:

SCALARI VETTORIALI

Sono univocamente definite dal loro valore Sono definite da:

numerico (rispetto all’u.m. scelta) -valore numerico (modulo);

-direzione;

Es.: tempo, temperatura -verso.

Possono essere rappresentate

graficamente sul piano come segmenti

orientati

Es.: forza

y v=AB

B La direzione è la retta su cui giace il segmento;

v y il verso è dato dalla punta

A x

v x v = |v|cos

x

v = |v|sin

v y

y 3

v x

Conoscendo e trovo:

v v

x y

vy sinα vy

−1

= posso conoscere direzione e verso

= tgα α = tg

vx cosα vx posso conoscere il modulo

2 2

|v| = + vy

√vx

Nello spazio: 2 2 2

|v| = √vx + vy + vz

vz = |v|cosβ

v

z v |v|sinα

vy = sinβ

v

y |v|sinβ

vx = cosα

v

x v

2

SOMMA

Geometricamente (metodo punta-coda): v w

1

-si tiene fisso il primo;

-si trasla il secondo, lasciandone inalterata la direzione,

facendo coincidere la punta del primo con la coda del v

2

secondo;

-si congiunge la coda del primo con la punta del secondo.

Geometricamente (metodo del parallelogramma):

-si tiene fisso il primo; v

1 w

-si trasla il secondo, lasciandone inalterata la direzione, v

facendo coincidere le code dei due; 2

-si costruisce un parallelogramma a partire dai due vettori; v

2 4

-la diagonale è il vettore somma.

Algebricamente:

v +v =w

1 2

w =v x + v x

x 1 2 Ma |v | + |v |≠|w|

1 2

w =v y + v y

y 1 2

Per trovare il modulo, bisogna passare per le componenti: si trovano le componenti e poi

si applica il Teorema di Pitagora.

2 2 2 2

|w| = √wx + wy = √(v x + v x) + (v y + v y)

1 2 1 2

DIFFERENZA

Geometricamente: v

-si tiene fisso il primo; 1

-si trasla il secondo, lasciandone inalterata la direzione e

invertendone il verso; v v

2

-si applica il metodo punta-coda o del parallelogramma. 2

Algebricamente:

v - v =w

1 2

w =v x - v x

x 1 2 Ma |v | - |v |≠|w|

1 2

w =v y - v y

y 1 2

2 2 2 2

|w| = √wx + wy = √(v x − v x) + (v y − v y)

1 2 1 2

PRODOTTI

1.Prodotto di un vettore per uno scalare;

2.Prodotto scalare;

3.Prodotto vettoriale.

1. Modulo:

Av = w |w| = A|w|

Direzione: parallelo a v

Verso: stesso verso di v, se A>0

verso opposto rispetto a v, se A<0

2. |v ||v

v ∙ v = A = |cosα

1 2 1 2 5

Proprietà

- Se quindi

v ⊥ v α = 90°, v ∙ v = 0

1 2 1 2 2

- Quadrato di un vettore: |v||v|cos0°

v ∙ v = = v

- Proprietà commutativa: |v ||v

v ∙ v = v ∙ v = |cosα

1 2 2 1 1 2

Il prodotto scalare tra 2 vettori, per componenti fornisce:

v = v i + v j + v k

1 1x 1y 1z

v = v i + v j + v k

2 2x 2y 2z (v

v ∙ v = (v i + v j + v k) ∙ i + v j + v k)

1 2 1x 1y 1z 2x 2y 2z

= v v i ∙ i + v v i ∙ j + v v i ∙ k + v v j ∙ i + v v j ∙ j

1x 2x 1x 2y 1x 2z 1y 2x 1y 2y

+ v v j ∙ k + v v k ∙ i + v v k ∙ j + v v k ∙ k

1y 2z 1z 2x 1z 2y 1z 2z

= v v + v v + v v

1x 2x 1y 2y 1z 2z

Poiché mentre

i ⊥ j, j ⊥ k, i ⊥ k, i ⫽ j, j ⫽ k, i ⫽ k

Angolo compreso tra 2 vettori:

v ∙ v

1 2

= acos |v ||v |

1 2

PRODOTTO VETTORIALE

Modulo: |v ||v |sinα

v × v = w |w| =

1 2 1 2

Direzione: perpendicolare al piano su cui giacciono v e v

1 2

Verso: si applica la regola della mano destra.

. Se è orario, il prodotto vettoriale è negativo; se è antiorario, il prodotto

vettoriale è positivo. La regola della mano destra permette di

determinare il verso del vettore risultante dal

prodotto vettoriale. Per fare questo si dispone il

pollice come il primo vettore, l’indice parallelamente

al secondo vettore, il medio perpendicolarmente al

palmo della mano. Il verso del medio fornisce il

verso del vettore risultante. 6

a×b a×b Alternativamente, si

considera il verso di

rotazione tale per cui il

primo vettore si

sovrappone al secondo

spazzando un angolo <

180°, con le dita si segue il

verso di rotazione, con il

pollice si ottiene il verso

del vettore risultante.

Proprietà:

-Se quindi

v ⫽ v α = 0°, v × v = 0

1 2 1 2

-anticommutativa: v × v = − v × v

1 2 2 1

Il prodotto scalare tra 2 vettori, per componenti fornisce:

v = v i + v j + v k

1 1x 1y 1z

v = v i + v j + v k

2 2x 2y 2z (v

v × v = (v i + v j + v k) × i + v j + v k)

1 2 1x 1y 1z 2x 2y 2z

= v v i × i + v v i × j + v v i × k + v v j × i + v v j × j

1x 2x 1x 2y 1x 2z 1y 2x 1y 2y

+ v v j × k + v v k × i + v v k × j + v v k × k

1y 2z 1z 2x 1z 2y 1z 2z

= v v + v v + v v

1x 2x 1y 2y 1z 2z j

i × j = +k j × k = +i

j k

i

j k i

i

k i × k = −j 7

v × v = (v v − v v )i + (v v − v v )j + (v v − v v )k

1 2 1y 2z 1z 2y 1z 2x 1x 2z 1x 2y 1y 2x

Il prodotto vettoriale può anche essere calcolato come determinante formale della matrice:

i j k

v v v

[ ] = (v v − v v )i + (v v − v v )j + (v v − v v )k

1x 1y 1z 1y 2z 1z 2y 1z 2x 1x 2z 1x 2y 1y 2x

v v v

2x 2y 2z 8

CINEMATICA degli oggetti puntiformi

Bisogna innanzitutto fissare un sistema di riferimento. Definiamo un sistema ortonormale,

definito cioè da tre versori (vettori di norma unitaria) perpendicolari 2 a 2 (i, j, k).

j VETTORE POSIZIONE (r): va dall’origine del

r(t1) sistema di riferimento alla posizione occupata dal

r(t2) corpo in quell’istante. Dipende dal sistema di

i riferimento e dal tempo.

k

Definiamo legge oraria un'equazione che descrive l'andamento della posizione di un punto

materiale in movimento in funzione del tempo. Possiamo quindi definire legge oraria del

moto una relazione matematica che lega il tempo alla posizione assunta dal corpo al

variare del tempo.

x=x(t)=r x

y=y(t)=r y

z=z(t)=r z

u.m. m; il vettore posizione come grandezza fisica è una lunghezza.

y(t1) r(t1)

x(t1)

Definiamo il vettore posizione come:

Δr = r(t2) − r(t1)

esso indica com’è cambiata la posizione nel tempo. 9

x

Definiamo l’ascissa curvilinea come:

Δs

lim |Δr| =

(t2−t1)→0

Indica quanta strada l’oggetto ha fatto per spostarsi dalla posizione t1 alla posizione t2

nell’unità di tempo. In altre parole, introduciamo una metrica sulla traiettoria che ci dice

istante per istante dove siamo. Δs rappresenta lo spazio effettivamente percorso e si

distingue da Δr perché quest’ultimo indica lo spazio percorso, ma in linea retta ed inoltre,

a differenza di Δs che è uno scalare, è un vettore.

Per quanto riguarda direzione e verso, osserviamo che se (t2-t1)→ Δr diventa sempre

0

più tangente alla traiettoria.

Indicando con la tangente alla traiettoria, si ottiene:

τ̂

|Δr|

lim = τ̂

Δs

(t2−t1)→0

Dalla prima relazione (i) si ottiene:

Δr r(t2) − r(t1)

= = v

m

t2 − t1 t2 − t1

Tale rapporto fornisce la velocità media: come varia la posizione nell’intervallo di tempo.

Osserviamo che l’informazione è mediata su un tratto lungo di traiettoria, tutto il tratto

interessato dallo spostamento.

Ha stessa direzione e stesso verso del vettore spostamento. u.m. [m/s]

Dalla seconda relazione (ii) si ottiene:

r(t2)−r(t1)

lim = v = vτ̂

t2−t1

(t2−t1)→0

Tale limite fornisce la velocità istantanea: la derivata rispetto al tempo del vettore

posizione. Ha la direzione tangente alla traiettoria e lo stesso verso del moto. u.m. [m/s]

La velocità istantanea può essere scritta per componenti come:

v = v i + v j + v k

x y z

Oppure come prodotto tra modulo e versore:

v = vτ̂

O come derivata nel tempo del vettore posizione:

dr

v= dt 10

Osserviamo che la velocità media ha la stessa direzione del vettore spostamento, mentre

la velocità istantanea è tangente alla traiettoria.

La velocità dipende anch’essa dal tempo, quindi sorge spontaneo domandarsi come la

velocità cambi con il tempo.

Definiamo la accelerazione media come:

v(t2)−v(t1) 2

u.m.[m/s ]

= a m

t2−t1

Fisicamente indica quanto rapidamente varia la velocità. Ha la stessa direzione e lo stesso

verso del vettore differenza Δv.

Definiamo l’accelerazione istantanea come:

v(t2) − v(t1)

lim =a

t2 − t1

(t2−t1)→0

L’accelerazione istantanea può essere espressa anche per componenti come:

a = a i + a j + a k

x y z

Oppure come derivata della velocità:

dv

a= dt

O come derivata seconda del vettore posizione:

2

d r

a= 2

dt

Ricordando che v = vτ̂

dv d(vτ̂) dv dτ̂

a= = = τ̂ + v

dt dt dt dt

1 2 dv

1. è l’accelerazione tangenziale. Ha direzione e verso del vettore Dice come

a = .

| |

τ̂. Tg dt

varia nel tempo il modulo della velocità.

2. per quanto riguarda il secondo contributo, ricordiamo che: d(w∙w) dw

2 .

sia t.c. | . Allora

w w| = cost w → w ∙ w = cost. → =0→ ∙w+

= cost dt dt

dw dw se ho un vettore di modulo costante, la derivata è sicuramente

w ∙ = 0 → 2w ∙ →

dt dt

perpendicolare.

dw

→ ⊥ w

dt 11

Di conseguenza:

dτ̂

v ⊥ τ̂

dt

dτ̂ dτ ds dτ essendo ds=dr, vettore spostamento

| |= =v

dt ds dτ ds θ θ θ θ

sin sin sin sin

|τ̂( ) τ̂( )|

dτ 1 1

t2 − t1 2 2 2 2

= lim = lim 2 = lim 2 = lim 2 = lim =

Rθ θ

ds ∆s Rθ R

t2−t1

∆s→0 ∆s→0 ∆s→0 θ→0 θ→0

2 2 1

Δs→ 0

Se τ̂(t1) τ̂(t2)

Allora |r(t1)|≅ |r(t2)|

Quindi Δs→ θR θ Δτ̂

|∆τ| = 2 τ̂| sin

| 2

Quindi: 2

dτ̂ v

v = ̂

dt R

con n̂ ⊥ τ̂

è l’accelerazione normale: dice come varia il vettore velocità in direzione e verso.

Con R=raggio di curvatura, è il raggio della circonferenza che meglio approssima la

traiettoria in un intorno di quel punto.

Se la traiettoria è rettilinea R=+∞; se la traiettoria è circolare R=cost.

Quindi: 2

dv v

a = a + a = τ̂ + n̂

Tg n dt R

Quindi da: dr dv

r(t)

r = → v= → a=

dt dt

Si deriva

Si integra

Siano H(x) e F(x) entrambe primitive di f(x), allora: 12

F’(x)=f(x)

H’(x)=f(x)

Sia

G(x)=F(x)-H(x)

derivando si ottiene:

G&r