Fisica 1 - teoria

TEORIA FISICA

VETTORI

• Prodotto di uno scalare per un vettore: = ma¯
• Stessa direzione
• Verso:
  • Stesso per m > 0
  • Opposto per m < 0
• Modulo |b| = m|a|
• Se m = -1, vettore opposto

• Somma

Prop. del parallelogramma

c = a + b

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c) Proprietà associativa

• Differenza

a - b = a + (-b)

• Scomposizione dei vettori

¯ = Cxi + Cyj

Cx = Ccosθ

Cy = Csinθ

Componenti del vettore

• Somma tra vettori scomposti

¯ = axi + ayj + azk

¯ = bxi + byj + bzk

a + b = (ax + bx)i + (ay + by)j + (az + bz)k

• Prodotto scalare

a · b = |a| |b| cosθ = abcosθ

• “mollo” se θ = π/2

C̅ = a̅ + b̅

C̅² = a̅² + 2abcosθ = c̅²

• 2 vettori sono ⊥ tra di loro se il loro prodotto scalare è = 0
• 2 vettori sono ∥ tra di loro se le loro componenti sono proporzionali (u̅ = kv̅) una linea

Prodotto Vettoriale

c̅ = a̅ × b̅ • Direzione di c̅ ⊥ al piano generato da a̅ e b̅ • Verso: da c̅ → ⊥ rispetto delle mani destre. • Modulo |c̅| = ab sinθ

Proprietà

1. a̅ × a̅ = 0   a̅ × λa̅ = 0
2. a̅ × b̅ = -b̅ × a̅ → anticonmutativo
3. a̅ × (b̅ + c̅) = a̅ × b̅ + a̅ × c̅
4. (a̅ + b̅) × c̅ = a̅ × c̅ + b̅ × c̅
5. a̅ × (b̅ × c̅) ≠ (a̅ × b̅) × c̅

Derivata di un versore

^dû/_dt = ^dθ/_dt û_n   û_n versore ⊥ û_t

Derivata di un vettore

Sia un vettore v̅ in funzione di una variabile scalare t v̅ = v̅(t)   v̅(t+Δt) = v̅(t) + Δv̅ ^Δv̅/_Δt = ^{v̅(t+Δt) − v̅(t)}/_Δt

^dv̅/_dt = lim_Δt→0 ^{v̅(t+Δt) − v̅(t)}/_Δt

Esempio: ^d/_dt (a̅ + b̅) = ^da̅/_dt + ^db̅/_dt

Lavoro

L = F × s × cosθ

• s = spostamento
• θ = se costante è costante
• Lavoro > 0 (0 < θ < 90°)
• Lavoro < 0 (90° < θ < 180°)

Unità di misura: J = Kgm²/s²

Energia Cinetica

(di movimento)

K = ₁/²mv²

Teorema dell'Energia Cinetica

₁/²mv_f² - ₁/²mv_i² = L

L = K_f - K_i

Forza Peso → Forza Conservativa

• (il lavoro non dipende dal percorso)
• F = mgh

Attrito → Forza Non Conservativa

• (dipende dal percorso)

Il lavoro subito da una forza conservativaprestando chiuso è nullo (= 0)

Energia Potenziale

L = (U_i - U_f) = -ΔU

U = F_bn = mgh

(valido se la forza peso è conservativa)

Energia Meccanica

U_i - U_f = K_f - K_i

U_f + K_f = U_i + K_i

E = U + K

→ Si conserva solo in un sistema in cui agiscono solo forze conservative

E_f = E_i ΔE = 0

Equilibrio stabile e instabile

F = -du/dx

x₁ = du/dx > 0 ⇒ F(x₁) < 0

x₂ = du/dx < 0 ⇒ F(x₁) > 0

x₁ = du/dx = 0 ⇒ F(x₁) = 0

x₂ = du/dx = 0 ⇒ F(x₂) = 0

Punti di Equilibrio

x₁: Punto di equilibrio instabile

x₂: Punto di equilibrio stabile (se qui abbiamo una forza minima in quel punto)

Meccanica del Corpo Rigido

Corpo rigido:

è un corpo per quale la distanza tra 2 suoi punti qualsiasi r_i costante.

Misura degli angoli

^o/_sθ = s/r1 ciclo = 1 giro = 360° = 2π rad1 rad ≈ 57,3°

Velocità e accelerazioni angolari

ω = dθ/dtVelocità angolareHa sua direzione fornisce il senso di rotazioneα = dω/dtAccelerazione angolareHa un vettore la cui direzione coincide con l'asse di rotazione

Cinematica della rotazione intorno a un asse fisso

θ = θ₀ + ω₀t + ¹/₂αt²ω = ω₀ + αtK = ¹/₂Iω²Energia cinetica di rotazioneI = Momento di inerziaΣτ = Iαω² = ω₀² + 2α(θ - θ₀)

x = x₀ + v₀t + ¹/₂at²v = v₀ + atK = ¹/₂mv²ΣF = mav² = v₀² + 2a(x - x₀)

Teorema di Steiner

Il momento di inerzia (I) di un corpo rispetto a un asse qualsiasi (non di simmetria) è uguale alla somma tra I rispetto ad un asse che passa per il centro di massa e M d² (massa totale × la distanza al quadrato tra gli assi).

I = I_cm + Md²

Dimostrazione sul quaderno

Lavoro & Potenza per un corpo rigido in rotazione

Il lavoro W compiuto dal momento T_z quando un corpo ruota da Θ_i a Θ_f è:

• ω = Θ_i; T_z dΘ = ∫_Θi^Θ_f [L_z ω] = ∫₀^t ω_i
• ω = ∆K_f

P = POTENZA = dW/dt = T_z dΘ/dt = T_zω_f = P

Teorema Lavoro-Energia

W_tot = 1/2 I ω_f² - 1/2 I ω_i²

per un corpo rigido in rotazione attorno a un asse fisso.

Rimane valido anche per un W_tot = K_tot,f - K_tot,i, i dθ compiuto sia dalle forze esterne che interne.

• dU_tot^cons = dU_int^cons + dU_tot^cons
• d(K_tot + U_int + U_est)

Energia Meccanica di un Sistema di Corpi

K_rot + V_int + V_est = costante

Conservazione dell’energia meccanica per un sistema di corpi

per un corpo rigido: = 0

K_tot = K_trasl + K_rotazione

K_tot = 1/2 M v_cm² + 1/2 I ω²

• Energia cinetica traslazionale del centro di massa
• Energia cinetica di rotazione attorno al centro di massa

W = ∆K_tot = Lavoro