Equazioni differenziali - Problemi di Cauchy, primo ordine, variabili separabili, elementari, lineari, secondo ordine, omogenee, non omogenee

Equazioni differenziali

Sono equazioni in cui l'incognita (ovvero l'oggetto da trovare) è una funzione, e in cui sono presenti una o più derivate della funzione incognita.

Esempio 1:

_f'(x) + _f(x) = x

Risolverla significa trovare la funzione o le funzioni che soddisfano l'equazione.

In questo caso le soluzioni sono tutte le funzioni

y = _f(x) che, sommate alla loro derivata prima, danno come risultato x.

Esempio 2:

_f'''(x) + 3_f''(x) = 9x

Le soluzioni sono tutte le y = _f(x) la cui derivata terza,

sommata al triplo della derivata seconda, dà 9x come risultato.

L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

• Esempio 1 - primo ordine
• Esempio 2 - terzo ordine

Equazioni differenziali

Sono equazioni in cui l'incognita (ovvero l'oggetto da trovare) è una funzione, e in cui sono presenti una o più derivate della funzione incognita.

Esempio 1:

f'¹(x) + f(x) = x

Risolverla significa trovare la funzione o le funzioni che soddisfano l'equazione.

In questo caso le soluzioni sono tutte le funzioni y = f(x) che, sommate alla loro derivata prima, danno come risultato x.

Esempio 2:

f^III(x) + 3f''(x) = 9x

y^III + 3y'' = 9x

Le soluzioni sono tutte le y = f(x) la cui derivata terza, sommata al triplo della derivata seconda, dà 9x come risultato.

L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

Esempio 1 -> primo ordine

Esempio 2 -> terzo ordine

NON ESISTE UN METODO GENERALE :

LA STRATEGIA RISOLUTIVA CAMBIA A SECONDA DEI CASI.

ESEMPIO 3:

_y^'

_{f^'(x) = x}

_{PRIMO ORDINE.}

f(x) = ∫f^'(x) dx = ∫x dx = ^x2/₂ + c

y = ^x2/₂ + c → INFINITE SOLUZIONI.

È LA SOLUZIONE GENERALE DELL'EQUAZIONE (FAMIGLIA PARAMETRIZZATA DELLE SOLUZIONI).

ESEMPIO 4:

_y^'

_√y

f^'(x) = 2 - √f(x)

f(x) = ∫f^'(x) dx = ∫[2 - √f(x)] dx

MA PER FARE QUESTO DOVREI CONOSCERE f(x).

FAIL! → PROPRIO QUELLO CHE DEVO TROVARE

ORDINE

• EQUAZIONI DIFFERENZIALI ELEMENTARI
• EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI
• EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

Equazioni differenziali e problemi di Cauchy

Tipologia 1

y' = f(x)

Basta integrare

y = ∫ f(x) dx = F(x) + c.

y' = 3e^2x

Le soluzioni saranno funzioni y(x) la cui derivata prima è uguale alla funzione 3e^2x

y = ∫3e^2x dx = 3 ∫e^2x . 1/2 = 3/2 e^2x + c

y(x) = 3/2 e^2x + c

Soluzione generale.

Tipologia 2

y'' = f(x)

Basta integrare 2 volte (y'')

y' = ∫ f(x) dx = F(x) + c₁

y = ∫ [F(x) + c₁] dx

y = ∫ F(x) dx + c₁ x + c₂

y'' = 2 - cos x

y' = ∫(2 - cos x) dx = 2x - sin x + c₁.

y = ∫(2x - sin x + c₁) dx

= x² + cos x + c₁ x + c₂.

Soluzione generale.

Problema di Cauchy

Equazione Differenziale

Condizioni Iniziali

Devono essere tante, quante i parametri da determinare e devono fissare i valori della funzione ed eventualmente di una o più derivate in uno stesso punto.

Risolverlo significa trovare tra le infinite soluzioni dell'equazione differenziale quella che soddisfa le condizioni iniziali.

y' = -e^-x

y = ∫ (-e^-x) dx = e^-x + C.

E poi impongo le condizioni iniziali.

y(0) = 3

3 = e^-0 + C → C = 2.

y(x) = e^-x + 2

L'unica soluzione di questa equazione differenziale che soddisfa le condizioni iniziali

y'' = x

y' = ∫x dx = ^x² / ₂ + C₁

y = ∫(^x² / ₂ + C₁) dx = ^x³ / ₆ + C₁x + C₂

y(0) = 1

y'(0) = 4

1 = ^0³ / ₆ + C₁ · 0 + C₂ → C₂ = 1

4 = ^0² / ₂ + C₁ → C₁ = 4

y(x) = ^x³ / ₆ + 4x + 1

Soluzione.

Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono equazioni differenziali del 1^o ordine che si possono riconoscere alla forma

y' = f(x) • g(x)

Esempi:

y' = ^y/_{ln x}

y' = e^x y ln y

Per risolverle devo:

1. Separare le variabili x ed y.
2. Integrare ciascun membro rispetto alla variabile da cui dipende.
3. Ricavare y(x).

Esempio 1:

y' = y² ln x

^dy/_dx = y² ln x

^{1 dy}/_y² = ln x dx

² ∫ ^dy/_y² = ∫ ln x dx

⇔ -¹/_y = x ln x - x + C. (C ∈ ℝ)

³ y(x) = ^-1/_{x ln x - x + C}

(Va bene anche y(x) = 0)

ESEMPIO 2:

{ y' = sin x e^y y(^π/₂)=1 }

1. dy/e^y = sin x dx => e^-y dy = sin x dx

2. ∫ e^-y dy = ∫ sin x dx => te^-y = cos x + c

3. e^-y = cos x + c => -y = ln (cos x + c)

y(x) = -ln (cos x + c)

y(^π/₂)=1 => -ln (cos^π/₂ + c) = -1 ln (c) = -1 c = ¹/_e

y(x) = -ln (cos x + ¹/_e) È LA SOLUZIONE CERCATA

IMPORTANTE:

y' = f(x) · g(y) se ∃ ȳ ∈ ℝ / g(ȳ) = 0

ALLORA y(x) = ȳ È UNA SOLUZIONE DELL' EQUAZIONE DIFFERENZIALE.

QUINDI PRIMA GUARDO SE ESISTE UN VALORE DI y CHE INSERITO NELLA g(y) LA RENDE NULLA.

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL I ORDINE

y'(x) + a(x) y(x) = b(x).

• y' - xy = e^x(a(x)) di unab(x) = 2x
• y' + ¹/_x y = 4x²(a(x))(b(x))

—> SE a(x)=> È ELEMENTARE

—> SE b(x)=0 (OMOGENEA) DIVENTA UN EQ. DIFF. A VARIABILI SEPARABILI.

STRATEGIA RISOLUTIVA

(FATTORE INTEGRANTE)

1. TROVO UNA PRIMITIVA A(x), CIOÈ UNA FUNZIONE A(x) TALE CHE A'(x) = a(x).
2. MOLTIPLICO ENTRAMBI I MEMBRI PER e^A(x) [y(x) e^A(x)]' QUELLO CHE HO OTTENUTO A SINISTRA È LA DERIVATA DI QUESTO TRA PARENTESI QUADRE (DERIVATA DEL PRODOTTO).
3. INTEGRO ENTRAMBI I MEMBRI y(x) e^A(x) = ∫b(x) e^A(x) dx + c
4. RICAVO y(x) MOLTIPLICANDO ENTRAMBI I MEMBRI PER e^-A(x) y(x) = e^-A(x)(∫b(x) e^A(x) dx + c e^A(x))

SOLUZIONE GENERALE.

Esempio 1:

\(\frac{y'(x)}{a(x)} - \frac{y(x)}{b(x)} = \frac{2x}{b(x)}\)

1. Trovo una primitiva di \(a(x)\), cioè una funzione \(A(x)\) tale che \(A'(x) = a(x)\).

   \(A(x) = \int -x \, dx = -\frac{x^2}{2} \quad \text{(va bene una primitiva qualsiasi, senza "+C")}\).

2. Moltiplico entrambi i membri per \(e^{A(x)}\)

   \([y(x) e^{-\frac{x^2}{2}} - x e^{-\frac{x^2}{2}} y(x) = 2x e^{-\frac{x^2}{2}}]\)

3. Integro entrambi i membri

   \[y(x) e^{-\frac{x^2}{2}} = \int 2x e^{-\frac{x^2}{2}} \, dx + C = -2 e^{-\frac{x^2}{2}} + C\].

4. Ricavo \(y(x)\) moltiplicando entrambi i membri per \(e^{\frac{x^2}{2}}\)

   \(y(x) e^{-\frac{x^2}{2}} e^{\frac{x^2}{2}} = -2 e^{-\frac{x^2}{2}} e^{\frac{x^2}{2}} + C e^{\frac{x^2}{2}}\)\(y(x) = -2 + C e^{\frac{x^2}{2}} \quad \text{Soluzione Generale}\)

OSS1:

SE \( a(x) \) e\( f(x) \) sono funzioni continue in un certo intervallo \( I \), allora \( y(x) = e^{-A(x)} \int f(x) e^{A(x)} dx + c \cdot e^{-A(x)} \) è la soluzione generale ∀\( x \in I \)

OSS2:

La costante arbitraria \( c \in \mathbb{R} \) può essere determinata se viene fornita una condizione iniziale del tipo \( y(x_0) = y_0 \) con \( x_0 \in I \).

\[\begin{cases} y''(x) + a(x) y(x) = f(x) \\ y(x_0) = y_0 \end{cases}\] ⇒ ha un'unica soluzione definita in tutto l'intervallo \( I \).

OSS3:

Naturalmente fila tutto liscio finchè si fanno gli integrali al primo e al terzo passaggio, cosa non scontata.

Equazioni differenziali omogenee

del II ordine (a coefficienti reali costanti)

ay'' + by' + cy(x) = 0

con a, b e c numeri reali

Esempi:

y'' + 2y' + 2y = 0

a = 1

b = 2

c = 2

¹/₄ y'' + y' = 0

a = ¹/₄

b = 1

c = 0

L'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione 2.

La soluzione generale sarà quindi:

y(x) = c₁y₁(x) + c₂y₂(x)

parametri liberi

una base dello spazio delle soluzioni.

Per trovare una base devo risolvere in ℂ l'equazione caratteristica.

2 soluzioni reali e distinte χ₁ ≠ χ₂

base

e^χ₁x, e^χ₂x

soluzione generale

y(x) = c₁e^χ₁x + c₂e^χ₂x

2 soluzioni reali coincidenti

₁ = ₂ ⇒ e , xe

soluzione generale

y(x) = c₁e + c₂ xe

2 soluzioni complesse

_1,2 = ± i ⇒ e cos()x), e sin()x)

soluzione generale

y(x) = c₁ e cos()x) + c₂ e sin()x)

"più semplice di quel che sembra..."

Esempio 1:

y^'' - 5y' + 4y = 0

Equazione caratteristica:

z² -5z + 4 = 0

Soluzioni:

₁ = 4 ₂ = 1

Base:

e^4x, e^x

y(x) = c₁ e^4x + c₂ e^x

è la soluzione generale

Esempio 2:

• y'' + 2y' + 2y = 0
• y(0) = 1
• y'(0) = 1

z² + 2z + 2 = 0

λ₁ = -1 + i

λ₂ = -1 - i

Soluzioni complesse coniugate

L = -1, β = 1.

Base: e^-xcosx, e^-xsinx

y(x) = c₁e^-xcosx + c₂e^-xsinx

Soluzione generale

Imposto le condizioni iniziali:

y'(x) = -e^-x(c₁cosx + c₂sinx) + e^-x(-c₁sinx + c₂cosx)

• y(0) = 1 → c₁ = 1
• y'(0) = 1 → -c₁ + c₂ = 1 → c₂ = 2.

y(x) = e^-x(cosx + 2sinx).

È la soluzione cercata.