Equazioni differenziali - Problemi di Cauchy, primo ordine, variabili separabili, elementari, lineari, secondo ordine, omogenee, non omogenee

Equazioni di Differenziali:

Sono equazioni in cui l'incognita (ovvero l'oggetto da trovare) è una funzione, in cui sono presenti una o più derivate della funzione incognita.

Esempio 1:

f'(x) + ^f(x)/_y = x → Risolverla significa trovare la funzione o le funzioni che soddisfano l'equazione.

In questo caso le soluzioni sono tutte le funzioni y = f(x) che, sommate alla loro derivata prima, danno come risultato x.

Esempio 2:

f^‴(x) + 3f^″(x) = 9x → Le soluzioni sono tutte le y = f(x) la cui derivata terza, sommata al triplo della derivata seconda, dà 9x come risultato.

L’ordine di un’equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

• Esempio 1 → Primo ordine
• Esempio 2 → Terzo ordine

Non esiste un metodo generale

La strategia risolutiva cambia a seconda dei casi.

Esempio 3:

\(y'\)

primo ordine.

\(f(x) = \int f'(x) \, dx = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c\)

\(y = \frac{x^2}{2} + c\) infinite soluzioni.

È la soluzione generale dell'equazione (famiglia parametrizzata delle soluzioni).

Esempio 4:

\(y'\)

\(f(x) = \int f'(x) \, dx = \int \left[2 - \sqrt{f(x)}\right] \, dx\)

ma per fare questo dovrei conoscere \(f(x)\).

FAIL!

proprio quello che devo trovare

Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono equazioni differenziali del 1^o ordine che si possono riconoscere alla forma

Esempi:

y' = _f(x)√ _g(y) y' = ^{exy ln y}_f(x)

Per risolverle devo:

• Separare le variabili x ed y.
• Integrare ciascun membro rispetto alla variabile da cui dipende.
• Ricavare y(x).

Esempio 1:

y' = y²ln x ⇓ ^dy⁄_dx = y²ln x —> ^dy⁄_y² = ln x dx ∧ ∫^dy⁄_y² = ∫ ln x dx

⇔ −¹⁄_y = x ln x − x + C.  (C ∈ ℜ)

y(x) = −¹⁄_{x ln x − x + C} (Va bene anche y(x) = 0)

Sarebbe o anche la sua derivata, e soddisfa

-** l'equazione differenziale

Equazioni differenziali omogenee

a coefficenti reali costanti

a y'' + b y' + c y(x) = 0

con a, b, c numeri reali

Esempi:

y'' + 2y' + 2y = 0

• a = 1
• b = 2
• c = 2

¹/₄ y'' + y' = 0

• a = ¹/₄
• b = 1
• c = 0

L'insieme delle soluzioni è uno spazio vettoriale di dimensione 2.

La soluzione generale sarà quindi:

y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)

• Parametri liberi
• Una base dello spazio delle soluzioni

Per trovare una base devo risolvere in ℂ l'equazione caratteristica.

Due soluzioni reali e distinte λ₁ ≠ λ₂

• Base: e^λ1x, e^λ2x
• Soluzione generale: y(x) = c₁ e^λ1x + c₂ e^λ2x