Matematica - Equazioni Differenziali

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

INTRO

Equazioni Differenziali Equazioni in cui l'incognita è una funzione ed in cui sono presenti una o più derivate della funzione incognita

Esempio:

f''(x) + g'(x) = 9x

L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

Esempio 1:

y' = x

Esempio 2:

y' = x

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

INTRO

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Equazioni in cui l'incognita è una funzione ed in cui sono presenti una o più derivate della funzione incognita.

\( f^{(n)}(x) = g^{(n)}(x) = x \)

Trovare la o le funzioni che sostituite ad \( x \) rendono queste espressioni verificate.

In questo caso le soluzioni sono tutte le funzioni \( y = f(x) \) che, sommate alla loro derivata prima, dànno come risultato \( x \).

ESEMPIO

• \( f^{n}(x) = g^{n}(x) = 9 \cdot x \)
• Tutte le funzioni la cui derivata terza, sommata al triplo della derivata seconda, dà come risultato \( 9 \cdot x \).

L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

Non esistono strategie risolutive universali. La strategia cambia secondo casistica.

ESEMPIO:

1. \( \begin{array}{c} y^{\prime} \\ \hline x \end{array} \)

\( f(x) = \int f^{\prime}(x) \, dx = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + c \)

\( y = \frac{x^2}{2} + c \)

SOLUZIONE GENERALE

1. \( \begin{array}{c} y^{\prime\prime} \\ \hline f(x) \\ \hline 2 \\ \hline \int \end{array} \)

\( f(x) = \int f^{\prime}(x) \, dx = \int [2 - f^{\prime}(x)] \, dx \)

Non funziona in eq. similari.

Equazioni Differenziali 'Elementari' e Problemi di Cauchy

Tipologia y' = g(x)

y' = g(x) → y = ∫g(x)dx = F(x) + c

• Le soluzioni saranno Y(x) = cu ⋅ Y₁(x)
• es: y' = 3e^x
  • y = ∫3e^xdx = 3 (3/1)e^x + c =
  • Y(x) = 3/2e^x + c

Tipologia y' = 3(x)

y' = 3(x) → y = ∫g(x)dx = F(x) + c

• y = ∫[F(x) + c₁]dx = F(x)dx + c₁x + c₂
• es: y' = 2 - cos x
  • y' = ∫(2-cos x) dx = 2x - sin x + c₁
  • y = ∫[2x - sin x + c₁] dx = x² - cos x + c₁x + c₂
  • Y(x) = x² + cos x + c₁x + c₂

Problema di Cauchy

Equazione Differenziale

• Condizioni Iniziali
• Devono essere tante quante i parametri da determinare
• Devono fissare i valori della funzione ed eventualmente di una o più derivate in uno stesso punto

RISOLVERLO SIGNIFICA TROVARE TRA LE INFINITE SOLUZIONI DELL'EQUAZIONE DIFFERENZIALE QUELLA CHE SODDISFA LE COND INIZIALI

• es: { y' = e^-x y(0) = 3 } → y = ∫(e^-x) dx = e^-x + c → Y(x) = e^x(1/2 - e^-x)
• x = 0 → 3 - e⁰ + c = 2 → c = 2
• es: { y^'' = x y(0) = 1 y'(0) = h } → y' = ∫x dx = x²/2 + c₁ → y = ∫(x²/2 + c₁) dx = x³/6 + c₁x + c₂ → y(x) = x²/6 + 1/2x + 1

EQUAZIONI DIFFERENZIALI A VARIABILI SEPARABILI

EQUAZIONI DIFFERENZIALI DEL 1^O ORDINE RICONOSCIBILI ALLA FORMA

ES:

PROCEDURA

SEPARARE LE VARIABILI X ED Y

INTEGRARE CIASCUN MEMBRO RISPETTO ALLA VARIABILE DA CUI DIPENDE

RICAVARE Y(x)

Esempio 1:

La sol.

Esempio 2:

La sol. è

NB:

• Se esistono numeri reali per cui g di quei numeri fa 0 allora y(x) è quel numero costante, allora è anch'essa una soluzione
• Dare un'occhiata ad inizio esercizio

EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI DEL PRIMO ORDINE

y'(x) + a(x) y(x) = g(x)

es. y' - xy = 2x

   y' + 1/x y = 4x²

• Se a(x) = 0 è elementare
• Se g(x) = 0 diventa un'eq. diff. a variabili sep.

STRATEGIA RISOLUTIVA (METODO DEL FATTORE INTEGRANTE)

1. Trovo una primitiva di a(x) cioè un A(x) tale che A'(x) = a(x)
2. Moltiplico entrambi i membri per e^A(x) → y'(x) e^A(x) + a(x) e^A(x) y(x) = g(x) e^A(x)

   [ y(x) e^A(x) ]'

3. Integro entrambi i membri
4. Risolvo y(x) moltiplicando entrambi i membri per e^-A(x)

Esempio 1

y'(x) = x y(x) = 2x

   a(x)     β(x)

1. A(x) = ∫ x dx = x²/2
2. y'(x) e^-x²/2 - x e^-x²/2 y(x) = 2x e^x²/2
3. y(x) e^-x²/2 ∫ 2x e² dx + C = -2 e^-x²/2 + C
4. y(x) = -2 + Ce^x²/2

OSSERV. 1

Se a(x) ed g(x) sono funzioni continue in un certo intervallo I, allora

y(x) = ∫ (g(x) e^A(x)) dx + Ce^-A(x) è la soluzione generale ∀ x ∈ I

OSSERV. 2

La costante arbitraria C ∈ R può essere determinata se viene fornita una condizione iniziale del tipo y(x₀) = y₀ con x₀ ∈ I

( y'(x) + a(x) y(x) = g(x) ) ha un'unica soluzione definita in tutto l'intervallo I

OSSERV. 3

Il metodo funziona fintanto che gli integrali del 1^o e 3^o passaggio non danno problemi

EQ. DIFF. DI 1^O ORDINE (A COEFF. COSTANTI OMOGENEE)

a) y''(x) + b y'(x) + c y(x) = 0 con a, b, c E numeri reali

L'insieme delle soluzioni E uno spazio vettoriale di dim. 2.

La sol. gen. sarà quindi y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)

• Sono una base dello spazio delle soluz.
• Parametri liberi

Per trovare una base devo risolvere in C l'eq. caratteristica

a z² + b z + c = 0

• 2 sol. reali distinte λ₁ != λ₂ => e^λ₁x, e^λ₂x => y(x) = c₁ e^λ₁x + c₂ e^λ₂x
• 2 sol. reali coincidenti λ₁ = λ₂ => e^λx, x e^λx => y(x) = c₁ e^λx + c₂ x e^λx
• 2 sol. complesse λ = α + iβ => e^αx cos(βx), e^αx sin(βx)

y(x) = c₁ e^αx cos(βx) + c₂ e^αx sin(βx)

Esempio 1: y'' – 5y' + 4y = 0

Eq. caratt. => z² – 5z + 4, soluzioni λ₁ = 4, λ₂ = 1

Base => e^4x, e^x

Sol. generale y(x) = c₁ e^4x + c₂ e^x

Esempio 2: y'' + 2y' + 2y = 0

z² + 2z + 2 => Base e^-x cos x, e^-x sin x

Sol. generale y(x) = c₁ e^-x cos x + c₂ e^-x sin x

y(0) = 1 y'(0) = 1 => C₁ = 1, -c₁ + c₂ = 1

y(x) = e^-x (cos x + 2 sin x)