Equazioni differenziali

Teorema - Esistenza e Unicità della Soluzione del Problema di Cauchy

Se a(x), b(x) e c(x) sono continue in un intervallo I, allora il problema di Cauchy ha una sola soluzione definita da una equazione differenziale del secondo ordine:

a(t)y"(t) + b(t)y'(t) + c(t)y(t) = 0

dove y(t) è una funzione continua su I.

È importante notare che ogni equazione differenziale del secondo ordine lineare a coefficienti costanti può essere ricondotta a questa forma generale.

La soluzione dell'equazione differenziale è unica se sono specificate due condizioni iniziali.

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L'equazione del coefficiente costante omogeneo è:

aX''(t) + bX'(t) + cX(t) = 0.

Le soluzioni caratteristiche possono essere trovate come:

X1(t) = e^(αt),

X2(t) = e^(βt),

dove α e β sono radici distinte dell'equazione caratteristica.

Le soluzioni complesse coniugate dell'equazione caratteristica sono:

X1(t) = e^(αt) * cos(βt),

X2(t) = e^(αt) * sin(βt).

Il metodo più comune per risolvere equazioni non omogenee è l'ansatz esponenziale:

X(t) = A(t) * e^(αt),

dove A(t) è una funzione da determinare.

Applicando questo metodo all'equazione non omogenea:

aX''(t) + bX'(t) + cX(t) = f(t),

si ottiene una soluzione particolare di tipo:

Xp(t) = A(t) * e^(αt).

Il nucleo dell'equazione omogenea è:

Xh(t) = Ce^(αt) + De^(βt),

dove C e D sono costanti da determinare.

La soluzione generale dell'equazione non omogenea è quindi:

X(t) = Xh(t) + Xp(t).

Il metodo basato sulla formula trigonometrica è utilizzato quando l'equazione non è omogenea e ha coefficienti complessi:

X(t) = A(t) * e^(αt) * cos(βt) + B(t) * e^(αt) * sin(βt).