Equazioni differenziali

Equazioni Differenziali

Sono equazioni in cui l'incognita (l'oggetto da trovare) è una funzione e in cui sono presenti una o più derivate delle funzione incognita.

ES:

f'(x) + f(x) = x

(risolverla significa trovare la funzione o le funzioni che soddisfano l'equazione - > EQ. DIFFERENZIALE DEL SECONDO ORDINE)

y' + y = x

In questo caso le soluzioni sono tutte le funzioni y = f(x) che, sommata alla loro derivata prima, danno come risultato x.

ES:

f'''(x) + 3f''(x) = 9x

y''' + 3y' = 9x

le soluzioni sono tutte le y = f(x) le cui derivata terza, sommata al triplo della derivata seconda, da 9x come risultato. - > EQ DIFFERENZIALE DI TERZO ORDINE

L'ordine di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

ES:

f'(x) = x

Primo Ordine

f(x) = ∫f(x)dx = ∫xdx = x²/₂ + C

y₂ = x²/₂

Soluzione Generale dell'Equazione - Infinite Soluzioni

ES:

f⁴(x)

f'(x) = 2 - f⁴(x)

f(x) = ∫f(x)dx = ∫2-f⁴(x)dx Non posso calcolarlo

I ordine

• Elementari
• A variabili separabili
• Lineari

EQUAZIONI DIFFERENZIALI

Sono equazioni in cui l'incognita ("oggetto da trovare") è una FUNZIONE e in cui sono presenti una o più DERIVATE della funzione incognita.

ES. f'(x) + f(x) = x → risolverla significa trovare la funzione o le funzioni che sodisfano l'equazione.

y' + y = x L.D. EQ. DIFFERENZIABILE DEL SECONDO ORDINE

In questo caso le soluzioni sono tutte le funzioni y=g(x) che, sumate alla loro derivata prima, danno come risultato x.

ES. f'''(x) + 3 f''(x) = 9 x le soluzioni sono tutte le y=g(x) la cui derivata terza, sumata al triplo della derivata seconda, da 9 x come risultato. y''' + 3y' = 9 x

L.D. EQ. DIFFERENZIALE DI TERZO ORDINE L'ORDINE di un'equazione differenziale è il massimo ordine di derivazione che compare.

ES. F'(x) = x PRIMO ORDINE f(x) = ∫f'(x) dx = ∫xdx = x²₂ + C

y_g = x²₂ + C SOLUZIONE GENERALE DELL'EQUAZIONE INFITITE SOLUZIONI

ES. f'^y'(x) = 2 - ^y'√f(x) f(x) = ∫f'(x) dx = ∫2 - ^y'√f(x) dx NON POSSO CALCOLARLO

I ORDINE ELEMENTARI A VARIABILI SEPARABILI LINEARI

Equazioni Differenziali di Primo Ordine

Elementari

1. y' = f(x) → Basta integrare

   y = ∫f(x) dx = F(x) + c

   _{l’ordine dipende da 1 solo parametro}

2. y'' = f(x) → Basta integrare 2 volte

   y' = ∫f(x) dx = F(x) + c₁

   y = ∫F(x) + c₁ dx = F(x) dx + c₁ x + c₂

   _{l’ordine dipende da 2 parametri}

Nella soluzione generale sono parametrizzate da n parametri pari all’ordine dell’equazione differenziale.

Problema di Cauchy

• Eq. differenziale
• Condizioni iniziali

Risolverlo significa trovare tra le infinite soluzioni dell’eq. quella che soddisfa le condizioni iniziali.

A Variabili Separabili

Sono equazioni differenziali del 1° ordine che si possono ricondurre alla forma:

y' = f(x) · g(y)        y' = f(y) g(t)

1. Separare le variabili x o y
2. Integrare ciascun membro rispetto alla variabile da cui dipende
3. Ricavare y(x)

Esempio:

y' = y log x

1. dy/y = log x dx
2. ∫dy/y = ∫log x dx
3. ln y = ∫log x dx - 1/y
4. 1/y · k log y = ∫log x dx
5. y(x) = -1/(x log x - x + c)

Iperiane:

Bisogna controllare se l'eq ammette soluzioni costantiy^1= f(x,g(x)) se ∃x∈ℝ g(x)=0 → D(f(x,0)=0)

Lineari

y^1(x)+a(x)y(x)=f(x)

• se a(x)=0 → DElementare
• se f(x)=0 → DOmogenea

diventa un'eq diff a variabili separabili

S: y'=-x y=2x

1 y=1 y=-4x²

Per risolverlo: Fattore Integrante

1. Trovo primitiva di a(x), cioè una funz A(x): A'(x)=a(x)integrale a(x)
2. Moltiplico entrambi i membri per e^A(x)

y'(x)e^A(x) + a(x)e^A(x)y(x) = f(x)e^A(x)

[y(x)e^A(x)] = f(x)e^A(x) dx + C

Integro entrambi i membri

Ricalco y(x) moltiplicando entrambi i membri per e^A(x)

y(x)=e^-A(x)[∫f(x)e^A(x)dx+C]

OSS.1: Se a(x) e f(x) sono funzioni continuein un certo intervallo I

⟹ [y^A(x) ∫f(x)e^A(x) dx + Ce la soluzione generale ∀x∈I

OSS.2: la costante arbitraria C∈ℝ può essere determinata se viene fornitauna condizione iniziale del tipo y(x₀)=y₀ con x₀∈I

• y'(x)+a(x)y(x)=f(x)
• y(x₀)=y₀

ha un'unica soluzione

definita in tutto I