Equazioni differenziali

A

0 int

in

=

y'(x) y(x) +

( (x C

= =

= FF

Es (t)

mox

: x

= =

· +(t)

x(t)

a x

=

= f

x"(t) =

x(te) X

=

X'(to) X

=

X(t) x(t ()

(

= , ,

E tutte dexe

dipendono

che

suedevirate

le

incognitex

Def anch'esse

fine cui compare

in un e

una

: l'incognita

compare .

y

(y'(x() 3y3(x)

y(x)y"(x)

Esix +

+ =

y(x) ORDINE

I

y = voviabile

differenziale tra fun

la

il legome

che lo

è

Un'equazione un'equazione esprime X

=> ,

all'ordine

derivate

incognita tutte fino

le

zione sue

e n. variabile

de

dipende

incognita sole

una

-

y())

f(x y')

y( di

Ordinaria

0 Ed Diff

=

· , , ...., .

. (EDO)

ORDINE U devivete

delle

gi(x) ord

di

(devivate

( funzione

Normale

y(x) espresso

e

g(x in

max

=

· ....,

, . ord

di inferiore

V

Es xS

"(x) y(x) +

: +

y = differenziale

di

soluzione

Lo un'equazione :

devivabile l'ordine

uguale

tante quanto

deve volte è massimo

essere

· luogo volto

ad sostituita

dove

deve un'identità nell'equazione

una

. .

y(x) devivabile

di

soluzione

che volte

yla) sostituita

è

Def è

Diremo I

edo n e

: y se in

=> = denote integrale

un'identità

nell'equazione anche

si

ha come

e .

si la totalità

integrale soluzioni

generale di le

Def di tutte

Chiomeremo edo .

: y(x (n)

y G (

= , ,

, .,

..

"(x)

Es : 0

y = genere

Int

y(x) (ex 2

+ =

= .

particolare dall'integrale particolari

attribuendo costanti

volovi

generale

L'integrale alle

ottiene

Def .

si

:

Es g"(x) g(x)

: 0 Gx + C

=

= =

condoni dell'integrale

della

L'integrale /integrale) ottenere

singolare soluzione che

Def è Edo

uno posso

non

: costanti

attribuendo finiti infiniti

generale alle valori .

, o

~

Es ?

y'(x) g(xol

d 72

: 4

to

= yo

: =

↓ y(x) (2x Go

+ C +

Cxo

= C =

>X Ce Ceto

go

= -

g(x) yo

(ex Gt

+

= -

INIZIALI

10

PROBLEMA AL VALORI

PROBLEMA

CAUCHY

DI

Le diff zord

> ep . .

.

condizione

Interpretazioni :

geometrica

1 ;

. fisica .

2 . y(t)

Es (velocita

: y =

Sei INIZIALI)

10

PROBLEMA AI VALORI

PROBLEMA

CAUCHY

DI PER ORDINE

I

I f

(x) di

diff ordine

y" ep It

1

= = . .

y(40) Yo condizioni

=

y'(e) Ye

= accelerazione

↑Int

Es fisica esempio

per

: --

. posizione

condizioni

=> velocito

Tint geometrice

Es esempio curve

per

: --

. punto

posseggio per un

condizioni assegnato

= tengente

coeff.

EQUAZIONE

DI

TIPI DIFFERENZIALI :

lineore :

· -C(])

b(x)

a(x(y(x)

y'(x) b(x)

a(x)

+

= = , noto

b(x) termine b omogeneo

Edo

se o -

= =

devivate misti

guedo termini

hanno

tutte

incognita le

funzione ?

ci

non

sue 2 sono

e

e y

- e ,

SOLUZIONE : eakd

a(x(y(x) bx

y'(x) + 0

- = , faklax

Jaklax

- bxe

(y'k) a(xy(x))

e =

-

19/1eaa

,

erebefeka etaxdx)

ad

lefekay = fax(dx))"

, a(x)

· 19 = -

,

(e(xldx

Verifica -

: 1y(e ad

y'(x)eakdx y(x))e verificate

ax))

/

+ . -

balefed

ved

di 191

= = faxldx

ereddx

/19 (be dx +

= (e(x)dx

(akd dx

( b(x)e

y(x)e + c

=

e(a(xoxy(b(x)e -red + dx c]

y(x) +

=

xy(x)

ES y'(x) ordine

+ 2

: I

= X2 I

y'(x(x2 0)v10

1 d

xy(x) + +

+ 0

x

2 0

= i

- - ,

ta(x)

y(y(x))

y((x) = sol

(10

E t

+

= ,

X

b(x) te

=

y(y(x)))

(y'(x) E

= - =

(y(x) 1) E

=

·

/ ()dx / 13dx

(y(x) c

+

=

·

y(x) * et +

= - la la

posteriori

X(z to) che funzione

c) globale

soluzione verifico

xela

y() =

+

= , definite nell'intervello

ben

risultante e

d'integrazione partenzal

scelto in

TEOREMA D'UNICITA PROBLEMA

DEL

DI ESISTENZA E DI CAUCHY

Fxot] g(x/

71y

FgoEIR

= =

,

del di

soluzione problema Carchy

y(x) I <IR/GLOBALE)

:

y =