Dimostrazioni corso Tecnologia, meccanica e qualità

• Lavoro

u = ∫₀^ε₁ σ dε

L = u · V

Per materiale perfettamente plastico:

u = Y · ε₁

Per materiale con incrudimento:

u = ∫₀^ε σ dε = ∫₀^ε k ε^ⁿ dε

u = (k ε^ⁿ+1) / (n+1) = Y ε^ⁿ

tensione di flusso media

Y = (k ε^ⁿ) / (n+1)

Lavoro

u = ∫₀^ε_u δ dε

L = u . V

Per materiale perfettamente plastico:

u = Y . ε_u

Per materiale con incrudimento:

u = ∫₀^ε δ dε = ∫₀^ε k ε̂ⁿ dε

u = ^{k ε̂n+1}/_n+1 = ^Ŷ ε̂

tensione di flusso media

Ŷ = ^{k ε̂n}/_n+1

• Brinell

HB = 0,102 ^F/_S

S = 2πR_bh    h = R_b - √(R_b² - R_i²)

S = 2πR_b(R_b - √(R_b² - R_i²))

R_b = ^D_b/₂    R_i = ^D_i/₂

S = 2π^D_b/₂(^D_b/₂ - ¹/₂√(D_b² - D_i²))

S = ¹/₂πD_b(D_b - √(D_b² - D_i²))

HB = 0,102 · ^2F/_{πDb(Db - √(Db² - Di²))}

• Direzione forza e Tensioni

F_N = F · cosα

F_T = F · senα

A_α = \(\frac{A_{1}}{\cos α}\)

- tensione normale σ_α = \(\frac{F_{N}}{A_{α}}\) = \(\frac{F \cos^{2} α}{A_{1}}\)

- tensione tangenziale τ_α = \(\frac{F_{T}}{A_{α}}\) = \(\frac{F \cos α \sen α}{A_{1}}\)

σ = \(\frac{F}{A_{1}}\)

σ cos²α σ cosα senα

τ_max = \(\frac{σ}{2}\)

- Conservazione del volume

Partendo da:

ε₁ = ¹/_E (σ₁ - υ (σ₂+σ₃))

ε₂ = ¹/_E (σ₂ - υ (σ₁+σ₃))

ε₃ = ¹/_E (σ₃ - υ (σ₁+σ₂))

υ = |^{ε trasversale}/_{ε longitudinale}|

Per conservazione         ε₁+ε₂+ε₃=0

¹/_E (σ₁+σ₂+σ₃) - ^υ/_E (2σ₁+2σ₂+2σ₃) = 0

¹/_E (1-2υ) (σ₁+σ₂+σ₃) = 0       ===========> υ=0,5

• Criterio di Tresca

_max = C

_max = ^{max (_i) - min (_i)}/₂

C viene calcolato a partire da una prova di trazione ⇒ sollecitazione monoassiale

₁ > 0

₂, ₃ = 0

_max = ^₁/₂ = C

Chiamando ₁ = Y ⇒ _max= ^Y/₂ = C

⇒ Y/2 = max (_i) - min (_i)

• Metodo dello Slab

Hp :

• Deformazione piana   ε_x, ε_y > 0   ε_z = 0
• Materiale perfettamente plastico
• μ > 0   senza imbarlimento
• x,y,z direzioni

Obiettivo : calcolare σ_y(x) e σ_x(x)

Si prende una quota dx dell’elemento

Ricaviamo tre relazioni:

1°

δ_y h · μ - (δ_x + dδ_x) · h · ψ - 2μ δ_y dx · χ = 0

- dδ_x · h - 2μ δ_y dx = 0

2°

ε_z = dε_z = 0

dε_z = d2 (δ_z - ^{δ_x + δ_y}⁄₂) = 0

δ_z = ^{δ_x + δ_y}⁄₂

3° (δ_x - δ_y)² + (δ_x - δ_z)² + (δ_y - δ_z)² = 2 y²

(δ_x - δ_y)² + (δ_x - (δ_x + δ_y) / 2)² + (δ_y - (δ_x + δ_y) / 2)² = 2 y²

Da cui:

3/2 (δ_x - δ_y)² = 2 y²

(δ_x - δ_y)² = 4/3 y²

Condizioni al contorno: δ_x(x)|_x=2 = 0

δ_y(x)|_x=2 = 2 / √3 y

⇒ δ_x = δ_y - 2 / √3 y

Ricavate le tre relazioni; otteniamo:

dδ_xh + 2μ δ_y dx = 0     pongo dδ_x = dδ_y

dδ_yh + 2μ δ_y dx = 0     pongo δ_y = P

dP h + 2μ P dx = 0

^dP⁄_ρ + ^2μ⁄_h dx = 0

− ^dP⁄_ρ = ^2μ⁄_h dx = 0

− ∫_ρ^{P_e dP}⁄_ρ = ∫_x^{a 2μ}⁄_h dx

ln ^P⁄_Pe = ^2μ⁄_h (a − x)

P = P_e · e^{2μ⁄_h (a − x)}

Sapendo σ_y = P_e = ²⁄_√3 Y

σ_y(x) = ²⁄_√3 Y e^{2μ⁄_h (a − x)}

σ_x(x) = ²⁄_√3 Y e^{2μ⁄_h (a − x)} − ²⁄_√3 Y

α_o, L, l, v

Δh₂ + R cos α_o = R

Δh₂ = R (1 − cos α)

cos α_o = 1 − α_o² / 2 (Mc Laurin)

Δh₂ = R α_o² / 2 ⇒ α_o = √(Δh/R)

L = R⋅α_o = R⋅√(Δh/R) = √Δh⋅R

l_e < l_u v_e < v_u

• Condizione di imbocco

Hp: Ft,0 > Fn,0

Fn = P.dL.be

Ft = P.dL.be.μ

Fn,0 = P.dL.be.sen α₀

Ft,0 = P.dL.be.μ.cos α₀

P.dL.be.μ.cos α₀ > P.dL.be.sen α₀

μ > \tan \alpha_0

\tan \alpha_0 \cong \alpha_0 \text{ per valori piccoli di } \alpha_0

\Rightarrow \mu > \alpha_0 = \sqrt{\frac{\Delta h}{R}}

\Rightarrow \mu^2 > \frac{\Delta h}{R}

Pressione media laminazione

Dallo Slab: P_{av} = \frac{2}{\sqrt{3}} \gamma \left( 1 + \frac{\mu \alpha}{h} \right)

In laminazione L = 2a \quad e \quad h_{m} = \frac{h_u + h_c}{2}

\Rightarrow P_{av} = \frac{2}{\sqrt{3}} \gamma \left( 1 + \frac{\mu \cdot L}{2 h_m} \right)

• Potenza laminazione

F_V = P_av · b · L = ^z/_√3 · γ · b · √Δh · R   (μ=0)

P = 2Cω = 2 F_V (L/2) ω   con ω = V_c/R

P = 2 · ^z/_√3 γ b √Δh · R · ^{√Δh · R}/₂ · ^V_c/_R

P = ^z/_√3 γ b Δh V_c

• Situazione limite trafilatura

- Per materiali perfettamente plastici :

σ_d = Y . ε = Y . ln _Ao/_Af = Y

⇒ ln _Ao/_Af = 1

_Ao/_Af = e

Massima riduzione: _{Ao - Af}/_Ao = 1 - 1/e

- Per materiale con incrudimento

σ_d = ^Y ε = ^Y ln _Ao/_Af

^Ken/_n+1 ε = Keⁿ

⇒ ε = n+1 = ln _Ao/_Af

_A₀/_AF = eⁿ⁺¹

Massima riduzione: (_A₀-_AF)/_A₀ = 1 - e^-(n+1)

• Colata in gravita

Dalla legge di Bernoulli:

gρh₁ + 1/2 v₁²ρ + P₁ = gρh₂ + 1/2 v₂²ρ + P₂

P₁ = P₂ = P_atm , v₁ = 0 , h₂ = 0

⟹ v₂ = √2g h₁ = √2gh_gr

Colata in sorgente

Dividiamo il processo in tre fasi:

• T = T_o = 0

gph₁ + ½v₁²ρ + P₁ = gph₂ + ½v₂²ρ + P₂

v₂ = √(2gh_r)

• T_o < t < T_finale

Ci sarà effetto della contro pressione:

gph₁ + ½v₂²ρ + P₁ = gph₂ + ½v₂²ρ + P_atm + pgx

V₂ = √2g(h₁-x)

-t=t_finale   x=b

v₂ = √2g(h₁-b)

⇒ v = ( √2gh_gr + √2g(h₁-b) )/ 2

v = √2g h_sor

con   h_sor = ( (√h_gr/2) + ( √h₁-b/2) )²

Colata in piano

V = volume

r' = V₂ / V

r" = 1 - r' = V₁ / V

Sappiamo che T_r = V / Q

T_r = T_r^gr + T_r^so =

= (r' V) / (v_gr A₂) + (r" V) / (v_soA₂) =

= V / A₂ (r' / v_gr + r" / v_so) =

= V / A₂ (r' / √2gv_gr + r" / √2g h_so)

T_r = V / (A₂ V₂)

V₂ =

u ————————————— (√(2ghgr) + √(2g hsor))

Calcolo dell'angolo di scorrimento

ɸ, α, β, R, R′, R′′, δ, F_shN, F_sh, F_N, F_D, F_C

• F_yN = R cosβ
• F_y = Rsenβ
• F_C = R′ cos(β-δ)
• F_D = R′ sen (β-δ)
• F_sh = R′ ∙ cos (ɸ+β-δ)
• F_shN = R′ sen (ɸ+β-τ)

Z_sh = ^F_sh⁄_Ash   A_sh = ^A_D⁄_{sen ø}

Z_sh = ^F_sh⁄_{AD/sen ø} = ^{R₁cos(ø + β - τ)}⁄_{AD/sen ø} =

= ^{F_c cos (ø + β - τ) sen ø}⁄_{AD cos (β - τ)}

Per ottenere ø si usa il metodo di: Ernst e Merchant:

Hp:

• Tensione tangenziale media costante
• Attrito costante
• No tagliente di riporto

L_c = lunghezza lavorazione

W_c = F_c · L_c = ^{Z_sh · A_D · cos(β - τ) · L_c}⁄_{cos (ø + β - τ) sen ø}

∂W_c⁄∂ø = 0

d/d∅ (_sh · _D · cos( - ) / cos(∅ + - ) · sen∅ · _c) = 0

_sh · _D · cos( - ) · _c · d/d∅ (1 / cos(∅ + - ) · sen) = 0

cos∅ cos(∅ + - ) - sen∅ sen(∅ + - ) / cos∅ sen(∅ + - ) = 0

cos(∅ + ∅ + - ) = 0

⟹ 2∅ + - = π/2 ⟹ ∅ = π/4 - 1/2 ( - )

• Forza e pressione di taglio

F_C = K_C · A_D

A_D = f · senκ · b

⇒ F_C = K_C · f · senκ · b = K_C · f · a_p

K_C = ^K_CS/_{h^d x b^y} (y = 0)

K_C = ^K_CS/_h^d con h_d = fsenκ

K_C = ^K_CS/_{f^x sen^xκ}

⇒ F_C = K_CS · f^1-x · a_p · ( ¹/_senκ )^x

K_CS = k_C0,u · (0,u)^x

⇒ Fc = kc₄ . f^1-x . ap. ( ^0,4/_{sen k} )^x

• Rugosità asportazione

- Caso r = 0

raggio di punta

L'utensile lascerà un solco

f = AD + DC = DB ( cot K + cot K' )

AC = f

R_max

Sapendo _DB = R_max

R_max = ^f/_{cot k + cot k'} · 10³ [\mu m]

R_a = ^R_max/₄

- Caso r≠0

\overline{ND = DE} = ^f/₂

\{ ND < AC CB < DE }

\{ f/2 < r sen k f/2 < r sen k' }

R_max = DG = OG - OD = r - √ON² - ND² =

= (r - √r² - ^f2/₄) . 10³ [μm]

R_max = ^f2/_8r

Sapendo che R_max = 4 R_a

R_a = ¹⁰⁰⁰/₃₂ ^f2/_r

• Angoli in Tornitura

• C-C

• O-O

β_s

β_o

• vista S

λ_s

Calcolo velocità e tempo ottimo

A partire da :

(T_C = Th + _V/^Q (1 + _TT/^T)

C_c = C_oTh + C_oV/^Q [1 + ₁/^T (T_T + _CT/^C_o)]

C = v_cTⁿ e F_c = K_c A_D

È possibile trovare una funzione F :

F = F_o + _α/^Q (1 - _φ/^T)

F = F_o + _α/^v_cA_D (1 - _φ/^T)

F = F_o + _α'/^v_c (1 - _φ/^T(v_c))

Si vuole ora trovare la velocità di taglio che minimizzi la funzione F :

∂F/∂Vc = 0

∂/∂Vc [F₀ + α' / Vc (1 - φ / T(Vc))] = 0

- α' / Vc² (1 + φ / T) - α' / Vc φ / T² ∂T/∂Vc = 0

- α' / Vc² (1 + φ / T + φVc / T² ∂T/∂Vc) = 0

1 + φ / T + φVc / T · 1 / 1 · ∂T/∂Vc = 0

1 + φ / T (1 + d ln T / d ln Vc) = 0

da determinare (Taylor)

T(Vc) = C / Vc

n ln T = ln C - ln Vc

ln T = 1/n ln C - 1/n ln Vc

⇒ d ln T / d ln Vc = - 1/n

λ + φ/T (1 - 1/n) = 0

φ(1/n - 1) = T_opt

con {

• φ = T_r
• φ = T_r + C_t/C̄o

V_{c opt} = C/T_opt̂

Metodo di Duncan

- Se γ = 50% probabilità di individuare uno scostamento Δμ

⇒ μ₀ + Δμ = μ₀ ± k _σ₀/^√n

Δμ = k _σ₀/^√n

∧ = (^{K _σ₀}/_Δμ)²

- se γ > 50%

P(⁻X ≤ LCS|μ + Δμ₀, σ₀) = 1 - γ

ρ(^{X̄ - (μ₀ + Δμ)}/_σ₀/√n ≤ ^{LCS - (μ₀ + Δμ)}/_σ₀/√n) = 1 - γ

Φ (^{LCS - (μ₀ + Δμ)}/_σ₀/√n) = 1 - γ