Sintesi dimostrazioni

DOMANDE DI TEORIA

1) PLV: enunciare e discutere il caso di vincoli olonomi bilateri.

Condizione necessaria e sufficiente affinchè una configurazione C sia di equilibrio per un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali è che il lavoro virtuale delle forze attive sia non positivo per ogni spostamento virtuale onde:

δL(A)≤0⏎∀⏎δp⏎⏎⏟k=1k=0⏎⏎K⏎⏎⏎(A)

Vincoli bilateri ammettono spostamenti virtuali tutti reversibili.

ΣFjdpik⏟⏎=⏎⏎

o

⏎⏎

• Se i vincoli sono olonomi e il sistema ammette un certo numero M di gradi di libertà e quindi M coordinanze Q1, ..., Qm

ogni spostamento virtuale è esprimibile in funzione delle coord. libere:

• Forze conservative

La forza è conservativa, se ammette una funzione potenziale U tale che:

Fk= -∇U ⇒ mderivata rispetto ω da parte di psi U

Implicano dQK=0

Teorema di Stazionarietà del Potenziale: le configurazioni di equilibrio corrispondono ai punti stazionari di U.

1. Equazione Cardinale della Dinamica (deduzione) e Teorema del Moto del Baricentro:

Sia dato un sistema di M punti materiali allora vale Q̇ = R^(E)

dove Q = quantità di moto del sistema, R^(E) risultante delle forze esterne al sistema.

Dimostrazione:

Somma delle forze esterne rispetto alle forze interne

• ∀i = 1,...,n Mi v̇ = ΣF_i^(E)
• EΣF_i^(E) = R^(E)

dQ/dt = R^(E) → d/dt ΣQ_i = R^(E)

d/dt (ΣMi v_i) = R^(E)

E dato che per un sistema di punti materiali vale

MiSist Q̇ = R^(E)

Teorema del moto del baricentro: G si muove come un punto avente la massa all'intero sistema, sottoposto all'applicazione di R^(E)

N.B.: Se il sistema non è rigido le forze interne possono modificare le forme e quindi agire indirettamente solamente sul baricentro.

2. II Equazione Cardinale della Dinamica (deduzione)

Dato un sistema di M punti materiali vale

Per O, Ο = velocità di O come punto perno, Q = quantità di moto del sistema

• d/dt Γ_o = M_o^(E) - Ο∧Q

Dimostrazione:

• M_iΣ_i = F_i^(E) + F_i^(I)
• (P-O)∧M_iΣ_i = (P-O)∧F_i^(E) + (P-O)∧F_i^(I)
• (P-O)∧M_iv_i= (P-O)∧F_i

d/dt → Σ_i=1 (P-O)∧M_ia_i = Σ_i=1 (P-O)∧F_i^(E) + Σ_i=1 (P-O)∧F_i^(I)a&sub>braccio mulo

Σ_i=1 (P-O)∧M_iΣ_i ← d/dt

Σ_i=1 (P-O)∧M_iv_i = Σⁿ d/dt (P_i∧v_i) - Σ_i=1 d(P_i)/dt ∧ M_iv_i

• d/dt (Γ_o) − Σ_i=1 (N_E∧O)∧M_iv_i = Q∧A∧Q

Punto dΓ_o = M_o^(E) − Ο∧Q

NB: Ο∧Q=0 se I) O posizione fissa II) Ο/Q &perpendicular; Q/NE = 0 determinazione (G &perpendicular;A Q=0)

2) Quantità di moto, definizione

Per un punto materiale    ₌ m₌

Per un sistema di punti materiali:   ₌∑M_{i⁼ = ∑Q^c}

Dimostrazione:

_dt ₌

₌∑_{iMmi^{(pio); iN=g}}

Quindi    _{iMiNi= qtot}

3) Momento della quantità di moto, definizione e trasporto

Momento rispetto a un polo o di un punto materiale :

Per un punto materiale _{o^'= o   ^b MiN^qA}

Proprietà detto cambiamento di polo : Trasporto _{o'⁼ o^{'0-0'(=p-oq-0} o⁼(^{p'-o EMiNr} o^'o'+E}