Sintesi dimostrazioni

Domande di teoria PLV

Vincoli bilateri

Enunciare e discutere il caso di vincoli dell'unii "bilateri". La considerazione necessaria e sufficiente affinché una configurazione C sia di equilibrio per un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali è che il lavoro virtuale delle forze attive sia non positivo per ogni spostamento virtuale da C:

\(dL^{(A)} \leq 0 \, \forall \, dQ_k \, da \, C \, dove \, dL^{(A)} = \sum_{i=1}^{n} F_i dQ_i\)

(Se \, i \, dP_i \, sono \, tutti \, resistenti \, dL^{(A)} = 0 ?)

I vincoli bilateri ammettono spostamenti virtuali tutti reversibili:

\(\sum F_i dP_i \leq 0\)

e \(\sum (F_i - dP_i) \leq 0 \rightarrow\) unica soluzione possibile \(\sum F_i dP_i = 0\).

Se i vincoli sono ideali e il sistema ammette un certo numero M di gradi di libertà, possiamo descrivere F1, Q1,...,Qm: ogni spostamento virtuale è esprimibile in funzione delle coordinate libere:

\(dP_i = \frac{m}\sum_{k=1}\frac{dP_i}{\partial Q_k} d Q_k \equiv\)

\(dL^{(A)} = 0 = \sum_{i=1}^{n} F_i \left( \sum_{k=1}^{m} \frac{dP_i}{\partial Q_k} dQ_k \right) = \sum_{k=1}^{m} \left( \sum_{i=1}^{n} \frac{dP_i}{\partial Q_k} F_i \right) dQ_k\)

Componente k-esima ortogonalizzamo alla dislocazione Q_k:

\(dL^{(A)} = 0 \rightarrow Q_1 \cdot dQ_2 + Q_2 \cdot dQ_2 + ... \)

\(\Rightarrow Q_k dQ_k = 0\)

Vale zero solo se ciascun Q_k vale 0 \(\forall \, k=1,\ldots, m\) perché le coordinate libere sono tra loro indipendenti.

Forze conservative

Le forze conservative F, posizionali, ammettono una funzione potenziale U tale che \(F = - \nabla U = \) energia potenziale \(V = - U\)

\(dL = \sum_{k=1}^{n} 8_k dQ_k = dU \approx \sum_{k=1}^{n}\frac{\partial U}{dQ_k} dQ_k \, U = (Q_1,...,Q_m)\)

\(8_{k} \Rightarrow 0 \quad implica \approx \frac{\partial U}{dQ_k} \Rightarrow 0\)

Teoria di Stazionamento del Potenziale: le configurazioni di equilibrio corrispondono ai punti stazionari di U.

Domande di teoria PLV

Enunciare e discutere il caso di vincoli olonomi bilateri. La condizione necessaria e sufficiente affinché una configurazione C sia di equilibrio per un sistema meccanico sottoposto a vincoli ideali è che il lavoro virtuale delle forze attive sia non positivo per ogni spostamento virtuale da C:

₀^(Δ_L) ≤ 0 ∀ _dρ^(A), da C dove _dλ^(A) = ^m∑ _k=1^dρ_i dQ.

I vincoli bilateri ammettono spostamenti virtuali tutti reversibili:

↓∑_Fi dρ_i ≤ 0 e ∑_{Fi (-dρi)} ≤ 0 ⇒ unica soluzione possibile ∑_Fi dρ_i = 0

Se i vincoli sono olonomi e il sistema aumenta un certo numero M di gradi di libertà, e quindi si possono descrivere Q₁,… , Q_m: ogni spostamento virtuale è esprimibile in funzione delle coord. libere:

dρ_i = ^m∑_{k=1 dρi}⁄_dQkdQ_k

dL^A = 0 ∑_{i=1 Fi} ^m∑_{k=1 dρi}⁄_dQk dQ_k = ^m∑_{k=1 dPQk ^{sumdρ dQi} dQk}

Componente K-esima o lagrangeana alla sollecitazione Q_k:

dL^A = 0 → Q₁ dQ₁ + Q₂ dQ₂ + Q_k dQ_k = 0

Vale zero solo se ciascun Q_k vale 0 ∀ k = 1,...,m perché le coordinate libere sono da loro reciprocamente, hanno allo dimostrato considerando spostamenti in cui tutti i dQ_k sono nulli a parte uno.

Forze conservative

F è posizionale, ammette una funzione potenziale U tale che F = -∇U e un'energia potenziale V = -U

dL = ∑_k=1 δ ^dQ_k dU = ^m∑_k=1 ^dU⁄_dQk dQ_k U = U(Q_c,...,Q_n)

∂_Qk = 0 ⟹ implica ^dU⁄_dQk ⩠ 0 ∀ k

Teorema di Stazionarietà del Potenziale: le configurazioni di equilibrio corrispondono ai punti stazionari di U.

Equazione cardinale della dinamica

Deduzione e teorema del moto del baricentro:

Sia dato un sistema di M punti materiali allora vale \( Q = R^{(E)} \) Q=quantità di moto del sistema \( R^{(E)} \) risultante delle forze esterne attive e reattive.

Dimostrazione: si riferiscono alle forze esterne. Dato che per un sistema di punti materiali vale \( MI G = R^{(E)} \).

Teorema del moto del baricentro: G si muove come un punto avente la massa dell'intero sistema e soggetto all'applicazione di \( R^{(E)} \).

N.B. Se il sistema non è rigido, le forze interne possono... (segue testo originale che termina qui).