Meccanica dei Fluidi - Dimostrazioni

Tipi di Approccio

• LAGRANGIANO: utilizza il vettore posizione r = r(x₀,t)
• EULERIANO: definisce in ogni punto le velocità delle particelle che attraversano quel punto in un determinato tempo V = V(x,t)

• Moto stazionario (steady flow) ⇒ V = V(x)
• Moto uniforme ⇒ che non cambia nello spazio

→ Volume di controllo

Derivata totale

b: grandezza generica

b = b(x,t)

db = ∂b/∂t dt + ∂b/∂x dx + ∂b/∂y dy + ∂b/∂z dz

divido tutto per dt ⇒ db/dt = ∂b/∂t + ∂b/∂x dx/dt + ∂b/∂y dy/dt + ∂b/∂z dz/dt

gli spostamenti sono:

dx = V_x dt

dy = V_y dt

dz = V_z dt

⇒ sostituisco ⇒

⇒ db/dt = ∂b/∂t + ∂b/∂x V_x + ∂b/∂y V_y + ∂b/∂z V_z ⇒ Db/Dt = ∂b/∂t + V⋅∇b

Indica come varia b in relazione alle variazioni di moto (di v) che subisce. ∂b/∂t = variazione locale ∇⋅Vb ⇒ termine convettivo.

T. del Trasporto

Permette di valutare le variazioni di un corpo come somma delle variazioni rispetto ad un volume fisso e gli scambi che la superficie che lo racchiude ha con l'esterno.

Sia B una grandezza estensiva (cioè riferibile ad un'unità di massa) t.c.

B = ∫_v(t) F(x,t) dV ⇒ DB/Dt = d/dt ∫_v(t) F(x,t) dV = lim_Δt→0 ∫_v(t) F(x,t+Δt) dV - ∫_v(t) F(x,t) dV/Δt

= lim_Δt→0 (∫_v(t) F(x,t+Δt) + ∫ F(x,t+Δt) - ∫_v(t) F(x,t))dV)/Δt

= lim_Δt→0 ∫[F(x,t+Δt) − F(x,t+Δt)]dV/Δt = lim_Δt→0 ∫_v(t) F(x,t+Δt) dV/Δt

Tipi di Approccio

• LAGRANGIANO: utilizza il vettore posizione r̅=r̅(x₀,t)
• EULERIANO: definisce in ogni punto le velocità delle particelle che attraversano quel punto in un determinato tempo V̅=V̅(x,t)

• Moto stazionario (steady flow) → V̅=V̅(x)
• Moto uniforme → che non cambia nello spazio

→ Volume di controllo

Derivata totale

b: grandezza generica b=b(x,t)

db=_∂b/_∂t dt + _∂b/_∂x dx + _∂b/_∂y dy + _∂b/_∂z dz

divido tutto per dt →

db/dt=_∂b/_∂t + _∂b/_∂x dx/dt + _∂b/_∂y dy/dt + _∂b/_∂z dz/dt

gli spostamenti sono:

dx=Vₓ dt

dy=Vᵧ dt

dz=V dt

db/dt=_∂b/_∂t + _∂b/_∂x Vₓ + _∂b/_∂y Vᵧ + _∂b/_∂z V →

Db/Dt=_∂b/_∂t + V̅.^∇b

Indica come varia b in relazione alle variazioni di moto (di V̅) che subisce.

_∂b/_∂t = variazione locale - V̅.^∇b = termine convettivo

T. del Trasporto

Permette di valutare le variazioni di un corpo come somma delle variazioni rispetto ad un volume fisso e gli scambi che la superficie che lo racchiude ha con l'esterno.

Sia B una grandezza estensiva (cioè riferibile ad unità di massa) t.c.

B=∫_V(t) F(x̅,t) dV

_DB/_Dt=_∂f/_∂t ∫_V(t)F(x̅,t) dV

=lim_Δt->0 1/Δt [∫_V(t+Δt) F(x̅,t+Δt) dV - ∫_V(t)F(x̅,t) dV]

=lim_Δt->0 [∫_V(t) F(x̅,t+Δt) + ∫_v F(x,t+Δt) - ∫_V(t) F(x̅,t)] / Δt

=lim_Δt->0 [∫_V(t) [F(x̅,t+Δt)-F(x̅,t)] dV/Δt]

ie termine si è _v(t) ∫ ^∂F∂tdV

considero un cilindretto, ie volume sarà: V ⋅ m ds dt

alloraΔV = S ⋅ V m ds dt

→ ∫ ^∂F∂tdV = lim_Δt→0 ∫_S F(x, t+Δt) ⋅ V ⋅ m ds dt / Δt =→ - _V(t)^S DB_Dt - ∫ ^∂F∂tdV - ∫_S F(x, t+Δt) ⋅ v ⋅ m ds

Equazione di Continuità

Per il Principio di Conservazione della Massa si ha. DmDt = 0 , cioè la massa rimane costante nel tempo

m = ∫ _V ρ dV = sostituisco → DmDt - DDt ∫ ρ dV = 0

applico T. del Trasporto. DDt ∫_V(t) ρ dV = ∫_∂ρ∂t + ∫_S ρ v ⋅ m ds = 0

[∫ _Vc^∂ρ∂t dV = ∫_Sc ρ v ⋅ m ds = 0]

→ eq.ne continuità in forma integrale

applico d