Meccanica dei Fluidi - Dimostrazioni

Tipi di Approccio

• LagranGiano: utilizza il vettore posizione r = r (r₀,t)
• Euleriano: definisce in ogni punto le velocita delle particelle che attraversano quel punto in un determinato tempo V = V (x,t)

• Moto stazionario (steady flow) ➔ V = V (x)
• Moto uniforme ➔ che non cambia nello spazio

Volume di controllo

Derivata totale

b: grandezza generica b = b (x,t)

db = _∂b/_∂t dt + _∂b/_∂x dx + _∂b/_∂y dy + _∂b/_∂z dz

divido tutto per dt ➔ _db/_dt = _∂b/_∂t + _∂b/_∂x dx/_dt + _∂b/_∂y dy/_dt + _∂b/_∂z dz/_dt

gli spostamenti sono:

• dx = V_x dt
• dy = V_y dt ➔ sostituisco ➔
• dz = V_z dt

_db/_dt = _∂b/_∂t + _∂b/_∂x V_x + _∂b/_∂y V_y + _∂b/_∂z V_z ➔ _Db/_Dt = _∂b/_∂t + V ∇b

Indica come varia b in relazione alla variazione di moto (di V) che subisce. _∂b/_∂t ➔ variazione locale V ∇b ➔ termine convettivo

T. del Trasporto

Permette di valutare le variazioni di un corpo come somma delle variazioni rispetto ad un volume fisso e gli scambi che la superficie che lo racchiude ha con l’esterno.

Sia B una grandezza estensiva (cioè riferibile ad un'unità di massa) t.c.

B: ∫_V(t) F (x,t) dV ➔ _DB/_Dt = ∂/∂t ∫_V(t) F (x,t) dV = lim_{∆t ➔ 0} [ (∫_V(t+∆t) F (x,t+∆t) dV - ∫_V(t) F (x,t) dV) / ∆t ]

= lim_{∆t ➔ 0} [ ∫_V(t) F (x,t+∆t) + ∫_∆V F (x,t+∆t) - ∫_V(t) F (x,t) dV ] / ∆t

= lim_{∆t ➔ 0} [ ∫_V(t) [ F (x,t+∆t) - F (x,t) ] dV ] / ∆t

ie termine 1^o e

∫v(t) ∂F∂t dV

considero un cilindretto il volume sarà V ∙ v ∙ ds ∙ dt, allora

ΔV = ∫ N v ds dt

t₁ Δt

= ^_∂F∂t dV = lim_Dt>0 ∫ (F(x,t+Δt) V ∙ v ds dt -

= Δt

= Dt

∫ ^_∂F∂t dV - ∫ F(x, t + Δt) v ∙ m ds

V(t) V(t)

=

Equazione di Continuità

Per il Principio di Conservazione della Massa si ha Dm ∙ 0, cioè la

dT. massa rimane costante nel tempo

M = ∫ _pdV

V

➝ sostituisco ➝ Dm ∫ _pdV = 0

Dt v_c

applico T. del Trasporto. ^Dd∫ _pdV = ^{_{∂ p}∂t} dV + ∫ _pv ∙ m ds = 0

D^T v_c Dt sc

=

∫ _pdV = ∫∫ _pv ∙ m ds ∙ 0

v_c sc

⟹ eq.ne continuità in forma integrale

applico della Divergenza (dice che ∫ (pb v ) m ds ∫ V(pb v ) dv ) :

si ottieme, _{^{∂ ρ}}/^t dV = ∫ ρ v m ds - ∫ _{^{∂ ∇ dV + [∫ ∇ p(v )}} dv = o

o dt s v_c dt v v_c

∫ _pv dV ^⟹ quindi _{^{∂ p}/}^{∂ t} + V(v p) = o

= dt

=_{^{∂ p}}/^dt=> v^t v ∙(V ) = o

__

∫_pdV

^dt_t

__

= eq.ne continuità in forma differenziale

Viscosità

Indica la difficoltà con la quale un corpo attraversa un fluido. Più è viscoso e più è difficile da attraversare.

^F⁄_A

Supponiamo di applicare alla lastra superiore una forza costante F. La lastra sarà quindi dotata di una certa velocità V e di una accelerazione. Dopo un certo tempo la lastra avrà V = cost. Raggiunta la velocità di regime, dovranno essere altre forze tali da far sì che la risultante sia 0: nel fluido a contatto con la lastra superiore aderisce ad essa e si muove con la stessa velocità della piastra. Indichiamo con A l'area di contatto piastra-fluido, sullo strato superiore del fluido masse una tensione tangenziale:

T = ^E⁄_A

Le forze che fanno stare a contatto le molecole di uno stesso fluido si chiamano forze di coesione; quelle che fanno aderire il fluido e la piastra sono le forze di adesione. A loro volta, le particelle di fluido sulle lastre inferiori avranno V > 0. In un istante di tempo dt la piastra superiore si sposta di una certa distanza x, mentre quella inferiore è ferma. Questo crea un angolo dϕ che messo in relazione al tempo dt prende il nome di velocità di deformazione angolare. Per la maggior parte dei fluidi la velocità di deformazione è direttamente proporzionale allo sforzo tangenziale τ. Tali e il comportamento dei fluidi newtoniani.

τ = μ ^dv1⁄_dz legge di Newton

con:

μ coeff. viscosità dinamico

• μ_acqua = 0,001 Pa∙s
• μ_aria = 18∙10^-5 Pa∙s

Celerità

È la velocità con la quale una perturbazione si propaga in un fluido.

Imprimo una variazione di velocità dV con un pistone su un fluido comprimibile. Le particelle si comprimono accostandosi, si aumenta la densità (ρ+dρ) e la pressione (P+dP). Questa variazione non si estende istantaneamente a tutto il cilindro, ma impiegherà un certo tempo; si sarà quindi una linea immaginaria che separa la parte perturbata da quella in quiete.

• HP: tubo orizzontale rigido
• Fluido in quiete

Parto dall' eq.ne di continuità:

^∂ρ/_∂t dV + ∫_S ρv⋅n dS = ⌀ (supponiamo V_c a cavallo della linea imma- ginaria e supponiamo che si muova con essa)

Se C è la velocità con cui V_c (e quindi la linea immaginaria) avanza, l' osservatore vedrà la parte di dx avvicinarsi con velocità C e quella di sx allontanarsi con velocità C - dV.

∫_S(sx) ρv⋅n dS = (C - dV) A (ρ + dρ)

∫_S(dx) ρv⋅n dS = -C A ρ

Sommiamo le due:

C A ρ + (C - dV) (ρ + dρ) A = 0

C A ρ + C A dρ - A dV ρ - A dV dρ = 0

C A dρ = A dV ρ

C dρ = ∫ dV ρ

Considero ora l' eq.ne di bilancio:

G⟂ + Π - M_u - M_e = I

Per la legge della quantità di moto, la variazione della quantità di moto nel tempo deve essere uguale alle forze applicate, trascurando le forze di massa.

G⟂ + I . Mu - M_e x I + ⌀

velocità di deformazione lineare: è la deformazione lineare nell'unità di tempo, cioè la velocità con la quale si verifica un allungamento unitario.

Il segmento PQ ha una lunghezza iniziale dX_α, diventa P'Q'. La velocità di deformazione lineare E_α nella direzione arbitraria X_α è:

E_α = ^d⁄_dt (^(P'Q'-PQ)⁄_PQ) = ^d⁄_dt (^{dX_α + (Vα + dVα⁄_dXα dX_α) dt - Vα dt - dX_α}⁄_dXα) =

= ^d⁄_dt ^{dX_α dX_α}⁄_dXα = ^dVα⁄_dXα

E_xx = ^∂V_x⁄_∂x,   E_yy = ^∂V_y⁄_∂y,   E_zz = ^∂V_z⁄_∂z

velocità di deformazione angolare: è la metà della velocità con cui diminuisce l'angolo tra 2 rette inizialmente ortogonali che si intersecano in un punto.

L'angolo tra le due rette a e b, diminuisce di una quantità d²xy.

d²xy = 90 - ²ab - d²a - d²b

La velocità di deformazione angolare nel piano è:

E_xy = ¹⁄₂ ^d2xy⁄_dt = ¹⁄₂ (^{d2a - d2b}⁄_dt - ¹⁄₂ (^∂V_x⁄_∂y + ^∂V_y⁄_∂x))