Derivate (Parte 1): teoria ed esercizi

lim_x→0 log^(1+x)x / x²

log^(1+x) − x + o(x) − x / x² = o(1)^x − x / x² = (o(1) / x) . 1 / x = ? non lo so fare

(seu) x + o(x)

Definizione di derivata e di funzione derivabile

Sia I intervallo ed f: I→ℝ

Siano x, x₀ ∈ I x≠x₀

Definiamo rapporto incrementale il seguente numero

R( f(x−x₀))= (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀)

Rapporto incr.

R( f(x−x₀))= (f(x) − f(x₀)) / (x − x₀)

R( f(x−x₀))= (f(x₀) − f(x₀)) / (x₀ − x₀)

Significato geometrico di R( f(x−x₀))

es: lim_x→0 log(1+x)^{xx -}

log(1+x)^x - x + o(x) - x = o(1) o(1)

------------------------------------- x² x X

_lim^x→0 1 = 0 ( )

∫ sen x = x + o(x) x→0 y=x

Definizione di Derivata e di Funzione Derivabile

Sia I intervallo ed f: I → R

Siano x, x₀ ∈ I x ≠ x₀

Definiamo rapporto incrementale il seguente numero

f(x) - f(x₀)---------------------------------- x-x₀∧ Rf(x-x₀)= Rf(x-x₀)

Significato geometrico di Rf(x-x₀)

f(x₀) f(x₂)

Rapporto Incline m.

Rf(x-x₀)=^{f(x) - f(x₀)} ----------------------------------

Apparently non-interpreted typography.

Rf(x₀-x)=^f(x₀)-f(x)x₀-x

f(x1) ≠f(x₀)

Equazione della retta passante per:

(x₁, y₁) e (x₀, f(x₀))

(y - f(x₀)) / (f(x₁) - f(x₀)) = (x - x₀) / (x₁ - x₀)

y - f(x₀) = (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) · (x - x₀)

y = f(x₀) + (f(x₁) - f(x₀)) / (x₁ - x₀) · (x - x₀)

coefficiente angolare della retta

rapporto incrementale

Definizione

f: I → R I intervallo x₀ ∈ I∀ x ∈ I {x₀, y} consideriamo R f(x, x₀) = (f(x) - f(x₀)) / (x - x₀)

Diciamo che f è derivabile in x₀ se:

∃ lim_x→x0 R f(x - x₀) ∈ R

(deve essere un numero reale)

e chiamiamo derivata di f in x₀ il lim_x→x0 R f(x, x₀) e la indichiamo con f'(x₀) (Df(x₀), d⁄dx (x₀))

Teorema (definizione equiv. di derivata)

f : I → ℝ I intervallo x₀ ∈ I. Le seguenti proposte sono equiv.:

1. f è derivabile in x₀
2. f ∈ C¹(I;R): f(x) = f(x₀) + l(x-x₀) + o(x-x₀)_x→x₀

Se 1) e 2) sono vere allora l = f'(x₀)

Dimostrazione 1) → 2) (❪a sapere❫)

per ipotesi: ^lim_x→x₀ ℜ [f(x) x₀ ] - f(x₀) ^lim_x→x₀ ^{f(x) - f(x₀)}/_x-x₀ = f'(x₀)

→ ^lim_x→x₀ (^{f(x) - f(x₀)}/_x-x₀ - f'(x₀)) = 0

→ ^lim_x→x₀ (^{f(x) - f(x₀)} - f'(x₀)(x-x₀)) = 0(x-x₀)

f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀) = 2) con l = f'(x₀)

Dimostrazione 2) → 1)

per ipotesi:

f(x) = f(x₀) + l (x-x₀) + o1(x-x₀) per x → x₀

→ ^{f(x) - f(x₀)}/_x-x₀ = ^{f(x₀) + l (x-x₀) + o1(x-x₀) - f(x₀)}/_x-x₀

= (^{f(x) - f(x₀)}/_x-x₀) + ^o(x-x₀)/_x-x₀

→ ^lim_x→x₀ = l ^lim_x→x₀ ℜ [f(x) x₀ ] = l = f' (x₀)

Osservazione significato geometrico di f deriv. in x₀

f(x) = f(x₀) + f'(x₀) (x-x₀) + o1(x-x₀) per x → x₀

f(x) + f'(x) (x-x₀) - 0(x-x₀) per x → x₀

funzione lineare = retta

considero la retta y = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀)

passante per (x₀, f(x₀)) no!

f(x) - f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) ^no

SÌ

1) limx→0+ x3 - 1 - x·log x - x3·log x2/x·log2x = 0

inid.

Limite noto:

lim_x→0⁺ x^x·log²x = 0 ∀x>0 ∀k∈IR

lim_x→0⁺ x^x - lim_x→0⁺ e^{x·log x} = 1

N: = x³ -1 - x·log x - x³·log³x

log(1+x) = x - x²/2

Per x→0

N = x³ + o(x·log x)

N/D = ^{- x3log3x + o(x·log3x)}/_x·log²x

N: x³·log x³ ?

o(x·log x)/x·log²x = 0

log(1+x) = x²log²x → 0