Derivate (Parte 1): teoria ed esercizi

lim_x→0 log(1+x) - x / x²

log(1+x) - x = o(1)

o(1) / x² = o(1) / x = ? non lo so fare

log(1+x) = x + o(x) x → 0

[seu x = x + o(x) x → 0

y = seu x

Definizione di DERIVATA e di FUNZIONE DERIVABILE

Sia I intervallo ed f: I → ℝ

Siano x, x₀ ∈ I   x ≠ x₀

Definiamo rapporto incrementale il seguente numero

R_f(x - x₀) = f(x) - f(x₀) / x - x₀

R_f(x - x₀) = R_f(x₀ - x)

Significato geometrico di R_f(x - x₀)

f(x₁) ≠ f(x₀)

RAPPORTO INCREM.

R_f(x - x₀) = f(x) - f(x₀) / x - x₀

R_f(x - x₀) = f(x₀) - f(x) / x₀ - x

Equazione della retta passante per: \( (x_1, f(x_1)) \) e \( (x_0, f(x_0)) \)

\[ y - f(x_1) = \frac{x - x_0}{x_1 - x_0} \]

\[ y - f(x_0) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \cdot (x - x_0) \]

\[ y = f(x_0) + \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x_1 - x_0} \cdot (x - x_0) \]

coefficiente angolare della retta

Definizione

\( f: I \to \mathbb{R} \; I \) intervallo \[ x_0 \in I \] \[ \forall x \in I \; \{x_0, y\} \] consideriamo \[ R(f,x_0) = \frac{f(x_1) - f(x_0)}{x - x_0} \]

Diciamo che \( f \) è derivabile in \[ x_0 \] se:

\(\exists \lim_{x \to x_0} R(f(x-x_0)) \in \mathbb{R} \text{ (deve essere un numero reale) } \)

e chiamiamo derivata di \[ f \] in \[ x_0 \] il \(\lim_{x \to x_0} R(f(x,x_0)) \) e lo indichiamo con \[ f'(x_0) \; (Df(x_0)) \; \frac{df}{dx}(x_0) \]

1

es

lim_x→0⁺ (x² log (cos √x) - x) (sen x / x + 1)

log (1 + t) ≈ t + o(t) t → 0 t = -1/2x² + o(1/x²)

cost = 1 - t²/2 + o(t²) t = √x

= x² log (cos √x) - x = x² log (1 - 1/2x² + o (1/x²)) - x =

= x² [-1/2x² + o (1/x²) / 1/2x² + o (1/x²) ] - x =

= -1/2 + o (x²1/x²) - x = 1/2 + o(1) → x → +∞ -∞

= ( sen x ) ( x + 1 ) = -∞ → -∞

es

lim_x→0⁺ (cos (√x - sen x) -1 / x⁶ )

e^{cos x + 2} x³

t → x - sen x

cos t - 1 ∼ t²/2 t → 0

cos ( √x - sen x ) - 1 ∼ 1/2 ( x - sen x )² = = - 1/2 ( x² - x + o(x) ) = -1/2 ( x²) → ( o(x² )) →

d(x²) / o(x⁶) → NO!

sen x ≈ x + o(x)

Proviamo sviluppo del seno con ordine alto

sen x = x x³/6 + o (x³) x→0

= -1/2 (x - x x³/6 + o(x³))² = 1/2 ( x⁴/36 + o(x⁶) + x³ o(x⁵) ) = = 1/72 x⁶ + o(x⁶)

Usiamo sin x ∼ x − x³/6 + o(x³) per x → 0

N = sin (x + x) − 2x = sin (x + x − x³/6 + o(x³)) − 2x =

= sin(2x − x³/6) − 2x =

= 2x − x³/6 + o(x³) − 2x =

= −x³/6 + o(x³)

N/D = o(x)/ x³

No!

Lo sviluppiamo di III ordine:

= sin(2x − x³/6 + o(x³)) − 2x =

= 2x − x³/6 + o(x³) + 1/6 (2x − x³/6 + o(x³))³ − 2x =

= −x³/6 + o(x³) − 4/6∙8x³ + o(x³) = −9/6 x³ + o(x³) = −3/2 x³

N/D = −3/2

Esercizi del tipo V/F

1. Se \( a_n \leq \frac{1}{n} \) allora \( a_n \to 0 \)
   • F
2. Se \( f \) limite allora \( (a_n)^m \) è limitato
   • F
3. Se \( (a_n)^m \) è limitato allora \( a_n \) limite
   • F
4. Definizione di limite \( f: ]1, +∞[ \to \mathbb{R} \) limite \( f(x)=5 \), \( x \to 1 \)

\( \underline{1}\)

\[ \begin{array}{c} \frac{1}{n^2} \\ a_n = -1 \quad \forall n \in \mathbb{N} \quad a_n \to 0 \end{array} \]

Se \( a_n \geq 0 \) \(\quad 0 \leq a_n \leq \frac{1}{M^2} \quad \) (V)

\[\begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \uparrow & \uparrow \end{array}\]

\( \underline{2} \) Limiti sup e inf:

• Se \( \exists \lim \) allora \( +∞ \to \) non è limitato sup/lim
• \(\lim \to -∞ \to \) non è limitato inf/lim
• è vero solo se \( \lim \to M \in \mathbb{R}\)

(05)

_x→0⁺

x² + x³ + 4x³ 5

= x² + 4x³ + 4x³x

= (1 + x + o(x))(1 - x)(1 + 3x) -

= (1 - x)(1 + 3x) + o(1 + 3x) -

= 1 - x + o((x| x) | - x| - 3

= 1/4 x| x| (- 1/4) x| x|=

N 1/4 | x| 1 1/4=

D x/2 x² 1 4

, e^{(x → (cos)x}

0 X

_lim

± e^{(cos)x - 1sin x)}

x² 2

→ e^{t x/2} = - e/2

t→0

= - e / 2

∼ e (t ^x2/2 - 1

x/2 (t ^x2/2 = (1 + x t + o1(t)

_{lim ^x→0}

cos (x(sen

→ -e

x² + x³ ∞= forma indeterminata

e log((⃟ f(x), g(x)

solo k

= - g(x), log(f(x))

nu forma indet. ∞0

dove

¹

= log f

sen (x) x³ = log(1 - x²³ 6 - o(x3) =

→

f(x), g(x) log sen (x x² / 6 + o(x³³) =

v + o(x²) + o(x³) = (x² 6 + o(x²) = (x³)

x²

6