Derivate e calcolo differenziale - Analisi 1

NON DERIVABILITA’ QUANDO UNA FUNZIONE NON È DERIVABILE

Una funzione non è derivabile in un punto quando la derivata destra e sinistra o non

sono uguali o una delle due o entrambe sono infinito

Si studiano quindi i PUNTI DI NON DERIVABILITA’ che possono essere di tre tipi:

PUNTO ANGOLOSO ′ ′

( ) ≠ ( )

è un punto angoloso se esistono finite

0

+ −

Se la derivata destra e sinistra sono diverse ed esistono

finite, vanno come a formare “un angolo” e per tale

motivo il punto di discontinuità ha quel nome.

PUNTO DI FLESSO A TANGENTE VERTICALE

è un punto di flesso a tg verticale se esistono e sono infinite

0

′ ′ ′ ′

( ) ( ) ( ) ( )

= = +∞ = = −∞

oppure

+ − + −

Possiamo intuire che si ha un punto di flesso a tangente

verticale con questo ragionamento: la derivata prima mi

indica il coefficiente angolare; noi abbiamo fatto la

derivata destra e sinistra in un punto e cioè abbiamo

trovato i due coefficienti delle tangenti in quel punto,

che sono o +∞ o -∞. E quindi la retta tangente è verticale

perché generalmente le rette con coefficiente angolare

infinito sono verticali.

PUNTO DI CUSPIDE

è un punto di cuspide se esistono e sono infinite

0 ′ ′

( ) ( )

= +∞ = −∞

e

+ −

oppure

′ ′

( ) ( )

= −∞ = +∞

e

+ −

ESEMPI DI FUNZIONI IN CUI STUDIARE IL PUNTO DI NON DERIVABILITA’ INDICATO

• ||

= = 0

0

→Calcolo quindi la derivata destra e sinistra della funzione, ma prima devo

calcolarmi la derivata.

Per calcolare la derivata bisogna prima sapere che scrivere |x| è equivalente a

2

√

scrivere e quindi vado a derivare quest’ultima forma

1

′

= ∙ 2 = ||

2

2√

→Ora posso svolgere la derivata destra e sinistra

′ )=1

()

= (

+ | |

+

→ = 0

′ ) = −1

()

= (

− | |

−

→

• 3

= √ = 0

0

→Calcolo quindi la derivata destra e sinistra della funzione, ma prima devo

calcolarmi la derivata.

1

′

= 3 2

3√

→Ora posso svolgere la derivata destra e sinistra

1

′ ) = +∞

()

= (

+ 3

+

→ = 0

2

√

3

1

′ ) = +∞

()

= (

− 3

−

→ 2

√

3

3

• 2

= √ = 0

0

→Calcolo quindi la derivata destra e sinistra della funzione, ma prima devo

calcolarmi la derivata.

1

′

= 3√

→Ora posso svolgere la derivata destra e sinistra

1

′ ) = +∞

()

= (

+ + 3√

→ = 0

1

′ ) = −∞

()

= (

− − 3√

→

Esercizi: studiare continuità e derivabilità delle seguenti funzioni

() = |()|

→CONTINUITA’

(0,

: +∞)

è ℎè

→DERIVABILITA’

ò :

log() log() ≥ 0, ≥ 1

() = { − log() log() < 0, 0 < < 1

log() + 1 ≥ 1

′() = { − log() − 1 0 < < 1

à = 1 ℎè ℎ è

′

(

ℎ à ) unissero.

= 1: ′

1 + log() = 1 = (1)

+

+

→1 ′

−1 − log() = −1 = (1)

−

−

→1

ℎ = 1 è

{ || ≠

() = =

→CONTINUITA’

(−∞,

: +∞)

è ≠ 0 ℎè .

à = 0: −1

1 log || log||

2 +

log || = [ = , → 0 → +∞] = = − = 0

2 2

+ →+∞ →+∞

→0 −1

1 log || log||

2 −

log || = [ = , → 0 → −∞] = = − = 0

2 2

−

→0 →−∞ →−∞

2 2

log || = log || = 0 = (0)

−

+ →0

→0

ℎ è = 0 ℝ

→DERIVABILITA’

ò :

2

log() > 0

() = { 0 = 0

2

log(−) < 0

…

′ ()

− > 0 → = 2 log() +

′ ()

− < 0 → = 2 log(−) +

′ ()

− ≠ 0 → = 2 log|| + , ò ℎ è

≠ 0: à = 0

− = 0 à

() − ( )

0

:

−

→ 0 0

2

log || 1 log||

+

= log || = [ = , → 0 → +∞] = − =0

+ + →+∞

→0 →0

2

log || 1 log||

−

= log || = [ = , → 0 → −∞] = − =0

− −

→0 →0 →−∞

(

ℎè )

, è = 0 e di conseguenza in tutto il dominio.

à ℎè è

′

Limite della derivata e derivabilità :

′() = 2 log|| + = 0 = ′(0)

→0 →0

( )

{ ≠

() = =

→CONTINUITA’

(−∞,

: +∞)

è ≠ 0 ℎè .

à = 0:

1 1

2 ( ) ( )

= 0 ℎè − 1 ≤ ≤ 1

+

→0 1 1

2 ( ) ( )

= 0 ℎè &minu