Derivate e calcolo differenziale - Analisi 1

CALCOLO

DIFFERENZIALE

DERIVATA DI FUNZIONI

INTERPRETAZIONE ANALITICA

: (, ) → ℝ ∈ (, )…

Data e 0

ℎ ∈ ℝ , |ℎ| ≪ 1)

Ci si sposta da con un incremento molto piccolo (ℎ

0 ( + ℎ) − ( ),

La funzione avrà quindi una variazione variazione che di per sé non è

0 0

significativa se non si rapporta all’incremento della variabile indipendente: cioè questa

variazione, per darci un tasso di variazione, deve essere rapportata all’incremento:

( + ℎ) − ( )

0 0

ℎ

Questa quantità è nota come rapporto incrementale ed è il tasso di variazione medio nel

+ ℎ

momento in cui la variabile indipendente passa da a (tasso di variazione medio

0 0

).

dei valori di rispetto ad + ℎ.

In pratica esprime come varia la funzione mediamente nel passare da a

0 0

Si osservi però questo caso: 1 2

Sicuramente il rapporto incrementale di ed è uguale (hanno la stessa variazione) ma

puntualmente ciò non è vero.

L’idea è quella di lavorare localmente in un intervallo sempre più piccolo e quindi sfruttare

il limite per trovare puntualmente (punto per punto) questa variazione.

( +)−( )

= ′( )

Si dice derivabile in se esiste finito il che è la derivata

→

La derivata è quindi il tasso di variazione puntuale dei valori di rispetto ad

INTERPRETAZIONE GEOMETRICA

Data una funzione che si suppone essere derivabile in , si parte dall’idea di voler

0

definire una tangente ad una curva qualsiasi:

()

Si considera quindi la retta secante ad passante per i punti

))

( , ( ( + ℎ, ( + ℎ))

e

0 0 0 0

L’equazione della secante sarà la seguente:

− ( ) −

() = =

( + ) − ( )

Ordinando per formula inversa:

( + ) − ( )

( )

= ∙ − + ( )

Si nota che il rapporto incrementale corrisponde al coefficiente angolare della secante.

Si nota inoltre che man mano che diminuisce l’incremento, cioè considerando incrementi

sempre minori, la retta secante tende a diventare sempre più retta tangente fino a

quando le due rette coincideranno. →

Dunque, il coefficiente angolare della tangente lo si trova passando al limite per

( + ) − ( )

=

→ = ()

Se questo limite esiste ed è finito allora la funzione si dice derivabile nel punto

e il valore che assume il limite prende il nome di derivata di in

A questo punto l’equazione della retta tangente sarà la seguente:

′ ( )( )

= − + ( )

PRIME REGOLE DI DERIVAZIONE

[] =

Si dimostra:

(+ℎ)−() −

= =0 .

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0 [ + ] =

Si dimostra:

( + ℎ) + − − ℎ

= =

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0 ]

[ =

Si dimostra:

2 2 2 2 2

( + ℎ) − + 2ℎ + ℎ − ℎ(2 + ℎ)

= = = 2

ℎ ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

[√] = √

Si dimostra:

+ ℎ − √ + ℎ − √ √ + ℎ + √ +ℎ− 1

√ √

= ∙ = =

ℎ ℎ 2√

√ + ℎ + √ ℎ(√ + ℎ + √)

ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

[ ] = −

Si dimostra:

1 1

− 1 − − ℎ 1

+ ℎ

= ∙ = − 2

ℎ ℎ ∙ ( + ℎ)

ℎ→0 ℎ→0 −

]

[ =

Date le precedenti tre regole si intuisce che

]

[ =

Si dimostra:

+ℎ ℎ

− − 1

= ∙ =

ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0 LIMITE NOTEVOLE

[()] =

Si dimostra: ( + ℎ) 1

log (

log( + ℎ) − log() 1 + ℎ) + ℎ ℎ

= lim = lim ∙ log = lim log =

( )

ℎ ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0 ℎ→0

ℎ→0 1

ℎ ℎ 1 1

1 1

ℎ

lim log + = = , ℎ → 0 → 0] = lim log(1 + ) = lim ∙ log(1 + ) =

(1 ) [

ℎ→0 →0 →0 LIMITE NOTEVOLE

[()] = ()

Si dimostra:

( + ℎ) − () [(

= + ) = () () + () ()] =

ℎ

ℎ→0 () (ℎ) + (ℎ) () − () 1 − ℎ ℎ

= − ℎ + =

2

ℎ ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

= [()] = −()

Si dimostra

Dimostrazione analoga a quella precedente

CONTINUITA E DERIVABILITA’

PROPOSIZIONE

Se è derivabile in un punto x ALLORA è continua in x

0 0

ATTENZIONE

Non vale il contrario: cioè se la mia funzione in un punto è continua non è detto che sia

derivabile. ||

=

Per esempio la funzione che ha questo grafico, è

una funzione continua in tutti i punti, e anche nel punto

x=0. Ma nonostante sia continua in x=0, sempre nello

stesso punto x=0 non è derivabile perché se provo a

disegnare la tangente a destra e sinistra, queste non

coincidono.

x=0 è quindi un punto di non derivabilità, in particolare un punto angoloso (se infatti

facciamo i limiti per h->0 sia da destra che da sinistra del rapporto incrementale di |x|

otterremo due valori finiti e distinti.

DIMOSTRAZIONE

PRIMO PASSAGGIO

Inizio subito a delineare il mio obiettivo: quello di dimostrare che la funzione che in un

punto x che so già essere derivabile (per ipotesi), in quel punto x è anche continua.

0 0

lim () = ( )

Ricordiamo che una funzione è continua in un punto quando 0

→

0

lim () =

Ci iniziamo a scrivere quindi →

0

Sapendo che in la funzione è derivabile e quindi esiste ed è finito il limite del rapporto

0

incrementale, da questa scrittura andiamo ad eseguire dei passaggi fino ad ottenere il

limite del rapporto incrementale.

SECONDO PASSAGGIO () − ( )

Cerco un modo per arrivare a scrivere l’incremento (che è ).

0

)

(

Sottraggo e aggiungo quindi per delineare l’incremento ma senza variare e far

0

perdere di generalità la mia quantità iniziale:

=

))

= lim (() − ( ) (

+

0 0

→

0

TERZO PASSAGGIO −

Mi manca ancora il mio incremento (che sarà )

0

− )

Moltiplico e divido per ( in modo da ottenere l’incremento senza variare la quantità

0

iniziale e non far perdere di generalità

(− )

0 =

) ))

= lim (() − ( ∙ (

+

0 0

(− )

→ 0

0 )

()− (

0 =

( ) ))

= lim ( ∙ − (

+

0 0

(− )

→ 0

0

Ma se x tende ad allora le quantità in rosso diventano zero e il risultato del mio limite

0

)

( lim () = ( ).

sarà e quindi

0 0

→

0

DA INTUIRE COME CONSEGUENZA CHE…

Se non è continua in un punto allora sicuramente non è nemmeno derivabile.

QUINDI:

• DERIVABILITA’ IN UN PUNTO IMPLICA CONTINUITA’ IN UN PUNTO

• NON CONTINUITA’ IN UN PUNTO IMPLICA NON DERIVABILITA’ IN UN PUNTO

• NON DERIVABILITA’ IN UN PUNTO NON IMPLICA NON CONTINUITA’ IN UN PUNTO

ULTERIORI REGOLE DI DERIVAZIONE

[ + ] = [] + []

Si dimostra:

( + ℎ) − () + ( + ℎ) − () ( + ℎ) − () ( + ℎ) − ()

= + = [] + []

ℎ ℎ ℎ

ℎ→0 ℎ→0

[ ∙ ] = [] ∙ + ∙ []

Si dimostra: ( + ℎ)( + ℎ) − ()()

=

ℎ

ℎ→0

( + ℎ)( + ℎ) − ()( + ℎ) + ()( + ℎ) − ()()

= =

ℎ

ℎ→0

( + ℎ) − () ( + ℎ) − () [] ∙ + ∙ []

= ∙ ( + ℎ) + () ∙ =

ℎ ℎ

ℎ→0 [ ∙ ] = ∙ []

Data che è una costante

[]

[ =

] −

Si dimostra: 1 1

−

1 1 () − ( + ℎ)

( + ℎ) ()

[]

[ ] = = ∙ =

ℎ ℎ ( + ℎ)()

ℎ→0 ℎ→0

−( + ℎ) − () 1 []

= ∙ =− 2

ℎ ( + ℎ)()

ℎ→0 [ ]

∙ − ∙ []

[ =

]

2

Si dimostra: ′ ′

() ()

1 1 1 ()

[] [] [()] []

[ ] = [ ∙ ] = [][] ∙ + ∙ [ ] = + =

2

[()] [()]

()

[] ∙ − ∙ []

= 2

[(())] = [(())] ∙ [()]

Si illustra un’idea di dimostrazione:

(( + ℎ)) − (())

=

ℎ

ℎ→0 :

Le due quantità in blu possono essere interpretate come la variazione di in la funzione

varia di quella differenza e se si moltiplica e divide per l’incremento si ottiene il rapporto

()

incrementale di in (( + ℎ)) − (()) ( + ℎ) − ()

= ∙ = ′(()) ∙ ′()

( + ℎ) − () ℎ

ℎ→0

Si è premesso che si tratta di un’idea di dimostrazione perché si suppone che

( + ℎ) − () ≠ 0

−

[ ()] = , = (),

DERIVATA DELLA FUNZIONE INVERSA ′()

Si dimostra: :

Incrementando −1

+ = ( + ℎ) ↔ + ℎ = ( + )

−1 −1

(

+ ) − () +ℎ− 1 1

= = =

( + ℎ) − ()

( + ℎ) − () ′()

→0 ℎ→0 ℎ→0 ℎ

Esempi

• 2

= √ ↔ = 1 1 1

[√] = = =

2

[ ] 2 2√

•

= log () ↔ = 1 1 1

[log()] = = =

[ ]

• = arcsin () ↔ = sin() 1 1 1 1

[arcsin ()] = = = =

[sin ()] cos () 2

2 √1 −

− ()

√1

1

[arccos ()] = −

Di conseguenza si intuisce che 2

√1−

• 1 1 1

[arctg()] = = =

2 2

[tg ()] 1+ 1+

• −1 (1)

() = + <