Derivate

A

· Si vuole trovare la retta tangente alla funzione in figura 3, nel punto

Fig.3 A:(1;1). Per fare ció, si sostituisce il valore di ascissa nella derivata.

2x f()

f(x) 2

2 1

=

= . =

Il valore ottenuto, ovvero 2, rappresenta il coefficente angolare che

deve avere la retta per tangere la funzione nel punto desiderato.

m(x xt)A(1

2(x 1/y ya 1)

y 2 = -

- ,

- -

=

A 2x 1

y -

=

· Se si vuole trovare l’equazione completa della retta tangente, basta

applicare la formula standard per trovare la retta passante per un punto.

Supponiamo di volere trovare la retta tangente in un altro punto della

funzione, B:(2;4).

f'(z) 4

2 2

= =

.

4(x 2)

y

B u

· -

=

- 4x 4

y -

=

Si é cosí dimostrato come trovare la derivata di una funzione ed il

rispettivo coefficente angolare in un punto con relativa retta tangente.

f(x) x2

=

I punti di una funzione, dove si azzera la derivata, f’= 0,

prendono il nome di punti stazionari. Ció significa che in quei

punti non é presente alcuna variazione.

I punti stazionari sono molto importanti qundo si parla di studio

di funzione per tracciarne il grafico probabile.

Tornando all’ esempio di prima con f(x) = x^2, si puó notare che per

x=0, la retta tangente coincide con l’asse delle ascisse. Procediamo a

dimostrarlo con i calcoli eseguiti in precedenza:

f(x)

f'() 2x 2 0 0

= .

= =

do d

y 0 = -

-

y 0

= Come avviene per lo studio di funzione, il grafico va ricavato, é necessario

quindi trovate i punti stazionari per via analitica; ecco come:

Abbiamo detto che si ha un punto stazionario quando la derivata é

uguale a 0, pongo quindi uguale a 0 la derivata della funzione.

Una volta posta la derivata uguale a 0, si risolve in x

f(x) x2

= e le soluzioni rappresentano i valori di ascissa per i

quali si hanno dei punti stazionari. Una funzione puó

fz) 2x

= avere diversi punti stazionari e per calcolarne la

quota Y, é sufficiente inserire il valore dell’ascissa

2x 0

= nell’equazione primitava o nella sua derivata.

X 0

=

Una funzione primitiva può essere derivata un numero di volte uguale al grado della funzioe +1, se una funzione viene

derivata due volte, le funzioni ottenute prenderanno il nome rispettivamente di derivata prima f’(x) e derivata seconda

f’’(x), e così via.

Esempio: Essendo di grado 4 è stato possibile derivarla 4+1 volte

fizara

fase" fce24a f" "ca

&"Ca

Actiegas 24 o

=

=

-P

-P -P

-P -P

Ci sono diversi modi per scrivere la derivata, tra i più comuni ci sono: Scrivere f’ o usare il differenziale

ha il medesimo significato

Derivata seconda

Primitiva Derivata prima =

f"()

[f(x)]

=

f(x) [f(]

f(x) 2 Differenziale

Regole di derivazione:

Al fine di derivare una funzione, non si puó sempre ricorrere al metodo del rapporto incrementale poiché troppo lungo e

laborioso, si utilizzano delle regole di derivazione giá assodate, che possono essere dimostrate con il metoodo prima citato, in

questi appunti non verrá trattata la dimostrazione.

Le principali e piú utili regole di derivazione sono: Goniometriche:

Derivata del prodotto:

[f(x) f(x)]

f(x)

y(x)] Cos[EE]

[sin f)

-g((x)

4 f(x) &

y(x) +

=

. . .

= [-Since()]

f(x)]

[Cos A

D = ·

Derivata del quoziente: E'(x)

[tou f(x]

D =

= Cosf(x)

22/ f(x)

D[cotf(x)] =

Derivata della somma/sottrazione: Sim2[fz)]

- tc)

[orsimf(a)]

[f(x) g(x)) f(x)

& D

: (t)

+ y

+

= = f

1 -

f(x)

g(x))

[f(x) g()

D =

- - E'

f(]

DTors = -

Radice: f

1 -

f(x f /

fi] +

Tortor

f()]

D[ D =

= f[x

1

f(x) +

2

Logaritmica: F

f(x)]

Loret

1) = -

E

DIene] = Con esponenti:

Costante: ef

DICf] fa

D[k] 0 .

=

= d 2

[f(x(]

Si pone attenzione in merito alla derivata di una f

-

f(x

D c , .

-

=

costante; essendo la derivata la velocitá con cui DIKE] KEL

varia la funzione, ed essendo la funzione costante CK f'CAl

= .

.

risulta immediato che la derivata sia 0. 2

(2x

P[kx(j -

=

=

m *

n 0

=

Esercizi basici sulla derivazione: (ne viene illustrato uno per tipo dei casi prima citati con le forule generali)

La loro comprensione è fondamentale per quelli maggiormente complicati che seguiranno

x ]

D[u

·

S

[Gx] 16x3

= ·

D[kx] x

2

RayC 16x3

- 4 4 .

= .

= =

D[e3x]

[e3 6xe3x2

+ ) = ef

DICf] fa .

= b 23x

6x .

13]

D[(3x +

-S

[(3X 1)3] 1)

3(3x

+ +

= d 2

[f(x(] f

-

f(x

D c , .

-

= ↳ D[3x 13 3 +

+ 0

=

13 2

-

(3x

3 3

+

.

= .

1)2

3(3x +

=

D[35]

3722xen(3)

23

[3 + = DIKE] KEL CK f'CAl

= .

.

?

37 37

((3) 2xh(3)

2x .

= =

.

D[

2]

+

[2] +

= A 6x + o

-

>

f]

DI = f(x)

2 #X 3x

=

= 5 +

2

+ 2

71]

[en (7 x2

D +

14x

[hu 7)]

(7 x + = E -14x 0

+

DIene]

7 7

+ = 14x

= 2

7 7

x +

D[sim3x]

[Sin 3x] 3053x

= f(x)] Cos[EE]

[sin f)

& .

= l S

.

3 3x

=

D[(S3x2]

[6] LasiM3x

-

= [-Since()]

f(x)]

[Cos A

D = · 3x]

[-Sir

18x

= .

[ton3x]

D

[ton 9

3x] = E'(x)

352(3x) [tou f(x]

D = Cosf(x)

3

= Gs2(3x)

D[ctxz]

# [Cot ] 2x

= = f(x)

D[cotf(x)]

Sinz(x2)

- = Sim2[fzl]

- 2x

= -Sirz (x2)

D[orcsim X3]

s

[osine =3y = Ac

D[orsimfla] = f

1 - 372

3x2

Ven

= Nes

D[orkos 19x]

I 19

13x]

Jorcos = - E'

#351x2 D[orsf(] = - f

1 -

19 19

Sex

- -

Torton 4x]

D

[octor 8x

4 xy = f

15x

1 + /

fi] +

Tortor

D = f[x

1 +

8x 8x

- = 15x

1 +

44722

1 +

Gx]

[orct

&

[ocot 6

5x] = - f(x)

1 3572 f(x]

+ Loret

6) = - f[x

1 + 6

S

- - - -

(6x)2 1 3572

+

1 +

DT 3x]

X3

[3] Se

= - =

22/ 4))3x2)

6x(x3) (3x2

f(x) +

f(x) -

3x2 6x o

4 +

+ =

= = 2

2x3 /

3'(7)

X3 3x

g(x) = = 12 x3]

[9x

6x4 +

-

- S

6x" 3x" 12x

- -

= XS 2

3x4 12 =

+

- - XS

(3x2

* 12)

+

- - XX4

3x2 12

+

= - X4

[s3x SiM3X3] 353x227x2

EXSiM3x2 SiMgX 633x3

+

- . .

=

Analizziamola passo passo:

Si tratta della derivata di un prodotto f(x f(x) g(x)

g(x) +

. .

-

-

e 2

Analizziamo la prima parte:

f(x) g(x)

- [-Simf(t)]

[cs f'()

fi)] [-Sin3x]

6x

& .

= .

=

Moltiplichiamo per g(x) che rimane invariato 3x2]

[-Sir 3x3

6x Sin

. -

Analizziamo la seconda parte: -

f(x) S'()

. Le formule generali scritte precedentemente sono tutte scritte in riferimento ad

f(x), ciò sta ad indicare una generica funzione. In questo caso uso g(x) poichè se

Dising( g(x)

)] (sg(x)

= .

= usassi f(x) sembrerebbe mi stia riferendo alla prima parte già derivata.

27x265973

=

Moltiplichiamo per la prima parte f(x) che rimane invariata ed otteniamo: 27x2 LS3x3

3x2

Cos .

Sommiamo adesso come indicato nella formula iniziale la prima e la seconda parte

f(x f(x) g(x)

g(x) +

. .

I 11

·

3x2]

[-Sir 27x2 LS3x3

3x3 3x2

Cos

6x Sin

-

. .

Porto fuori il - ed ottengo: 27x

GxsiM SiMgX 3x3

3x2. 3x2. GS

Cos

+

- .

Punti di non derivabilità:

Come detto in precedenza non tutte le funzioni sono sempre derivabili. Esistono dei punti nel dominio di una funzione nei

quali la funzione in esame non può essere derivata; prendono il nome di punti di non derivabilità e ce ne sono di diversi tipi:

& 42x48

SE

2x 8

-

f(x) = 82x12

2x 24 Se

+

-

Prendiamo in esame la funzione rappresentata

in figura, ovvero una funzione definita a

tratti, continua da 4 a 12 e calcoliamo la

derivata di entrambe.

[2x-83 2 4x8

se

=

24]

[ 84x12

2 se

-2x + -

=

Graficamente emerge una criticità nell’analizare il

punto x=8, ciò perchè come si può comprendere dal

grafico, tendendo al valore x=8, la derivata assumere

valori discordi.

⑳ Ciò lo si può dimostrare attraverso i limiti:

Xo Cmz

Cu fct) 2

=

X DXy- X +8 -

- -

E Cm 2

2 -

- =

+

8

X -

Portando al limite 8- ed 8+ le funzioni delle rispettive derivate, si nota, che nel punto x=8 la derivata assume due

valori, il che non è possibile, pertanto x=8 è un punto di non derivabilità

Se la funzione fosse stata non continua in x=8, a maggior ragione sarebbe stato un punto di non derivabilità, poichè come

detto, la condizione fondamentale per cui una funzione sia in un punto derivabile è che in quel punto esista, quindi che

sia continua.

& 42x48

SE

2x 8

- In x=8 non è continua quindi x=8 è un punto di non derivabilità

f(x) - 84x12

2x 24 SE

+

- ♾ ♾

Distinzioni tra i punti di non derivabilità:

Il modo migliore per determinare se un punto è non derivabile e che tipo di punto sia, è osservare il

comportamento della derivata negli inotrni sinistro e destro del punto. Vediamo meglio:

1) Punto angoloso:

Ha origine quando:

• i limiti parziali del punto sono due valori finiti discordi

• uno è un valore finito e l’altro infinito. xot

♾ ♾

to

f

Un esempio è la funzione continua a tratti prima vista

1) Punto di cuspide:

Ha origine quando:

• i limiti parziali del punto tendono uno a + e l’altro a - . Verso l’alto

Si differenziano in:

• Cuspide verso l’alto quando l’intorno sinistro tende

a - e quello destro a +

m = f(x) +o

=

Funzione rappresentata nel grafico: E

fi =

Verso il basso &