Derivate (Parte 3): teoria ed esercizi

Teorema (valore medio)

Teorema di Rolle

f : [a, b] → R continua in [a, b] e deriv. in ]a, b[

Supp. f(a) = f(b)

Allora ∃ c∈ ]a, b[ : f'_c = 0

1. M = max f[a, b]

2. m = min f[a, b]

Abbiamo 3 possibilità:

1. f(a) = f(b) ⇒ f ≠ costante ⇒ f'(c) = 0 ∀ c ∈ ]a, b[

2. NB: Questo teorema vale solo se la funzione assume lo stesso valore agli estremi dell'intervallo.

Teorema del valore medio di Lagrange

f : [a, b] → R continua in [a, b] e deriv. in ]a, b[

Allora ∃ c∈ ]a, b[ : f'(c) =

f(b) - f(a)b - a

• Significato geometrico
• c ∈ ]a, b[

2) Se f(a) = f(b) ⟹ ∃ c ∈ ]a, b[: f'(c) = 0

Dimostrazione

Consideriamo g : [a, b] → ℝ continua in [a, b] e derivabile ]a, b[

g(x) = f(x) - f(a) - _{f(b) - f(a)}/^b-a (x-a)

g(a) = 0 g(b) = 0 ⟹ assume lo stesso valore agli estremi

T. di Rolle

⟹ ∃ c ∈ ]a, b[: g'(c) = 0 ora g'(x) = f'(x) - _{f(b) - f(a)}/^b-a

g'(c) = f'(c) - _{f(b) - f(a)}/^b-a = 0 ⟹ f'(c) = _{f(b) - f(a)}/^b-a

Oss.: il T. di Lagrange permette di dimostrare il test di monotonia

cioè f : I → ℝ intervallo f continua in I e f derivabile

se ∀x ∈ I ∈ inf I, sup I - intorno di I

Se f'(x) ≥ 0 ∀x ∈ Intorno di I ⟹ f ↗ in I

Dim:

(TH) ∀x₁, x₂ ∈ I x₁ < x₂ ⟹ f(x₁) ≤ f(x₂)

Considero [x₁, x₂] ⊆ I f : [x₁, x₂] → ℝ è continua in [x₁, x₂] e derivabile ]x₁, x₂[

∃ c ∈ ]x₁, x₂[: f'(c) = _{f(x2) - f(x1)}/^{x₂ - x₁}

f'(c) = _{f(x2) - f(x1)}/^{x₂ - x₁} ≥ 0

per Hp. ⟹ f(x₂) - f(x₁) ≥ 0 ⟹ f(x₂) ≥ f(x₁) - Tesi!

TEOREMA DI LAGRANGE

f(x)=x·e^x·sgn(x-1)

f''(x)=(f')'(x)=costante

= sgn(x-1)(e^x + xe^x)

= sgn(x-1)(e^x(1+x))

sgn(x-1) = { 1 x>1

-1 x<1

^d/_dx sgn(x-1) = 0

Studio il segno di f''

sgn(x-1) - | | | + | | | |

1+x + | | | | | + | + |

- | | | + |

^⠀-^⠀⠀+^⠀

f convessa in ]-∞,-1]

concava in ]-1,1[

convessa in [1,+∞[

Formula di Taylor "dal puntale al locale"

Formula di Taylor del 1 ordine ≡ defin di derivabilità con l'op.picolo

f: I → ℝ I intervallo

f è derivabile in x₀ ↔ f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + o(x-x₀)

per x → x₀

f(x) - f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) = o(x-x₀)

I^u.s.t di Peano

errore che si

commette sfruttando

dalla fun^m la ret.ta

tangente

Formula di Taylor di ordine n con il resto di Peano

f: I → ℝ I intervallo x₀∈ℐ n∈ℕ{0}

Supponiamo che f sia derivabile n volte in x₀

⇒ f(x) = f(x₀) + f'(x₀)(x-x₀) + f''(x₀)(x-x₀)²/2!

+ f'''(x₀)(x-x₀)³/3! + ... +

f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n! + o((x-x₀)ⁿ)

ogni c e.c.f.m

per x → x₀

Asintoti

Verticale

f: I ∖ {x₀} → ℝ

x = x₀ è asintoto verticale quando

lim_{x → x0⁺} f(x) = ±∞

lim_{x → x0^-} f(x) = ±∞

D

Orizzontale

y = y₀

Quando ∃ lim_{x → ±∞} f(x) = y₀

Obliqui

y = mx + q

f: [M, +∞[ → ℝ

y = mx + q è asintoto obliquo se:

lim_{x → ±∞} [f(x) - (mx + q)] = 0

f(x) = (mx + q) + o(1) x → ±∞

m = lim_{x → ±∞} f(x) / x

q = lim_{x → ±∞} [f(x) - mx]

se m non reale lo è anche q

ESERCIZI

DOMINIO:

• D = ℝ \ {x ≠ 5}
• ²⁄_(x-5) > 0, log |²⁄_(x-5)| ≥ 0
• ²⁄_(x-5) ≠ 1

• |x-5| ≤ 2

• -2 ≤ x-5 ≤ 2 ⟹ 3 ≤ x ≤ 7
• D = [3, 7] \ {5}

ASINTOTI

x=5 è asintoto obliquo?

• lim f(x) - ∞x → 5
• x = 5 ⟺ asintoto verticale per x→5

MONOTONIA

• Se log |²⁄_(x-5)| ≠ 0 cioè x ≠ 3, 7 ⟹ f'(x) =
• f'(x) = 2√log|²⁄_(x-5)| ¹⁄_log |²⁄_(x-5)| sgn (²⁄_(x-5)) - ²⁄_(x-5)²

• Devo studiare segno della derivata 1^a
• f'(x) > 0 ⟹ sgn (²⁄_(x-5)) ≤ 0

• sgn (²⁄_(x-5)) {> 0 ⟹ x-5 > 0, < 0 ⟹ x-5 < 0}