Controlli Automatici - Trasformata di Laplace

Trasformata e antitrasformata di Laplace

Le trasformate e le antitrasformate di Laplace sono strumenti matematici cruciali nei sistemi di analisi del dominio del tempo. Passare dal dominio del tempo a quello delle frequenze attraverso la trasformata di Laplace significa trovare una rappresentazione diversa che contiene le stesse informazioni ma facilita lo studio di determinati fenomeni.

Funzione reale e complessa

Sia data una funzione reale o complessa f(t). Se esiste almeno un valore s per cui la trasformata di f(t) esiste, si dice che F(s) è la trasformata di f(t). Essa fornisce una rappresentazione biunivoca della funzione nell'altro dominio.

L'operatore di trasformata di Laplace è indicato con L. Alcune proprietà che due funzioni possiedono sono:

Linearità

Se due funzioni f(t) e g(t) risultano lineari, la trasformata di Laplace è applicabile a qualsiasi combinazione lineare di queste funzioni.

Traslazione nel tempo

Considerando una funzione traslata nel tempo, la trasformata di Laplace permette di ottenere la funzione nel dominio del tempo prima di una trasformazione temporale.

Derivazione nel tempo

Se f(t) è derivabile e dotata di una derivata, la trasformata di Laplace della derivata di f(t) nel dominio del tempo offre una rappresentazione utile per ulteriori analisi.

Integrazione nel tempo

Una funzione integrabile, quando viene trasformata, si dice essere un integratore. La trasformata di Laplace dell'integrale di una funzione fornisce uno strumento aggiuntivo per studiarne il comportamento.