Controlli Automatici - Trasformata di Laplace

Trasformata di Laplace e Antitrasformata

La trasformata di Laplace è una tecnica utilizzata per passare dal dominio del tempo al dominio della frequenza. Questo significa trovare una nuova rappresentazione di una funzione che contiene tutte le stesse informazioni, ma che facilita l'analisi e lo studio di determinati fenomeni.

Se una funzione nel dominio del tempo è data da una variabile reale o complessa, la sua trasformata di Laplace esiste almeno per qualche valore di s. La trasformata di Laplace è un operatore biunivoco, quindi è possibile ottenere la funzione nel dominio del tempo a partire dalla sua trasformata di Laplace.

Alcune proprietà della trasformata di Laplace sono:

• Linearità: se f1(t) e f2(t) sono due funzioni nel dominio del tempo e c1 e c2 sono due costanti, allora la trasformata di Laplace di c1*f1(t) + c2*f2(t) è c1*F1(s) + c2*F2(s).
• Traslazione nel tempo: se f(t) è una funzione nel dominio del tempo e f(t - a) è la funzione ottenuta traslando f(t) di a unità di tempo in avanti, allora la trasformata di Laplace di f(t - a) è e^(-as)*F(s).
• Derivazione nel tempo: se f(t) è una funzione nel dominio del tempo e f'(t) è la sua derivata rispetto al tempo, allora la trasformata di Laplace di f'(t) è s*F(s) - f(0), dove f(0) è il valore di f(t) al tempo t=0.

Una funzione f è dotata di derivata se è derivabile almeno per ogni punto del suo dominio. Se f è derivabile, allora la sua derivata f' è definita per ogni punto del dominio.

Se supponiamo che f sia integrabile nel tempo, allora la sua primitiva F è definita per ogni punto del dominio.

Quindi, se f è derivabile e integrabile, allora sia f che F sono definite per ogni punto del dominio.

Infine, se supponiamo che f sia integrabile nell'intervallo [0, 2], allora la sua primitiva F è detta integratore nel dominio [0, 2].