Controlli automatici

Controlli Automatici

Che cos'è il Controllo Automatico?

Introduzione all’Analisi di un Sistema Dinamico

∑

Dato un Sistema abbiamo il Modello Dinamico cioè di un equazione differenziale di ordine n lineare o non lineare, del

(n) (n−1) (p)

= (y, , , ..., , , , ..., )

tipo (← in forma normale)

y F ẏ ÿ y u, u̇ ü u

Dal Modello Dinamico possiamo ricavarci la Forma di Stato

= + → equazione dinamica della forma di stato

ẋ Ax Bu

= + → equazione di uscita del sistema

y Cx Du

= + è un sistema di equazioni differenziali di primo ordine, di cui è facile trovare la soluzione che

ẋ Ax Bu n x(t)

= +

sostituita al secondo sistema si ricava l’uscita .

y Cx Du y(t)

La soluzione del primo sistema è:

t

∫ −At

= +

At At

x(t) e x e e Bu(τ)dτ

0 0

La prima parte è la Soluzione Libera (Omogenea) e la seconda parte è la Soluzione Forzata (Particolare). Allora l’uscita è:

t

∫ −Aτ

= + +

At At

y(t) Ce x Ce e Bu(τ)dτ Du(t)

0 0

La prima è la Risposta Libera e la seconda è la Risposta Forzata. Si noti che la risposta libera non dipende dall'ingresso ma

solo dallo stato iniziale.

= (t) + (t) ← principio di sovrapposizione

y(t) y y

Libera F orzata

Forma di Stato

Partendo dall’equazione normale lineare di grado che descrive il sistema, vogliamo ricavare un modello dinamico più

n

semplice da analizzare, questo modello è la forma di stato:

{ = + (equazione dinamica della forma di stato)

ẋ Ax Bu

= + (equazione di uscita del sistema)

y Cx Du

Controlli Automatici 1

oppure

{ (t) =

ẋ f(t, x(t), u(t))

=

y(t) h(t, x(t), u(t))

è il vettore di stato o stato del sistema

x è la matrice dinamica

A è la matrice di ingresso

B

è il vettore di uscita del sistema

y è la matrice di uscita

C è la matrice diretta

D

Causalità

Dato un sistema: , , , ..., ≤

se dipende dalle C.I. : con allora si dice Causale (o Proprio)

y(t) y ẏ ÿ u(τ) τ t

0 0 0

<

se si dice Strettamente Causale

τ t

altrimenti si dice Anti-Causale

Quindi un sistema si dice causale se l'uscita dipende dall'uscita nell'istante corrente e dagli istanti precedenti ma non da quelli

futuri (principio causa-effetto).

E quindi in un sistema strettamente causale l'ingresso influenza l'uscita solo negli istanti precedenti a quello corrente.

p

n−1

⇒ ∑ ∑

(i) (j)

(n) + − = 0

Nei sistemi lineari y a y b u

i j

i=0 j=0

≥

se il sistema è causale

n p

>

se il sistema è strettamente causale

n p

Linearizzazione Approssimata

Dato un sistema dinamico non lineare:

(t) =

ẋ f(t, x(t), u(t))

=

y(t) h(t, x(t), u(t))

Individuo la coppia di equilibrio:

( ˉ , ˉ )∣x(t, ˉ , ˉ ) = ˉ , ∀t → vale anche per tutte le derivate

x u x u x

⇒

ˉ˙ = 0 ˉ , ˉ ) = 0

x f(

x u

Trasferire lo stato di equilibrio nell'origine, quindi definisco le variabili traslate:

= − ˉ = ˉ +

→

δx x x x x δx

= − ˉ = ˉ +

→

δu u u u u δu

Riscrivo il modello dinamico in funzione delle variabili traslate:

ˉ˙ ∗

= − = ˉ + ˉ + = (δx,

δ ẋ ẋ x f(

x δx, u δu) f δu)

con l'equilibrio nell'origine nel nuovo sistema di riferimento nelle variabili traslate.

Linearizzo la funzione con lo sviluppo in serie di Taylor attorno ai punti di equilibrio

Controlli Automatici 2

∣ ∣

∗ ∗

∂f ∂f

∗ 2 2

= (0, 0) + + + ∣∣, ∣∣δu ∣∣)

δ ẋ f δx δu O(∣∣δx

∂x ∂u

∣ ∣

δx=0,δu=0 δx=0,δu=0

∣ ∣

∗ ∗

∂f ∂f

= =

quindi chiamo e e approssimando i termini di ordine superiore a zero

A B

∂x ∂u

∣ ∣

δx=0,δu=0 δx=0,δu=0

e sapendo che la funzione all'equilibrio è nulla ottengo

= +

δ ẋ Aδx Bδu

Soluzione Esplicita di un Modello Dinamico Lineare

La soluzione di un modello dinamico lineare può essere scritta come sovrapposizione della soluzione libera e di quella

forzata: t

∫ )

A(t−τ

= +

At

x(t) e x e Bu(τ)dτ

0 0

Vedi dimostrazione negli appunti.

A questo punto possiamo studiare la risposta libera.

At

Come si calcola ? Analisi Soluzione Libera

e

= , , ...,

Data e calcolati autovalori di , possiamo calcolare la soluzione nei seguenti modi:

ẋ Ax λ λ λ A x(t)

1 2 k

R

∈ , diagonalizzabile

λ A

i

Date le seguenti proprietà:

= =

A λ

→

Av λv e v e v

∞ k k

A t

∑

=

At

e k!

k=0

∗ −1 ∗

=

A A allora e sono matrici simili

e T e T A A ) = )

è diagonalizzabile, se e solo se

A m.a.(λ m.g.(λ

i i

= = At At

Quindi se data la forma di stato con soluzione , come si calcola la matrice ?

ẋ Ax x(t) e x e

0

−1

= ΛT

Se è diagonalizzabile, allora con

A A T

⎛ ⎞

0 … 0

λ

0

0 … 0

λ

1

Λ= ⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⎝ ⎠

0 0 … λ

n ⎛ ⎞

0 … 0

λ t

e 0

0 … 0

λ t

e 1

Λt −1 −1

= =

At

allora e T e T T T

⋮ ⋮ ⋱ ⋮

⎝ ⎠

0 0 … λ t

e n

⎛ ⎞

= … , , ...,

⎝ ⎠ dove sono gli autovettori relativi a gli autovalori . è invertibile perché

T v v v v v v λ T

1 2 1 2

n n i

sono linearmente indipendenti.

v

i Λt −1

= = ,

riscrivibile come

x(t) T e T x x(t) M(x A)m(t)

0 0

λ

Controlli Automatici 3

⎛ ⎞

λ

e 0

λ

e 1

=

dove il vettore dei modi è .

m(t) ⋮

⎝ ⎠

λ

e n

C

∈ , diagonalizzabile

λ A

i = + → autovalori di complessi coniugati

λ σ jω A

i i i

∗ = −

λ σ jω

i i

i = + → autovettori di complessi coniugati

v q jq A

1 r i

= −

v q jq

2 r i

⎛ ⎞ + 0

( )

σ jω −1

= =

⎝ ⎠

T v v A T T

1 2 0 −

σ jω

⎛ ⎞

1

1 1

j

= = =

(q ) (v )

Q q v TE

1 2

r i 1

⎝ ⎠ 2

1 − j

⎛ ⎞

1

1

1 j

=

E 1

⎝ ⎠

2 1 − j

A questo punto voglio scrivere la matrice in funzione della matrice , e dopo qualche passaggio algebrico ottengo:

A Q

( )

σ ω

∗ −1 ∗ −1

= Λ = ΛE =

dove (Matrice Circolare) Reale!

A QΛ Q E −ω σ

Dopo qualche calcolo ottengo:

( )

cos(ωt) sin(ωt)

∗

Λ −1 −1

= =

At σt

e Qe Q Qe Q

−sin(ωt) cos(ωt)

( )

cos(ωt) sin(ωt) −1

= = ,

σt

x(t) Qe Q x M(x A)m(t)

0 0

−sin(ωt) cos(ωt)

σt

( )

e cos(ωt)

=

m(t) σt

e sin(ωt)

R

∈ , difettiva

λ A

i

Si ottiene attraverso la forma di Jordan...

C

∈ , difettiva

λ A

i

Si ottiene attraverso la forma di Jordan Reale...

Analisi Modale e Comportamento Asintotico

= = = ,

At

→

ẋ Ax x(t) e x M(x A)m(t)

0 0

, , ..., autovalori di

λ λ λ A

1 2 k R

∈

λ t

Esponenziali semplici → , diagonalizzabile

e λ A

i i

< 0 ∀i

1. Convergenza a zero: λ

i = 0 < 0 ∀i

2. Costante: almeno un e gli altri

λ λ

j i

Controlli Automatici 4

> 0

3. Divergente esponenzialmente: almeno un λ

j C

∈

σ t σ t

Esponenziali oscillanti o → , diagonalizzabile

e cos(ωt) e sin(ωt) λ A

i i i

<0

1. Convergenza a zero: σ =0

2. Limitato ma non convergenti: σ >0

3. Divergente esponenzialmente: σ R

= 0, ..., − ∈

k λ t

Esponenziali polinomiali → , difettiva

t e k q i λ A

i i i

< 0 ∀i

1. Convergenza a zero: λ

i = 0 > 0 < 0 ∀i

2. Divergenza polinomiale: almeno un e e gli altri

λ k λ

j i

> 0

3. Divergenza esponenziale: almeno un λ

j C

= 0, ..., − ∈

k σ t k σ t

Esponenziali polinomiali oscillanti o → , difettiva

t e cos(ωt) t e sin(ωt) k q i λ A

i i i i

<0

1. Convergenza a zero: σ =0 >0

2. Divergenza polinomiale: σ k

>0

3. Divergente esponenziale: σ

Stabilità At

= =

→

ẋ Ax x(t) e x

0

R

∀x ∈ )

Un sistema è stabile se “non troppo lontano dall’origine”, si ha che la soluzione “non si allontana

x(t, x

0 0

troppo dall’origine”. In matematichese:

∀x : ∥x ∥ < ⇒ ∥x(t, )∥ < ∀t

δ x ϵ

0 0 0 R

∀x ∈ )

Un sistema è attrattivo se “non troppo lontano dall’origine”, si ha che la soluzione converge

x(t, x

0 0

nell’origine. ′

∀x : ∥x ∥ < ⇒ lim ∥x(t, )∥ = 0

δ x

0 0 0

t→∞

Se un sistema è stabile e attrattivo allora è asintoticamente stabile (A.S.).

Altrimenti è instabile.

Σ è A.S. se tutti gli autovalori sono a parte reale negativa.

Σ =

è Stabile se almeno un autovalore giace nell’asse immaginario e la , mentre tutti gli altri sono a parte

m.a. m.g.

reale negativa.

Σ è attrattivo mai nei sistemi lineari

Σ è instabile se:

∃ >

1. almeno un autovalore puramente immaginario con m.a. m.g.

∃

2. almeno un autovalore con parte reale positiva.

Se il sistema è del secondo ordine si può utilizzare il criterio di Cartesio nel polinomio caratteristico della matrice dinamica

per stabilire la posizione degli autovalori e quindi della stabilità del sistema.

Criterio di Cartesio: Se ho un polinomio del secondo ordine, esso avrà tante soluzioni nel semipiano aperto sinistro quante

sono le permanenze tra i coefficienti consecutivi.

2 + +

Quindi ad esempio il polinomio ha due soluzioni negative se abbiamo due permanenze nei coefficienti, cioè

ax bx c

e hanno lo stesso segno (prima permanenza) e anche e hanno lo stesso segno (seconda permanenza).

a b b c

Controlli Automatici 5

Analisi e Controllo della Risposta Forzata di un Sistema

t

∫ )

A(t−τ

= +

At

x(t) e x e Bu(τ)dτ

0 0 t

∫ )

A(t−τ

= + +

At → Dominio del tempo

y(t) Ce x C e Bu(τ)dτ Du(t)

0 0

Trasformata di Laplace

+∞

∫ −st C

→ (s) = = < +∞ ∈

L[f(t)](s) → Dominio di Laplace

f(t) F f(t)e dt s

0

La trasformata di Laplace esiste se la funzione converge in quell’integrale e in tal caso si dice che appartiene alla classe

f(t)

classe L

di funzioni di Laplace . 0

classe

Una funzione di è una funzione di (generalmente continua) e di classe esponenziale .

ClasseL C α

(s)

Inoltre per far sì che la funzione sia convergente

F

bisogna definire un range di valori per la variabile

complessa . In particolare deve trovarsi a destra della

s

cosiddetta ascissa di convergenza sul piano complesso,

s

0

> }

Re{s} Re{s

ovvero che .

0

Funzione di Heaviside (o funzione gradino o step function)

{

1 ≥0

t

=

H(t) 0 <0

t

∞ 1

∫ −st

= =

L[H(t)] H(t)e dt s

0

La trasformata di Laplace unilatera trasforma la funzione solo nel dominio

[0; +∞]

temporale , quindi qualsiasi funzione moltiplicata per è

f(t) H(t)

definita per questo intervallo di valori di .

t

Funzioni Esponenziali 1

= → = se >

λt λt

L[e Re{s}

f(t) e H(t) H(t)] λ

−

s λ

Funzioni Esponenziali Polinomiali

[ ] 1

k λt k λt

t e t e

= → =

L

f(t) H(t) H(t) (s − k+1

k! k! λ)

1

(k = 1) = =

L[t]

Rampa lineare: →

f(t) t 2

s

1

2

(k = 2) = =

L[t]

Parabola: →

f(t) t 3

s

Controlli Automatici 6

Funzioni Esponenziali Polinomiali Oscillanti

Coseno: k

t

= cos (ωt)H(t)

σt

f(t) e

k!

[ ] 1 (s − + + (s − −

k k+1 k+1

t σ jω) σ jω)

cos (ωt)H(t) =

σt

L e 2 [(s − + − − k+1

k! σ jω)(s σ jω)]

−

s σ

= 0 [ cos (ωt)H(t)

] =

σt

L

:

k e 2 2

(s − +

σ) ω

s

= 0 e = 0 [

cos (ωt)H(t)

] =

L

:

k σ 2 2

+

s ω

Seno: k

t

= sin (ωt)H(t)

σt

f(t) e

k!

[ ] 1 (s − + − (s − −

k k+1 k+1

t σ jω) σ jω)

sin (ωt)H(t) =

σt

L e 2j [(s − + − − k+1

k! σ jω)(s σ jω)]

ω

= 0 [ sin (ωt)H(t)

] =

σt

L

:

k e 2 2

(s − +

σ) ω

ω

= 0 e = 0 [

sin (ωt)H(t)

] =

L

:

k σ +

2 2

s ω

Delta di Dirac δ(t)

+∞

∫ = 1

δ(t)dt

−∞ − − Δ)

H(t) H(t

:= lim = (t)

δ(t) Ḣ

Δ

Δ→0

Proprietà di campionamento:

+∞

∫ − =

f(t)δ(t τ)dt f(τ)

−∞ +∞

∫ =

Quindi il caso banale è f(t)δ(t)dt f(0)

−∞

Unitarietà rispetto al prodotto di Convoluzione:

+∞

∫

∗ = − =

f(t) δ(t) f(t τ)δ(τ)dτ f(τ)

−∞

Quindi si può dire che la delta di Dirac è l’elemento neutro rispetto al prodotto di convoluzione.

Quindi ad esempio vale che

+ ∗ = ∗ + ∗ = ( + ) ∗

f(t) g(t) δ(t) f(t) δ(t) g(t) δ(t) f(t) g(t) δ(t)

Proprietà della Trasformata di Laplace

=1

L[δ(t)]

1. Trasformata della Delta di Dirac:

+ = + = (s) +

L[αf(t)

2. Linearità: βg(t)] αL[f(t)] βL[g(t)] αF βG(s)

−sτ −sτ

− = = (s)

L[f(t L[f(t)]

3. Traslazione nel tempo: τ)] e e F

Questa proprietà si può applicare ai sistemi in cui si ha un ritardo nel segnale d’ingresso, questa proprietà ci suggerisce

Controlli Automatici 7

che non c’è bisogno di ricalcolare la trasformata di Laplace del segnale ritardato, ma basta moltiplicare la trasformata

−sτ

del segnale non ritardato per la quantità dove è proprio il ritardo.

e τ

∗ = ⋅ = (s)G(s)

L[f(t) L[f(t)