Controlli automatici

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L Lf(t) L 0 (s − )kp ii=1 k=ih n ki α t∑ ∑ ik p t= + iα δ(t) e H(t)0 (k − 1)!i=1 k=i ∗e ±Se abbiamo poli e di questi sono complessi coniugati saranno della forma . Allora si ha:n q p p σ jωi i iih−q n h nk ki iα t β t∑ ∑ ∑ ∑ik ikp t σ t= + + sin(ω + )H(t)f(t) α δ(t) e H(t) e t ϕi i0 i i(k − 1)! (k − 1)!i=1 k=i i=q k=iQuindi i nostri segnali avranno questa forma.

Funzione di Trasferimento
Partendo dalla equazione differenziale in forma normale di grado lineare che descrive il sistema vogliamo ricavarci unnmodello dinamico con gli strumenti che abbiamo ora.pn−1∑ ∑(i) (j)(n) = − +y a y b ui ji=0 j=0Un modello alternativo alla forma di stato è la funzione di trasferimento e la otteniamo trasformando in Laplace l’equazioneprecedente. n−1∑ (l)(n) n−1−l] = (s) −nL[y s Y s y0l=0[ ] ( )n−1

n−1 n−1 i−1∑ ∑ ∑ ∑ (l)(i) i i−1−l− = − (s) +L a y a s Y s a yi i i 0i=0 i=0 i=0 l=0p p p j−1[ ] ( )∑ ∑ ∑ ∑ (l)(j) j j−1−l− = −L b u b s U(s) s b u0j j jj=0 j=0 j=0 l=0

Definisco un nuovo polinomio in dei nuovi coefficienti nel seguente modo:

γ p j−1n−1 n−1 n−1 i−1∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑(l) (l) (l)h n−1−l i−1−l j−1−l= + −γ s s y s a y s b u0 0 0h i jh=0 l=0 i=0 l=0 j=0 l=0(s)

Combinando tutto e isolando la ottengo:

YControlli Automatici 9⎡ ⎤⎡ ⎤ pn−1 ∑∑ jh b sγ s jh j=0h=0(s) = +Y U(s)n−1 n−1∑ ∑⎣ ⎦ ⎣ ⎦i ia s a si ii=0 i=0(s) = (s) + (s)Y Y YLIBERA FORZ AT ALa risposta libera è quella non dipende dall’ingresso ma dalle sole condizioni iniziali, mentre la risposta forzata dipende solodall’ingresso.Il rapporto tra la

trasformata dell'uscita forzata e la trasformata dell'ingresso è una funzione complessa di variabile che dipende dai soli coefficienti e che contiene le informazioni riguardo la relazione tra l'ingresso e l'uscita del sistema, a bi jla cosiddetta funzione di trasferimento. G(s)(s)YFORZ AT A=G(s) U(s)p[ ]j∑ b sjj=0=G(s) n−1∑ ia sii=0 (s) = (s)Se le condizioni iniziali sono nulle, quindiY YFORZ AT A(s) ⇒Y= (s) =G(s) Y G(s)U(s)U(s)Se abbiamo più ingressi e più usciti non avremo un polinomio ma una matrice, la matrice di trasferimento:⎛ ⎞(s) (s) … (s)G G G11 12 1m=G(s) ⋮ ⋮ ⋱ ⋮⎝ ⎠(s) (s) … (s)G G Gn1 n2 nmAltre considerazioni sulla Funzione di TrasferimentoPartendo dalla forma di stato posso arrivare alla funzione di trasferimento nel seguente modo:{ = +ẋ Ax Bu= +y Cx DuFaccio le trasformate di Laplace e ottengo:=L[x(t)]1. X(s)(t)] = − = +L[2. ẋ sX(s) x AX(s) BU(s)0= (s) = +L[y(t)]3.

Y CX(s) DU(s)
Mi ricavo la dalla seconda e ottengo:
X(s) - 1 = (sI - (x +X(s) A) B(U(s))0
Allora adesso sostituisco nella terza e ottengo:
-1 -1(s) = - + (C(sI - +Y C(sI A) x A) B D)U(s)0
Quello che ho ottenuto non è altro che due espressioni alternative per definire la risposta libera e la risposta forzata
(s) = (s) + (s)Y Y Y
LIBERA FORZ AT AFacendo il rapporto tra risposta forzata e ingresso ottengo:
-1 = - + ← Definizione operativa della funzione di trasferimento
G(s) C(sI A) B D
Ricordando anche che tControlli Automatici 10t∫ )A(t-τ= + +Aty(t) Ce x C e Bu(τ)dτ Du(t)0 0
Sfruttando la proprietà della delta di Dirac
= + (Ce + *At Aty(t) Ce x B Dδ(t)) u(t)0
Trasformando secondo Laplace ottengo
(s) = ]x + (CL[e ]B +At AtY CL[e D)U(s)0
E quindi ricavo che -1] = (sI -AtL[e A) =
In condizioni iniziali nulle e con l'ingresso impulsivo si ha
u(t) δ(t)= (t)] = (s)L[y ← definizionematematica della f. di trasferimento
G(s) Yimpulsiva impulsiva
Connessione Parallela(s) = (s)U(s)Y G1 1(s) = (s)U(s)Y G2 2(s) = (s) + (s) = = (G (s) +Y Y Y G(s)U(s)1 2 1(s))U(s)G2 = (s) + (s)G(s) G G1 2 Σ Σ
Avendo le forme di stato dei due sistemi e :1 2{ = +ẋ A x B u1 1= + {y C x D u = +1 1 1 ẇ A x B u2 2= +y C x D u
Dopo qualche calcolo ottengo: 2 2 2−1 −1(s) = (sI − ) + (s) = (sI − ) +G C A B D G C A B D1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
Connessione Serie(s) = (s)U(s)Y G1 1(s) = (s)Y (s) = (s)G (s)U(s)Y G G2 2 1 1 2(s) = (s)Y Y2= (s)G (s)G(s) G1 2 Σ Σ
Anche in questo caso avendo le forme di stato dei due sistemi e :1 2{ {= + = +ẋ A x B u ẇ A x B u1 1 2 2= + = +y C x D u y C x D u1 1 1 2 2 2
Dopo qualche calcolo ottengo:−1 −1(s) = (sI − ) + (s) = (sI − ) +G C A B D G C A B D1 1 1 1 1 2 2 2 2 2
Connessione in Retroazione con Controllore in linea di retroazioneΣL’uscita del primo sistema con una funzione di1^Σtrasferimento viene filtrata dal secondo sistemaG(s) 2Controlli Automatici 11che potrebbe essere il controllore .C(s)Nel caso di un progetto di un controllore voglio che→y(t) r(t) (s)Y(s) =Voglio calcolare la funzione di trasferimento dove la c sta per anello chiusoGC R(s)⎧ (s) =Y G(s)U(s)⎨ = - (s)⎩ U(s) R(s) Y2(s) = (s)Y C(s)Y2 -1(s)(1 +Y G(s)C(s)) G(s)R(s)Quindi la funzione di trasferimento in anello chiuso è:"f.d.t. in anello aperto"G(s)(s) = =GC 1 + 1+"f.d.t. in anello chiuso"G(s)C(s)(s) =Gc → ZERI: Radici del polinomio n(s) o( ) ( )n(s) nel grafico:→ POLI: Radici del polinomio d(s) xd(s)Un sistema è stabile se tutti i poli sono a sinistra del piano complesso,l’obiettivo del controllore è quello di spostare i poli a sinistra rendendo ilsistema stabile. Mentre riguardo gli zeri il controllore non può spostarli.Quindi vediamo come un controllore può spostare i poli e

quindi stabilizzare un sistema.

snc=C(s) k (s)dc n/d ndc= = quindi il sistema è stabile se i poli quindi se radici del polinomioGc 1 + ⋅ /d +n/d kn dd knnc c c c(s) + (s) = 0 siano tutte a parte reale negativa.

d(s)d kn(s)nc c = = 1

Il controllore più semplice è il controllore statico in cui :n(s) d(s)→= (t) =C(s) k y ky(t)2+ = 0d(s) k n(s)

Il luogo delle radici è un luogo geometrico, un insieme di curve, dove si può osservare come varia il sistema al variare del parametro .k

Connessione in Retroazione con Controllore in linea diretta

⎧ (s) =Y G(s)U(s)

⎨ =

⎩ U(s) C(s)E(s)= - (s)E(s) R(s) Y

Controlli Automatici 12

G(s)C(s)(s) =Y R(s)1 + G(s)C(s) "f.d.t. in anello aperto"

G(s)C(s)(s) = =GC 1 + 1+"f.d.t. in anello chiuso"

G(s)C(s)knnc=GC +dd knnc c (s) + (s) = 0

Anche in questo caso i poli sono dati dallo stesso polinomio , ma questa volta cambiano gli d(s)d kn(s)nc czeri.

Che forma ha un nostro controllore?kc= (s) ∣C (0)∣

≥ 1C(s) C 0 0ts: ha il compito di spostare i poli e quindi rendere il sistema stabile

kc :t ha il compito di inseguire il segnale di ingresso che può essere un gradino, una rampa o una parabola, la dipende dal segnale, ad esempio per un gradino basta che sia almeno .t(s)

: ha il compito di controllare il sistema durante il transitorio.

C 0Risposta al Gradino per Sistemi del 1° ordine

Un sistema di dice del 1° ordine se il denominatore della sua funzione di trasferimento è di primo grado e quindi ha solo un polo.

1A= = −G(s) p1 + sτ τ=u(t) H(t) =

Come risponde il sistema? ?y(t)

Esempio:Un’auto di massa viaggia a una velocità min una strada con una forza di attrito ev cv il sistema di spinta dell’auto applica una forza . Con un segnale di ingresso af fforma di gradino voglio sapere come risponde il sistema, in particolare l’uscita .v= −m v̇ f cv Calcolo la forma di stato1c= − +v̇ v fm m ⎛ ⎞c c c ct 1 1−

^- (t^-τ) - −t t t∫= + = + 1−m m m mv(t) e v e H(t)dτ e v e⎝ ⎠0 0m c0⎛ ⎞c1 − t1 − mLa soluzione forzata è . Però adesso calcoliamola pure attraverso la funzione di trasferimento:e⎝ ⎠cControlli Automatici 13(s)V=G(s) (s)F (s) (s)Calcoliamo la facendo la trasformata di Laplace della forma di stato (eq. in forma normale) assumendo che siaV Vla soluzione forzata quindi C.I. sono nulle.1c(s) = − (s) + (s)sV V Fm m1(s) = (s)cV Fm1 + s c1 1 m= = , =cG(s) A τm1+ s c ccAdesso calcoliamo la risposta del sistema conoscendo la sua funzione di trasferimento e il suo ingresso:1[ ]1−1 −1= [