Elementi di Controlli automatici

ANALISI dei SISTEMI

con essa si va a caratterizzare ed a esaminare il comportamento di un sistema dato

il PUNTO di PARTENZA per l'ANALISI è una RAPPRESENTAZIONE IMPLICITA del sistema

1. x(t) = Ax(t) + Bu(t)
2. y(t) = Cx(t) + Du(t)

in cui le dimensioni delle matrici sono tali da permettere il prodotto fra esse

la SOLUZIONE di questa RAPPRESENTAZIONE è data dalla FORMA ESPLICITA

1. x(t) = Φ(t - t₀)x₀ + ∫_t0^tH(t - τ)u(τ)dτ
2. y(t) = Ψ(t - t₀)x₀ + ∫_t0^tW(t - τ)u(τ)dτ

RISPOSTA LIBERA RISPOSTA FORZATA

EVOLUZIONE dello STATO descritta da Φ e H

CALCOLO della RISPOSTA

si va a caratterizzare il sistema in cui Bu(t) non c'è in quanto l'ingresso è nullo

quindi avremo che:

RISPOSTA LIBERA è data dalla soluzione del sistema:

1. x(t) = Ax(t)
2. x(t₀) = x₀

(con u(t)=0)

equivalente a x_e(t) = Φ(t - t₀)x₀

per conoscere questa quantità, si pone la STAZIONARIETA => Σ_∞⁰=0

Φ(t) = Σ A^k t^k / k!

• k=0
• k!

è la MATRICE DINAMICA del SISTEMA

_A in cui questa somma, per definizione è:

Φ(t) = e^At ∀t ∈ R

una volta definito Φ(t), possiamo determinare le altre 3 come:

H(t) = Φ(t)B, Ψ(t) = CΦ(t), W(t) = CΦ(t)B + Dδ(t)

quindi con la CARATTERIZZAZIONE della RISPOSTA LIBERA si va a caratterizzare il contenuto che si ottiene per le sole condizioni iniziali

Sapendo che _{Φ(t) = e^At}, si dice che Φ(t) ammette una RAPPRESENTAZIONE SPETTRALE

dalla quale quindi possiamo studiare al variare del tempo “t” come varia questo termine

NOTI che siamo però, gli autovalori della matrice A ed i relativi autovettori αx e ßx

RAPPRESENTAZIONE SPETTRALE di e^At

è una RAPPRESENTAZIONE SEMPLIFICATA della RISPOSTA LIBERA dello STATO, ed usa gli autovalori e gli autovettori di A a patto che questi siano REALI e DISTINTI

quindi abbiamo che:

e^At = ∑ (i=1 to n) e^λit u_iv_i^T = Φ(t)

dx || sx

è dato dalla SOMMA di N TERMINI, tanti quanti sono gli autovalori di A

da cui avremo:

x_l(t_c) = Φ(t; t₀)e^A(t-t₀) x(t₀) = ∑ (i=1 to n) e^λi(t-t₀) u_iv_i^Tx(t₀)

chiamando con C_i, lo scalare ottenuto dal prodotto fra v_i^Tx(t₀)

cioè: C_i = v_i x(t₀)

la RISPOSTA LIBERA nello STATO è data dalla somma di N termini:

x_l(t_c) = ∑ (i=1 to N) e^λi(t-t₀) C_iu_i i quali prendono il nome di

MODI NATURALI

Aperiodici Pseudoperiodici

Se A è una matrice nxn con n autovalori REALI e DISTINTI, possiamo calcolare, partendo da ognuno di essi, i relativi autovettori dx e ßx tra i quali vale la RELAZIONE

U^-1(û₁, û₂, û₃, ...) = N² = V^T

MODI NATURALI nell'EVOLUZIONE LIBERA

quando la matrice A ha autovalori NON distinti

ovvero:

dati N autovalori ne abbiamo r distinti con r < N che hanno molteplicità

mg_i = λ_i r

si ha che:

RISPOSTA nell'EVOLUZIONE LIBERA dello STATO è:

x_f(t) = ∑_k=1^mg_i (t^k-1 / (k-1)!) e^λ_it (A - λ_iI)^k-1 C_i

e dipende sia dall'esponenziale che da un polinomio

SOLO per autovalori < 0 la risposta converge a 0, per aut. diverge per effetto del polinomio

RISPOSTA FORZATA

è quella risposta che otteniamo dal sistema per l'effetto dell'ingresso che noi forniamo al sistema

x_f(t) = ∫_t0^t H(t-τ)u(τ)dτ = ∫_t0^t φ(t-τ)Bu(τ)dτ

siccome φ è presente anche nelle espressioni di H(t) W(t) Ψ(t) questi modi naturali li vedremo anche nella risposta dello stato e nelle due risposte libere

DOMINIO DEL TEMPO

Φ(t) = e^At = Σ_i=1ⁿ e^λ_itv_iv^T_i

H(t) = Φ(t)B composta da modi naturali e le i-esime colonne sono la somma dei modi eccitabili da uno stato iniziale bi

ψ(t) = CΦ(t)

W(t) = CΦ(t)B + D

{ x(t) = Φ(t)x₀ + ∫_t0^t H(t-τ)u(τ)dτy(t) = Φ(t)x₀ + ∫_t0^t W(t-τ)u(τ)dτ }

DOMINIO DI LAPLACE

Φ(s) = (sI - A)^-1

H(s) = Φ(s)B = (sI - A)^-1B

ψ(s) = CΦ(s) = C(sI - A)^-1

W(s) = CΦ(s)B + D     = C(sI - A)^-1B + D

{ x(s) = Φ(s)x₀ + H(s)u(s)y(s) = ψ(s)x₀ + W(s)u(s) }

N.B. la matrice Φ(s) è una matrice i cui elementi sono funzioni razionali.il denominatore è det(sI - A) e quindi i poli di Φ(s) coincidono con gli autovalori di A.

• i poli di H(s) coincidono con tutti e soli gli autovalori di A relativi ai modi eccitabili con impulsi di ingresso
• i poli di ψ(s) coincidono con tutti e soli gli autovalori di A relativi ai modi osservabili in uscita
• i poli di W(s) coincidono con tutti e soli gli autovalori di A relativi a entrambi i modi
• i poli di H(s), ψ(s), W(s) sono compresi tra gli autovalori della matrice A ma la coincidenza si verifica quando abbiamo la completa eccitabilità con impulsi di ingresso e la completa osservabilità in uscita

dato che al denominatore di ϕ(s) c'è il det(sI-A)

allora il denominatore di Y(s) e W(s) è legato agli autovalori di A econsiderando che per la stabilità ϕ(s) e W(s) devono essere limitatiallora i loro poli devono essere a Re 0 al più =0

SE X_o 0 si parla di stabilità esterna nello stato zeroe ci basterà verificare solo la condizione che riguarda i poli di W(s) perché ϕ(s) viene moltiplicato per X_o che è 0

CRITERIO di ROUTH

consente di stabilire se le radici del polinomio caratteristico sono tutte a Re 0

quindi lo applichiamo se dobbiamo valutare la stabilità esterna senza conoscere il valore dei poli

definizione dato un polinomio di grado N

d(λ) = a_Nλ^N + a_N-1λ^N-1 + ... + a₀le radici del polinomio hanno Re 0se e solo se gli N+1 coef. a₀, a₁ ... a_N hanno tutti lo stesso segno

CONDIZIONE NECESSARIA e SUFFICIENTEaffinché i poli siano Re 0è che gli N+1 elementi della 1a colonna siano 0 0

mediante la TRASFORMAZIONE DI COORDINATE possiamo andare vedere

quando alcuni stati sono raggiungibili o meno nel momento in

cui ci troviamo nella situazione dove la matrice di raggiungibilità

non ha rango massimo.

x̄(t) = A x(t) + B u(t)

y(t) = C x(t) + D u(t)

z = x

z = A z ̅ + B u(t)

y = C z ̅ + D u(t)

questa trasformazione non influisce su W(s) infatti:

W̄(s): = C*(sI - A) + B*D = C(sI - A) + B D = W(s)

nella nuova base {detto di elementi che costituiscono il sottinsieme raggiungibile determino così una}

sottomatrice di A* B* C

COSTRUZIONE di T (sottospazio conditizionale)

si suppone che rango R non sia pieno

T: = {e1, e2, ..., en | en+1, ..., er}

colonne linearmente indipendenti

dati un sottospazio X1⊂Rⁿ

si dice complemento ortogonale di X1 il sottospazio X1