Campi vettoriali e forme differenziali, Analisi matematica II

Campi vettoriali

A aperto di definisce campo vettoriale

Def: F da R³ a R³ F(x,y,z) = (F₁(x,y,z), F₂(x,y,z), F₃(x,y,z))

F: R³ a R continuo

Def: y è una linea di campo se F(y(t)) è parallelo a y'(t)

• F₁(y) = x'
• F₂(y) = λ y' => y' / F₁(x) = z' / F₂(x) = x / t
• F₃(y) = λ z'

Rotore divergenza e gradiente

Gradiente: ▽ = nabla

▽S = (δ_x, δ_y, δ_z)

▽ parte da un campo scalare e costruisce un campo vettoriale

Divergenza:

La divergenza di un campo vettoriale si definisce come:

div ▽ ⋅ F dove F = (F₁, F₂, F₃) = δ_xF₁ + δ_yF₂ + δ_zF₃

Ps:

Un campo con divergenza nulla è detto solenoidale.

Rotore

rot F = ∇ × F = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) × (F₁, F₂, F₃) = | i j k |

| ∂/∂x ∂/∂y ∂/∂z |

| F₁ F₂ F₃ |

calcolo il determinante... = (∂/∂y F₃ - ∂/∂z F₂, ∂/∂z F₁ - ∂/∂x F₃, ∂/∂x F₂ - ∂/∂y F₁)

Def: F si dice irrotazionale se rot F = 0

∃F: A⊂ℝ² → ℝ² rot F = (0,0,0) × F = (∂yF₁ - ∂xF₂) quindi F è

irrotazionale ↔ ∂xF₂ = ∂yF₁

Def: Dato F campo vettoriale, il lavoro di F lungo una

curva γ è dato da

∫(F・T)dx = ∫ϒ F・T ds dove T è il versore tangente

Def: ascissa curva

Def di integrale curvilineo ∫ϒ F・T・|γ'(t)|dt =

= ∫ F・γ(t)・|γ '(t)| dt = ∫ Fγ'(ε) dε

Def: Un campo si dice conservativo se esiste

una funzione V ∈ C¹: F = ∇V

Oss. 2 Se F è conservativo → δF è irrotazionale

Dim: F = ∇ V = (Vx/Vy/Vz) V ∈ C²

rot F = (∂yF₃ - ∂zF₂, ∂zF₁ - ∂xF₃, ∂xF₂ - ∂yF₁) =

-(Vzy-Vyz, Vxz-Vzx, Vyx-Vxy)

₂

δ C²

le derivate miste sono eguali.

L(F₁, y) - L(F₁, y) = 1/h ∫[0 to 1] F₁(x + th, y/z)dt

F₁(x + bh, y/z) = V(x + bh, y/z) - V(x, y/z) / h

0 < b < 2*

Rischiamo del Th di Tonielli

∫[a to c] fₓ(x) dx = F(B) dove B ∈ (0,16)

lim_h→∞ V(x + h, y/z) - V(x, y/z) / h

Teorema: F: A ⊂ R² → R² EC'

Se rotF = 0 e A è semplicemente connesso

=DF è conservativo

A = R²