Campi vettoriali e forme differenziali, Analisi matematica II

Campi Vettoriali

A 3-uple si dice campo vettoriale

Def:

F: R³ → R³ | F((x,y,z) = (F₁(x,y,z), F₂(x,y,z), F₃(x,y,z))

F_i: R³ → R continua

Def:

γ è una linea di campo se F(γ(t)) è parallelo a γ'(t)

F(γ(t)) = λ γ'(t) = (F₁(x), F₂(x), F₃(x))

• F₁(x) = λ x'
• F₂(x) = λ y'
• F₃(x) = λ z'

→ x' / F₁(x) = y' / F₂(x) = z' / F₃(x) = τ

Rotore divergenza e gradiente

Gradiente: ∇ scala

• ∇S = (δ_x, δ_y, δ_z)
• ∇ parte da un campo scalare e costruisce un campo vettoriale

Divergenza

La divergenza di un campo vettoriale e definita come:

:= ∇ ⋅ F dove F = (F₁, F₂, F₃) = δ (Dx, Dy, Dz); (F₁, F₂, F₃) =

∇ = nulla

= δ_xF₁ + δ_yF₂ + δ_zF₃

P.S: un campo con divergenza nulla e letto scalare ed e letto solenoide

CAMPI VETTORIALI

A ogni punto di R³ associo un vettore di R³

Def: F: R³ → R³

F(x,y,z) = (F₁(x,y,z), F₂(x,y,z), F₃(x,y,z))

F_i: R³ → R continua

Def: γ è una linea di campo se F(x(t)) è parallelo a γ'(t)

F(x(ξ)) = λγ'(ξ) ⇒ F₁(x) = λx'

F₂(x) = λy'

F₃(x) = λz'

x' = y' = z' = t

Rotore divergente e gradiente

Gradiente ∇ = nabla

∇S = (∂_xS, ∂_yS, ∂_zS)

∇parte da un campo scalare e costruisce un campo vettoriale

Divergenza

La divergenza di un campo vettoriale è definita come:

∇⋅F

dove F=(F₁, F₂, F₃)

∇_n = nabla

δ_xF₁ + δ_yF₂ + δ_zF₃

Ps: un campo con divergenza nulla è detto solenoidale

Rotore

rot F = ∇ x F = (∂x, ∂y, ∂z) x (F₁, F₂, F₃) =

| i j k |

| ∂x ∂y ∂z |

| F₁ F₂ F₃ |

calcolo il determinante...

= (∂yF₃ - ∂zF₂, ∂zF₁ - ∂xF₃, ∂xF₂ - ∂yF₁)

Def: F si dice irrotazionale ⇔ rot F = 0

se F: A ⊂ R² → R² ⇒ rot F = (0, 0, ∂xF₂ - ∂yF₁) quindi F è

irrotazionale ⇔ ∂xF₂ = ∂yF₁

Def: Dato F campo vettoriale, il lavoro di F lungo una

curva γ è dato da

∫(Fı;x)' = ∫γ F₁ · T ds dove T è il versore tangente

Def: Assegnata curva

Def: di integrale curvilineo, ∫γF · T = ∫γ ` |γ'(t)| dt`

= ∫ I γ'(t) · N γ(t) |N dt = ∫ I F x'(t) dt

|N|

Def: Un campo si dice conservativo se esiste

una funzione V ∈ C¹: F = ∇ V

oss. 2 Se F è conservativo ⇒ df è simmetrico

Dim: F = ∇ V = (Vx, Vy, Vz) V ∈ C²

rot F = (∂yF₃ - ∂zF₂ | ∂zF₁ - ∂xF₃ | ∂xF₂ - ∂yF₁) =

= (Vy' - Vy'z Vxz - Vzx, Vxy - Vx'y)

V ∈ C²

OSS₂ Conservazione dell'energia per campi conservativi

E_tot = E_cin + E_pot = 1/2 m(v(t))² - V(γ(t))

F è conservativo ⇒ ∃V: ∇V = F, V indica potenziale

D= G[∇t = -V, (E_pot)' = mγ'v'' - ∇Vγ' = Fγ' - Fγ' = 0

Def: F: A ⊂ R³ → R³ si dice conservativo se

∃ F: A ⊂ R³ → R differenziabile: ∇ F = F

OSS₂ Se F ∈ C¹(A) è conservativo = DFe è intero (Schwartz applicato al potenziale)

OSS_i Se F è conservativo ⇒ ∃ infinito potenziale

Dim∶ ∃V potenziale = 0 ∀ e ∈ I G(x,y,z) = V(x,y,z) + C

Teorema F: A, ⊂ R³ → R³, A aperto convesso, F ∈ C⁰(A) è conservativo. Allora ∀ P,Q ∈ A

L( f , γ ) = V(Q) - V(P)   ∀ γ curva regolare a tratti che parte da P e arrivi in Q

γ [a,b] → R³

(f, ϒ) = ∫_a^b F₁(x(t))x'(t) + F₂(x(t))y'(t) + F₃(x(t))z'(t) dt

(F₁, F₂, F₃) = ∇V = (V_x, V_y, V_z) = ∫_a^b x(x)' + V_y(y') + V_z(z') dt

V(x(t)) = V_xx' + V_yy' + V_zz' = ∇V ϒ'

L((f, ϒ)) = ∫_a^b dV(x(t)) = V (f(6)) - V (y(a)) - V(Q₂) - V(P)

Se P = Q f è conservativo => L((f, ϒ))=0

Il lavoro dei campi conservativi

sulle curve semplici e chiuse

è nullo.

Dim γ regolare a tratti:

γ = γ₁ ⊕ γ₂ ⊕ γ₃ γ_i regolari

L((f, γ)) = L (f₁, γ₁ = L (f₁), γ = L(f₁, γ₂) + L((f₁, γ₃))

= V_γ(u₁) + V(γ₂) - V(γ₂) = V(γ₁) + V_Q) - V(γ₂) = V(γ₁) + V(Q) - V(Q) + V(γ₂) - V(Q) - V(γ(P))

Teorema

F: A⊂ℝ²➝ℝ³; A convesso, continuo allora:

1. F è conservativo
2. L(F,γ)=0 ∀ γ regolare a tratti e chiuso

⟷

1. L(F,γ)=L(F,γ) ∀ γ, γ regolare a tratti dove: γ:[a,b]➝ℝⁿ γ(a)=γ'(a) ; γ'(c,d]¹➝ℝ³ γ(b)=γ'(d)

Dim

1. ⇒₂
2. già fatto!

Dim

1. 2 ⇒ D₂ = D₂

Ora Dim

1. 2 ⇒ P₂

Devo dimostrare che L(F1,γ)=L(F,γ')

Definisco γ₁ = γ(g(t,x*1))

e chiuso e regolare a tratti.

⇒ 0 = L(F1,γ1)=L(F1,γ)+L(F1-γγ1)=L(F1,γ)-L(F1,γ1)

Dim

1. 3 ⇒ 1

Fisso P₀∈A; P=(x,y,z)∈A ∃γ che congiunge P₀ e P; definisco V(x,y,z)=L(F,γ)

∫Vx=F₁?

V(x+h,y,z)-V(x,y,z)

R:=(x+h,y,t) h,t,c∈R∈A

V(x+h,y,t)=L(F,γ1)

γ:₁∅₂

dove yεt=(x+th,y,z) t∈[0,1]

V(x + h, y, z) - V(x, y, z) = (L(F, y, z) - L(F, y, z)) / ln

L(F, y) + L(F, y, z) - L(F, y) =

(1 / ln) ∫₀^ε Fi (x + lh, y, z)dlt =

(V(x + lh, y, z) - V(x, y, z) / ln)

ε _z = _{Fz = 0}

Ξ(x + 3ln, y, z) 0 < 3 < 2^⁺

∫^a f_ε(x)dx = f(Ξ) dove Ξ ∈ (0, lδ)

lim V(x + lh, y, z) - V(x, y, z) = lim Fi (x + 3h/4) =

h→0 ln ln h→∞

= Fi (x, y, z)

Teorema: F: A ⊂ ℝ² → ℝ² ⊂ C'

Se rot F = 0 e A e semplicemente connesso

=> D F e conservativo

A = ℝ²

⊙ e semplicemente connesso

1 A = ℝ² - {(0, 0)}

non e semplicemente connesso

Def.: A ⊂ R³ si dice semplicamente connesso se ∂A è

∂A, ∂ è bordo di una regione D con D ⊂ A

(quindi non ci sono buchi)

FORME DIFFERENZIALI

Def.: a