Campi elettromagnetici

Appunti di Campi Elettromagnetici

1. Sistemi di coordinate e operatori vettoriali

●​ Sistemi di coordinate principali: cartesiane (x,y,z), cilindriche (r,φ,z), sferiche (r,θ,φ).​

●​ Operatori vettoriali fondamentali:​

○​ Gradiente (grad f): vettore che indica la massima variazione di una funzione

scalare.​

○​ Divergenza (div A): misura la tendenza di un campo vettoriale a "divergere"

da un punto.​

○​ Rotore (curl A): misura la tendenza di un campo vettoriale a ruotare attorno a

un punto.​

2. Vettori di campo elettromagnetico e sorgenti

●​ I campi elettromagnetici fondamentali sono:​

○​ Campo elettrico E (volt/metro)​

○​ Campo magnetico H (ampere/metro)​

○​ Campo di induzione magnetica B = μH (tesla)​

○​ Densità di flusso elettrico D = εE (coulomb/metro^2)​

●​ Sorgenti:​

○​ Cariche elettriche libere ρ (coulomb/metro^3)​

○​ Correnti di conduzione J (ampere/metro^2)​

○​ Correnti di spostamento (variazioni temporali del campo elettrico)​

3. Equazioni di Maxwell (forma globale e locale)

Forma locale (differenziale):

●​ Divergenza di D = densità di carica elettrica ρ​

●​ Divergenza di B = 0 (nessun monopolo magnetico)​

●​ Rotore di E = - ∂B/∂t (legge di Faraday)​

●​ Rotore di H = J + ∂D/∂t (legge di Ampère-Maxwell)​

Forma globale (integrale):

●​ Flusso di D su una superficie chiusa = carica totale contenuta​

●​ Flusso di B su una superficie chiusa = 0​

●​ Circolazione di E lungo un percorso chiuso = - variazione del flusso di B nel tempo​

●​ Circolazione di H lungo un percorso chiuso = corrente totale + variazione del flusso

di D nel tempo​

4. Equazioni costitutive per i dielettrici e legge di Ohm

●​ Relazioni materiali:​

○​ D = ε E, con ε permittività del materiale (in generale può essere complessa e

dipendente dalla frequenza)​

○​ B = μ H, con μ permeabilità magnetica del materiale (anche questa può

essere complessa)​

○​ J = σ E, dove σ è la conducibilità elettrica (legge di Ohm locale)​

5. Condizioni al contorno e condizioni iniziali

●​ Alla superficie di separazione tra due mezzi:​

○​ La componente tangenziale di E è continua​

○​ La componente normale di D cambia proporzionalmente alla densità

superficiale di carica​

○​ La componente tangenziale di H è continua salvo correnti superficiali​

○​ La componente normale di B è continua​

●​ Condizioni iniziali: valori di E e B definiti al tempo iniziale per risolvere le equazioni

nel dominio temporale.​

6. Equazione di continuità

●​ Lega la variazione della densità di carica alla divergenza della corrente:​

○​ ∂ρ/∂t + div J = 0​

●​ Esprime la conservazione della carica elettrica.​

7. Forza di Lorentz

●​ La forza agente su una carica q in moto con velocità v in un campo elettromagnetico

è:​ ○​ F = q ( E + v × B )​

●​ Fondamentale per capire l’interazione tra cariche e campi.​

8. Regime sinusoidale stazionario e

permittività/permeabilità complesse

●​ Nei sistemi a frequenza fissa (es. correnti alternate a frequenza ω), i campi variano

sinusoidalmente nel tempo.​

●​ Le grandezze si rappresentano come fasori complessi: E(t) = Re{E0 e^(jωt)}​

●​ Permittività e permeabilità diventano complesse per tener conto di perdite nel

materiale:​

○​ ε = ε' - jε'' (ε'' rappresenta le perdite dielettriche)​

○​ μ = μ' - jμ'' (μ'' rappresenta le perdite magnetiche)​

9. Teorema di Poynting e conservazione dell’energia

●​ Il vettore di Poynting S rappresenta la densità di potenza trasportata dall’onda

elettromagnetica:​

○​ S = E × H (prodotto vettoriale)​

●​ La legge di conservazione dell’energia si esprime con la variazione di energia

immagazzinata e la potenza fluita attraverso una superficie.​

●​ Densità di potenza media si calcola mediando S nel tempo.​

10. Linee di trasmissione ideali e uniformi

●​ Modelli circuitali che descrivono la propagazione di segnali lungo cavi o guide.​

●​ Parametri caratteristici: resistenza R, induttanza L, capacità C e conduttanza G per

unità di lunghezza.​

●​ Impedenza caratteristica Z0 = sqrt[(R + jωL) / (G + jωC)]​

●​ Impedenza di carico ZL all’estremità della linea.​

●​ Coefficiente di riflessione Γ = (ZL - Z0) / (ZL + Z0)​

●​ Onde stazionarie si formano se la linea non è adattata (Γ ≠ 0).​

11. Circuiti a parametri distribuiti vs circuiti a parametri

concentrati

●​ Nei circuiti a parametri concentrati le dimensioni fisiche sono molto più piccole

rispetto alla lunghezza d’onda, si usano modelli semplici (resistenze, induttanze,

condensatori puntiformi).​

●​ Nei circuiti a parametri distribuiti, le dimensioni sono paragonabili alla lunghezza

d’onda e le grandezze variano nello spazio (modello di linea di trasmissione).​

12. Propagazione elettromagnetica libera e onde

●​ Le equazioni di Maxwell in un mezzo libero portano all’equazione d’onda per E e B.​

●​ Onde piane: campi elettrico e magnetico perpendicolari tra loro e alla direzione di

propagazione.​