Integrali multipli; campi vettoriali: definizioni, identità differenziali, potenziale, integrale curvilineo.

Integrali nel piano e nello spazio

Significato fisico:

per fz di una variabile del tipo f: ℝ → ℝ

∫_a^b f(x)dx = area del sottografico.

Analogamente per fz. di 2 variabili del tipo f: ℝ² → ℝ

dato il rettangolo R = {(x,y)∈[a,b]x[c,d]} si ha che

∬_R f(x,y)dxdy = ∫_[a,b]×[c,d] f(x,y)dxdy

rappresenta il volume del sottografico.

Analogamente per l'integrale in 3 variabili: (integrali tripli):

∭ f(x,y,z)dxdydz dove D = {(x,y,z)∈[a,b]x[c,d]x[e,f]}

OSS: i domini non sono sempre rettangoli o parallelepipedi, possono essere anche più complicati.

TEO: Se f: ℝ → ℝ è continuo, allora è integrabile.

Integrali nel piano e nello spazio

Significato fisico:

per fz di una variabile del tipo: f:ℝ→ℝ

∫_a^bf(x)dx = area del sottografico

Analogamente per fz. di 2 variabili del tipo f:ℝ²→ℝ

dato il rettangolo R={(x,y)∈ℝ²| x∈[a,b]x[t,d] } a due due

∬_R f(x,y) dxdy = ∫_a,b∫_c,df(x,y)dxdy

rappresenta il volume del sottografico

Il volume del solido con base R

NB: ∬f(x,y)dxdy si chiama

integrale doppio poiché il dominio

di integrazione è bidimensionale

Analogamente per l'integrale in 3 variabili: (integrali tripli):

∭_Df(x,y,z) dxdydz dove D={(x,y,z)∈[a,b]x[c,d]x[e,g] }

OSS: I domini non sono sempre rettangoli o parallelepipedi, possono essere anche più complicati

TEO: Se f: ℝⁿ→ℝ è continua, allora è integrabile

Teorema di riduzione x integrali multipli

Se f : R² → R è continua allora, se il dominio

R = {[a, b] x [c, d]} si può calcolare come "integrale iterato", cioè valogono

le seguenti uguaglianze:

∫_[a,b]x[c,d] f(x, y) dxdy = ∫_c^d ( ∫_a^b f(x, y) dy) dx = ∫_a^b ( ∫_c^d f(x, y) dx) dy

Non importa se si integra prima rispetto a x o y; analogamente

per gli integrali tripli e le più variabili è indifferente l'ordine di integrazione.

OSS:

Per integrali di f a variabili separabili cioè del tipo

f(x, y) = g(x) . h(y) vale anche

∫_[a,b]x[c,d] f(x, y) dxdy = ∫_a^b g(x) dx . ∫_c^d h(y) dy

INTEGRALI SU DOMINI NON RETTANGOLARI

In R² il dominio di integrazione spesso non è del tipo [a, b] x [c, d] , ma

può essere dato nei modi seguenti:

1. D = { (x, y) | x ∈ [a, b], g(x) ≤ y ≤ h(x) }

→ siamo costretti a svolgere prima l'integrale in dy

2. D = { (x, y) | y ∈ [c, d], g(y) ≤ x ≤ h(y) }

→ siamo costretti a svolgere prima l'integrale in dx

CALCOLO DI INTEGRALI MULTIPLI CON CAMBIAMENTO DI VARIABILI

TEO: FORMULA DI CAMBIAMENTO DI VARIABILI

Sia f: R² → R. Per calcolare ∫∫_D f(x,y) dxdy n si procede così:

si considera un'opportuna trasformazione di coordinate in cui

(x, y) ↔ (u, v) e definita da

x=g(u,v)

y=h(u,v)

Allora si ha che ∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫∫_B f(g(u,v), h(u,v)) |J| dudv

dove B è il dominio di D scritto nelle nuove variabili u e v e |J| è il v.abs del determinante delle matrici Jacobiane della trasformazione

AREE E INTEGRALI

L'area di un dominio bidimensionale R è l'integrale su R

della f₂: f(x,y)=1

A=∫∫_R 1 dxdy

Il volume di un dominio tridimensionale D è l'integrale su D della

f₂: f(x,y,t)=1

V=∫∫∫_D 1 dxdydz

Es. Calcolare l'area del dominio R = {f(x,y)| 0≤x≤2, 0≤y≤x²}

A=∫∫_R 1 dxdy= ∫₀²(∫₀^x² dy) dx

=∫₀² y|₀^x² dx = ∫₀² x² dx = [x³/3]₀² = 8/3

Es:

∬_D (2x+y²) dx dy, D={ (x,y) | 1≤x²+y²≤4 , x > 0 , y ≥ 0 }

Coord polari:

x= ρcosθ , y= ρsenθ , J= ρ

D= { (ρ,θ) | 1≤ρ≤2 , 0≤θ≤π/2 }

∬_D (2cosρ+ρ sen²θ , ρ) dρdθ

=∫₀^π/2 ∫₁²( 2 cosθ ρ² + ρ sen²θ ) dρ dθ=∫₀^π/2 ( ∫₁² dρ( 2 ρ² cosθ ) + ∫₁² dρ ( ρ sen²θ ) dθ )

=∫₀^π/2 ( 2 ∫₁² dρ ρ³cosθ dθ )=∫₀^π/2 senθ dθ = 9/2 senθ | ^π/2₀

=∫₀^π/2 senθ dθ =-cosθ |^π/2₀ = cosθ = cos²θ

→∫₀^π/2 senθ cosθ =senθ cosθ + θ /2

CAMPI VETTORIALI

DEF Un campo vettoriale è una funzione F: ℝ³→ℝ³ Ad ogni vettore di ℝ³ associa un altro vettore di ℝ³

OSS det( )=| a₁₁ a₁₂ a₁₃ |

a₁₃=a₂₁ =A( a₁₁ a₂₂ a₃₃ - a₁₃ ) = B( a ₂₃ a₁₃ a₂₃ , a₁₃ , a₂₁ ) + C( a₂₃ a₂₃ a₁₃ a₂₁ )

a₁₁ , a₁₂ , a₁₃ = 0

Per i campi vetoriali si usano le seguenti notazioni

1) F₁ ( x, y, z) = ( F₁ ( x₁, x₂, x₁) F₂ ( x₁, y₀, z) )

→ i

2) F₁ ( x, y, z ) = F₁( x₁, x₂ )i, j

dove i j k sono vettori lungo le direzioni degli assi coordinati

OPERAZIONI SUI CAMPI VETTORIALI

^∇ è il gradiente di una f_i

∇ = ^∂i/∂x + ^∂j/∂y + ^∂k/∂z

∇ * V = ^∂F₁/∂x + ^∂F₂/∂y + ^∂F₃/∂z

1) DIVERGENZA DI UN CAMPO VETTORIALE F

Sia F un campo vettoriale di classe C¹.

Allora div F = ∇ * F = (somma) ^∂F_i/∂x_i

= ^∂F₁/∂x + ^∂F₂/∂y + ^∂F₃/∂z

"div F è un numero"

La def di divergenza è analoga per F: ℝⁿ→ℝ^m

2) ROTORE

Sia F: ℝ³ → ℝ³ di classe C¹

rot F = ∇ x F

N.B.: rot F è un vettore

Oss: rot F = 0 → {^∂F₃/∂y - ^∂F₂/∂z = 0

... (missing text for continuation)

cioè le derivate coincidono

Es:

Dato F = z + xy²k + x³i - y k calcolare le div F e rot F.

F = (x, xy², x³ - y)

div F = ^∂f₁⁄_∂x + ^∂f₂⁄_∂y + ^∂f₃⁄_∂z = 2xy + x³

rot F = ( e₁ e₂ e₃)

_{∂x ∂y ∂z}

_{x xy² x³-y}

= ( - ^{∂(x3 - y)}⁄_∂y - ^∂x2y⁄_∂z + ( ^∂(xy2)⁄_∂x + ^∂x⁄_∂z)j

IDENTITÀ DIFFERENZIALI

1) Il gradiente trasforma un campo vettoriale f: R² → R in un vettore scalare

∇f ∈ R³

2) La divergenza trasforma un campo vettoriale F: R³ → R² in un altro campo scalare

div F ∈ R

3) Il rotore trasforma un campo vettoriale F: R³ → R³ in un altro campo vettoriale

rot F ∈ R³

PROPRIETÀ Si dimostra che:

1) Dato f: R³ → R rot(grad(f)) = ∇ × (∇f)

2) Dato F: R³ → R³

div(rot F) = ∇ × F = 0

3) Dato f: R³ → R

div(∇f) = ∇ × f = ^∂f⁄_∂x + ^∂f⁄_∂y + ^∂f⁄_∂z

= ^∂2x⁄_∂x² + ^∂2y⁄_∂y² + ^∂2z⁄_∂z²

DEF Dato f: R³ → R si definisce laplaciano di f la qta Δf = div(∇f)

= ^{∂2x⁄_∂x2 + ∂2y⁄_∂y2 + ∂2z⁄_∂z2 somme delle derivate seconde non miste}

CAMPI CONSERVATIVI

DEF Un campo vett. F: ℝ³ → ℝ³ si dice conservativo se ∃ E: E ^c ed esiste una f: ℝ³ → ℝ detta potenziale di f t.c. ∀C ∈ E ^c ∇f = ∇U.

F₁ = ∂U/∂x, F₂ = ∂U/∂y, F₃ = ∂U/∂z

OSS In fisica F è conservativo se è tale che F = -∇U dove E è l'energia potenziale

COND NECESSARIA X LA CONSERVATIVITÀ DI UN CAMPO VET.

Se F: ℝ³ è conservativo se ∇f = ∇U allora

∂F₁/∂y - ∂F₂/∂x = ∂(∂U/∂y)/∂x - ∂(∂U/∂x)/∂y = 0

∂F₁/∂z - ∂F₃/∂x = ∂(∂U/∂z)/∂x - ∂(∂U/∂x)/∂z = 0

∂F₂/∂z - ∂F₃/∂y = ∂(∂U/∂z)/∂y - ∂(∂U/∂y)/∂z = 0

Le derivate incrociate coincidono

Quindi se E è conservativo allora è irrotazionale, cioè rot F = 0

OSS Analogamente se F: ℝ² → ℝ è conservativo allora ∂F₂/∂x - ∂F₂/∂y = 0

N.B. Non è vero il viceversa, in generale, cioè se le derivate incrociate coincidono non è detto che il campo sia conservativo serve un ip. in più.

DEF E⊂ℝⁿ è semplicemente connesso se È è connesso e ogni curva chiusa E⊂ può essere ridotta con deformazione continua a un punto senza uscire da E.

TEO Se F: E⊂ℝⁿ → ℝ³ è irrotazionale (con vedi AM) e il dominio E è semplicemente connesso, allora E è un campo conservativo.

Esercizio 1

1. Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo F₁ = (3x²y - 2x) i + (x³ - 2x z) j
   • dom(F) = R³ semplicemente connesso
   • Bisogna verificare che le derivate incrociate coincidono
   ∂F₂/∂y = 3x² = ∂F₁/∂x = 3x² ∂F₁/∂z = -2z ≠ ∂F₃/∂x = -2x ∂F₂/∂z = 0 = ∂F₃/∂y = 0 Il campo è conservativo
2. Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo e, in caso affermativo, calcolare il potenziale. F₂ = (xsen(y) - 2x) i + xcos(y) j
   • dom(F₂) = R² supp. connesso
   ∂F₁/∂y = cos(y) = ∂F₂/∂x = cos(y), il campo è conservativo. Cerchiamo U | F = ∇U ∂U/∂x = F₁ => U = ∫F₁ dx + V(y) = ∫xseny - 2x dx + V(y) = xseny - x² + V(y) ∂U/∂y = F₂ => U = ∫F₂ dy + V(x); ∫cosy dy + V(x) = xseny + V(x) Mettiamo insieme i risultati U = xseny - x²
3. Verificare che il seguente campo vettoriale è conservativo. F₃ = (x/(x²+y²)) i + (y/(x²+y²)) j
   • dom = R² \ {(0,0)}
   Non basta verificare la condizione necessaria, Dobbiamo calcolare esplicitamente il potenziale U tale che F₃ = ∇U ∂U/∂x = F₁ => U = ∫(x/(x²+y²)) dx + V(y) = ∫ x/(x²+y²) dx + V(y) = ½ log(x² + y²) + V(y)

FORME DIFFERENZIALI LINEARI

DEF Indichiamo con dℓ il vettore spostamento infinitesimo definito come:

dℓ = dx i + dy j + dz k

DEF Dato un campo vettoriale F: ℝ³ → ℝ si chiama forma differenziale lineare associata a F la quantità:

W = F · dℓ = F₁(x,y,z) dx + F₂(x,y,z) dy + F₃(x,y,z) dz

OSS Ogni campo F individua una forma differenziale W e viceversa.

OSS Se F è una forza allora W = F · dℓ rappresenta il lavoro compiuto dalla forza F lungo uno spostamento infinitesimo dℓ.

DEF Una curva nello spazio rappresentata in forma parametrica è il grafico di una fz.

f: ℝ → ℝ

{ x(t), y(t), z(t) }

Es y = xx ∈ [0,2]f x = tt ∈ [0,1]

Es Circonferenza di centro O e raggio 1x² + y² = 1{ x = cos ty = sen tt ∈ [0,2π] }

INTEGRALE CURVILINEO DI UNA FORMA DIFFERENZIALE

∃γ una curva parametrizzata da r(t)

{ x(t) = x(t)y(t) = y(t)z = z(t)t ∈ [a,b] }

Definiamo

INTEGRALE CURVILINEO di una FORMA DIFFERENZIALE lungo la curva γ l'integrale:

∫_γω = ∫_γ [ F₁(x(t), y(t), z(t)) dx + F₂(x(t), y(t), z(t)) dy + F₃(x(t), y(t), z(t)) dz ]

Ossx = x(t) ⇒ dx = x'(t) dty = y(t) ⇒ dy = y'(t) dtz = z(t) ⇒ dz = z'(t) dt

ω = ∫_a^b[ F₁(x(t), y(t), z(t)) x'(t) + F₂(x(t), y(t), z(t)) y'(t) + F₃(x(t), y(t), z(t)) z'(t) ] dt

Es. data la forma differenziale in R²ω = x y dx - 3e^t dy calcolare il integrale lungo la curvaγ: {x=t²y=3tt ∈ [0,1]

F₁(t) = x(t) y(t) = 3t³x = t² ⇒ dx = dt dt ⇒ x'(t) = 2t

F₂(t) = -3e^t y = 3t dy = 3 dt ⇒ y'(t) = 3

∫_γ ω = ∫₀¹ 3t³ · 2t - 3e^3t · 3 dt = ∫₀¹ 6t⁴ - 9e^3t dt = 6/5 t⁵ |₀¹ - 1/3e^3t |₀¹ = 6/5 - 1/3e³ + 3

PROPRIETÀ

1. ∫_γ (c₁ ω + c₂ ω) = c₁ ∫_γ ω + c₂ ∫_γ ωc₁, c₂ ∈ R LINEARITÀ

2. ∫_γ1^γ2 ω = ∫_γ1 ω + ∫_γ2 ω ADDITIVITÀ RISPETTO AL CAMMINO DI INTEGRAZIONE

Oss se fissiamo 2 punti A e B e consideriamo due curve diverse che congiungono A e B, sotto quali ipotesi vale∫_γ1 ω = ∫_γ2 ω?

Def Se γ è chiuso si usa il simbolo ∮_γ ω e si chiama CIRCOLAZIONE del campo F

DEF

ω è detta una forma di differenziale esatta sse esiste una f:R³⟶R

t.c. ω=df cioè

ω= ∂U/∂x dx + ∂U/∂y dy + ∂U/∂z dz allora ω si dice forma

di differenziale esatta.

OSS

Poidiché ω=F⋅dr, il dire che ω è esatto equivale a dire che F

è un campo conservativo

DEF

F= ∇U è rotazionale cioè le derivate incrociate coinciscono e diciamo

che la conrrespondente forma ω in R³ si dice forma chiusa.

N.B. Vedremo che se ω è esatto, cioè F=campo conservativo l'integrale

di ω tra due punti A e B è indipendente dal percorso scelto per

connetterli.

TEO. X IL CALCOLO INTEGRALE PER CAMPI CONSERVATIVI

Sia F=∇U un campo vettorial conservativo, cioè ω=F⋅dr forma differenziale

esatta. Sia γ una curva regolare di equazione r(t)=(x(t), y(t), z(t)) con

t ∈ [a,b] allora

∫_γ ω = U(r(b)) - U(r(a))

Gli integrali dipendono quindi solo dagli estremi e non dalla curva γ

N.B: Ip.: F=∇U=(∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)

γ = [x=x(t)]

[y=y(t)] t ∈ [a,b]

[z=z(t)]

∫_γ ω = ∫_γ ∂U/∂x x'(t) + ∂U/∂y y'(t) + ∂U/∂z z'(t) dt

= ∫_γ (∂U/∂x dx/dt + ∂U/∂y dy/dt + ∂U/∂z dz/dt) dt

=∫_a^b dU(x(t),y(t),z(t)) ḟ(t), a(t)) dt = ∫_a^b dU(r(t))

= [ U(r(t)) ]_a^b = U(r(b)) - U (r(a))