Integrali multipli; campi vettoriali: definizioni, identità differenziali, potenziale, integrale curvilineo.

INTEGRALI NEL PIANO E NELLO SPAZIO

Significato fisico:

- per fz di una variabile del tipo f:R→R

∫_a^bf(x) dx = area del sottografico

- Analogamente per fz di 2 variabili del tipo f:R²→R :

dato l rettangolo R={ (x,y) ∈ [a,b]x[c,d] }

∬_Rf(x,y) dxdy = ∫_[a,b]x[c,d]f(x,y) dxdy

rappresenta il volume del sottografico

NB: ∬f(x,y)dxdy si chiama integrale doppio perchè il dominio di integrazione è bidimensionale

Analogamente per l'integrale in 3 sommità (integrali tripli):

∭f(x,y,z)dxdydz dove D={ (x,y,z) ∈ [a,b]x[c,d]x[e,f] }

OSS: i domini non sono sempre rettangoli o parallelepipedi, possono essere anche più complicati

TEO: xf: Rⁿ→R è continua, allora è integrabile

Teorema di riduzione x integrali multipli

Se f: ℝ² → ℝ è continua allora il suo integrale doppio sul dominio

R = [a,b] x [c,d] , si può calcolare come integrale iterato, cioè valgono

le seguenti uguaglianze:

∬_[a,b]x[c,d] f(x,y) dx dy = ∫_c^d (∫_a^b f(x,y) dx) dy = ∫_a^b (∫_c^d f(x,y) dy) dx

Non importa se si integra prima rispetto a x o y; analogamente

per gli integrali tripli e più variabili è indifferente l’ordine di integrazione

Oss:

Per integrali di f(x) a variabili separabili cioè del tipo

f(x,y) = g(x) x h(y) vale anche

∫_{[a,b] x [c,d]} f(x,y) dxdy = ∫_a^b g(x) dx x ∫_c^d h(y) dy

Integrali su domini non rettangolari

In ℝ² il dominio di integrazione spesso non è del tipo [a,b] x [c,d], ma

può essere dato nei modi seguenti:

1. D = {(x,y) | x ∈ [a,b] , g(x) ≤ y ≤ h(x)}

⇒ siamo costretti a svolgere prima l’integrale in dy

2. D = {(x,y) | y ∈ [c,d] , g(y) ≤ x ≤ h(y)}

⇒ siamo costretti a svolgere prima l’integrale in dx

Es.:

Dato F = xy² i + xy³ j − y k calcolare le div F e rot F.

F₁ = xy² F₂ = xy³ F₃ = −y

div F = \(\frac{∂(xy^2)}{∂x}\) + \(\frac{∂(xy^3)}{∂y}\) + \(\frac{∂(-y)}{∂z}\) = 2xy + x³

rot F = \(\left( \frac{∂(-y)}{∂y} - \frac{∂(xy^3)}{∂z} \right) \textbf{i} + \left( \frac{∂(xy^2)}{∂z} - \frac{∂(-y)}{∂x} \right) \textbf{j} + \left( \frac{∂(xy^3)}{∂x} - \frac{∂(xy^2)}{∂y} \right) \textbf{k}\)

= \((0 - (0)) \textbf{i} + (0 - 0) \textbf{j} + (y^3 - x^2) \textbf{k}\)

IDENTITÀ DIFFERENZIALI

1. Il gradiente trasforma un campo vettoriale \(f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) in un vettore \(V \in \mathbb{R}^3\)
2. La divergenza trasforma un campo vettoriale \(E: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) in un altro campo scalare \(div E \in \mathbb{R}\)
3. Il rotore trasforma un campo vettoriale \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3\) in un altro campo vettoriale \(rot F \in \mathbb{R}^3\)

PROPRIETÀ: Si dimostra che:

1. Dato \(g: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) rot(grad\(f\)) = \(\nabla \times (\nabla f)\)
2. Dato \(F: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) div(rot(\(\textbf{F}\))) = \(\nabla \cdot (\nabla \times \textbf{F}) = 0\)
3. Dato \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\)

div(\(\nabla \textbf{v}\)) = \(\nabla \cdot \left( \frac{∂f}{∂x} \textbf{i} + \frac{∂f}{∂y} \textbf{j} + \frac{∂f}{∂z} \textbf{k} \right)\)

= \(\frac{∂^2 f}{∂x^2}\) + \(\frac{∂^2 f}{∂y^2}\) + \(\frac{∂^2 f}{∂z^2}\) Laplaiciano di \(f\)

DEF Data \(f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}\) si definisce laplaciano di \(f\) la qta Δf = div(\(\nabla f\))\)

= \(\frac{∂^2 f}{∂x^2}\) + \(\frac{∂^2 f}{∂y^2}\) + \(\frac{∂^2 f}{∂z^2}\) somma delle derivate seconde non miste

DEF

Sia data una forma w di dominio D,

t.c. w = dU cioè

w = (∂U/∂x) dx + (∂U/∂y) dy + (∂U/∂z) dz allora w si dice forma differenziale esatta.

OSS. Poiché w = F·d nel bio che w è esatta equivale a dire che F è un campo conservativo.

DEF

Se F è irrotazionale cioè le derivate incrociate coincidono chiese c’è la corrispondente forma w mi rico porma U.

N.B.

Vedremo che se w è esatta, il loro E è conservativo l’integrale di w tra due punti A e B è indipendente dal percorso scelto per connetterli.

TEO. x IL CALCOLO INTEGRALE PER CAMPI CONSERVATIVI

Sia F=∇U un campo vetoriale conservativo (cioè ∂ = F·d), forma differenziale esatta.

Sia γ una curva regolare di equazione r(t) = (x(t), y(t), z(t)) con E ⊂ [a,b]

Allora

∫_γw = U(r(b)) - U(r(a))

L’integrale dipende, quindi, solo dagli estremi e non dallo curva γ.

Dim. Ip. E = ∇U = (∂U/∂x, ∂U/∂y, ∂U/∂z)

γ = {x = x(t)

y = y(t)

z = z(t)} ∈ [a,b]

∫_γw = ∫_γ((∂U/∂x) x'(t) + (∂U/∂y) y'(t) + (∂U/∂z) z'(t)) dt

= ∫_a^b((∂U/∂x) dx/dt + ∂y/dt (∂U/∂y) + ∂z/dt (∂U/∂z)) dt

=∫_a^b(dU(x(t), y(t), z(t) / dt) dt

= ∫_a^bdU(r(t))/dt dt = ∫_a^bdU(r(t))/dt dt

= [U(r(t))]^b_a = U(r(b)) - U(r(a))