Analisi matematica 2 - Forme differenziali e campi vettoriali

TEOREMA

Sia un dominio semplicemente connesso. Allora ogni forma differenziale chiusa in è esatta.

Osserviamo che, equivalentemente:

.

Se è irrotazionale in ed è semplicemente connesso, allora è conservativo in

La richiesta che sia semplicemente connesso non è necessaria, ma solo sufficiente.

ESEMPIO

Dato il campo vettoriale &

(, ) = (2, )

Dire se è conservativo nel suo dominio e, in caso positivo, trovarne un potenziale. Infine, calcolare l’integrale

curvilineo di F lungo la curva (cos

≔ , sin ) ∈ [0, ]

Abbiamo (2)

= = 2

: " : &

( )

= = 2

6 & 6

=

Siccome , il campo è irrotazionale nel suo dominio.

: " 6 &

Dato che il dominio è anche semplicemente connesso, il teorema precedente assicura l’esistenza di un

&

: ℝ → ℝ

potenziale. Cerchiamo tale che =

Dobbiamo risolvere il sistema = = 2

6 "

U &

= =

: &

:

Integro rispetto a

6 &

= + ()

()

Per determinare uso la seconda equazione

& &

9 + (): = + ′()

:

Ottengo & ) &

()

+ = → () =

Quindi &

(, ) = +

Ora & &

(−1)

E = E⟨, ⟩ = ∘ () − ∘ (0) = ∙ 0 − 1 ∙ 0 = 0

- -

FORMULE DI GAUSS-GREEN (NEL PIANO)

&

⊆ ℝ

Se è un dominio regolare, allora è l’unione di un numero finito di sostegni di curve regolari (a

tratti). Quindi esiste il versore tangente su tutto tranne che in un numero finito di punti.

.

Chiamiamo il versore normale esterno su {, } {, }

- Diciamo che è orientato positivamente se è equiversa a

3

,

→ equivale a dire che l’angolo tra è &

→ percorrendo nel verso del versore tangente, il dominio rimane alla sinistra.

<

Una frontiera orientata positivamente si indica con

ESEMPIO

TEOREMA (FORMULE DI GAUSS-GREEN IN DOMINI NORMALI) (con dimostrazione)

"

, ∈ ().

Siano Allora:

,

1) Se è un dominio normale (regolare) rispetto all’asse vale l’identità

‹Œ • = − E

&

,

2) Se è un dominio normale (regolare) rispetto all’asse vale l’identità

‹Œ • = E

&

COROLLARIO (con dimostrazione)

.

Sia un dominio normale regolare, sia rispetto all’asse che rispetto all’asse Allora:

‹Œ[ − ] • = E

&

"

= (, ) + (, ) , , ∈ ()

Dove