Calcolo differenziale per le curve

Lunghezza poligonale

Il problema della lunghezza di un poligono è quello di determinare la lunghezza totale del perimetro del poligono. Questo può essere fatto suddividendo il poligono in segmenti rettilinei e sommando le lunghezze di questi segmenti.

La lunghezza di un poligono può essere approssimata sia per difetto che per eccesso. Se il poligono è costituito da un numero finito di segmenti rettilinei, la lunghezza approssimata per difetto sarà minore della lunghezza effettiva del poligono, mentre la lunghezza approssimata per eccesso sarà maggiore.

Una curva è rettificabile se è possibile approssimarla con una poligonale. Il teorema di Lipschitz afferma che una curva è rettificabile se e solo se è regolare, cioè se la sua derivata è limitata. Esistono esempi di curve rettificabili e non rettificabili.

Consideriamo lo stesso sostegno di una curva percosat. Alti costi e bassi costi. Sint2ti e cos2ti. La lunghezza di una curva non dipende sempre dalla lunghezza del suo sostegno. Quella di una parabola, ad esempio, è sempre doppia rispetto alla lunghezza dell'arco corrispondente.

Per calcolare la lunghezza di un arco di parabola, si possono utilizzare diverse formule. Una formula grafica funzionale è quella di dividere l'arco in segmenti rettilinei e sommare le lunghezze di questi segmenti. Un'altra formula è quella di utilizzare l'integrale definito per calcolare la lunghezza dell'arco.

ÈIo I cos'etornare doSimo Sion cos'ecos'eSina Sinacosa cosa ae Tattootonoda tcosto0 lsecottonoientro pta.iqarea tonolN exit t.lu zxtTfSeTeorema 9 diUnione rettificabilicurva curvee nuna litilieteallora 9 è erettificabile 1Esempio Ilq telo Hi Fi E41N t1911 II Minieretelarar 7 140 I telaiq 19ktjildxilolIl'Hsllie dttfilictiidtIl'intott dttjdtd1 2rt2toCurve in coordinate polari09101 cosa be aq ci9104 sino g efumaregolare910 giacosoSlo sinol 101 101s cososfai sinosinoCosa gia101PÌÙ giocosol'lait taglinogià giàcos0sino cosetie costinocos'ottimo gia giàs'io diehi a910Nota dalviene problemafornita 0e E o getEsempio eq polare9101è cosasinoeOS101 e èèE dadaio raraeine è èt fas 1Integrale curvilineoAscissa curvilinea1 IRsia adDef una curva regolareparametricaSi telaSlachiama ascissa funzionecurvilinea traoft Il'tildeSitibae a è la dell ARCOlunghezzadi di

9calestremi 9cmcurva ed ds Il.chIl'intsetossi od dtIntegrale curvilineo9Sia vehiliuna incurva punto esiste tangenteregolare ogniIRf IR benAsia dellaE delsuidefinita punti curvasostegnoil deve esseresostegnocontenuto Ainl'int dalcnn.mn dipendefds Il'IHI dDef liti diverso percorrenzastiano aif puntirestringendo allache 9curvaappartengonoSignificato geometrico l'area dellaè lasuperficiefumi ilcui dellaèbase curvasostegnoµ 41la neie xpuntialtezzacuidel fcx.glèsostegnoObliano delvincolato i A Hudominopuntie dellaa curvaquelliInt 9 trattidicurvilinee aregolareba ana cescoe eÈfds fienile.ch dtaProprietà1 f.dstpfgds linearitàaftpgids.aefez SdsfdsSe2 e181dsfds3 egds la Yf ds4 se equivalentiEsempi costds tep1 441 Sintri re 22i Finto rfrase ditds Ia è staiSintcosa l 222 IIIIIII Itea9fisime ecanids telo 1fsjs.intdtSint costati dicascatittesina B 2AFi t 1 sCost o ii yydsun rartelatrattidefinite e 83 ttixche oit i aitrae lo

ritmoIs tIdttjtdtxtdds rzdtt rati1a.tt 13la