Calcolo differenziale

7. CALCOLO DIFFERENZIALE

VELODITÀ = DISTANZA tra i radciTEMPO impiegatOV = S(t+Δt) - S(t) / Δt

Solamente, il nostro velc calcolarelim_Δt→0 S(t+Δt) - S(t) / Δt

DEF:

f: I → ℝ con I ⊆ ℝ intervalli aperti e x₀ ∈ I, chiamiamo RAPPORTO INCREMENTALE la quantità

f(x) - f(x₀) / x - x₀

Diciamo che f è derivabile nel punto x₀ ∈ I se esiste finito

lim_x→x0 f(x) - f(x₀) / x - x₀, ed è detto DERIVATA di f in x₀.

Inoltre, se f è derivabile in ogni punto di I diciamo che f è DERIVABILE in I e la funzione

f' : I → ℝ

f'(x) = lim_y→x f(y) - f(x) / y - x è detta (funzione) DERIVATA PRIMA di f

ES:

la velocità di un punto materiale è la derivata prima della sua pessima intesa come funzione di una variabile [tempo].

OSS:

Geometricamente, nel piano cartesiano, il rapporto incrementale f(x) - f(x₀) / x - x₀ suI nvfrontiLA PENDENZA (il COEFFICIENTE ANGOLARE) delle rette renstate nei punti (x₀, f(x₀)) e (x,f(x)).

Calcolare il lim...

... valore \( x \to x_0 \)

• ... per un intorno ... \( f \) nel punto di contatto \((x_0, f(x_0))\)
• La retta tangente alla...

y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)

\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} = f'(x_0)\) secondo la ...

\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} - f'(x_0) = 0

... \(\lim_{x \to x_0}\left(f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)\right)\)

... \( f(x) - f(x_0) - f'(x_0)(x - x_0)\)

• Allora \( f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+o(x-x_0) \)

NOTAZIONE:

f'(x) = \frac{df}{dx}

TEOREMA: DERIVABILITÀ IMPLICA CONTINUITÀ

... sia \((x-x_0)\)

DIMOSTRAZIONE:

\(\lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}\)

\(\lim_{x \to x_0}\left(f(x) - f(x_0)\right)=0\)

... derivabile in \(x_0 \in I\), allora \( f \) è continua in \( x_0 \)...

TEOREMI SUL CALCOLO DELLE DERIVATE

TEOREMA "ALGEBRA DELLE DERIVATE"

Sia I ⸦ ℝ intervallo aperto e non vuoto. f, g: I ➝ ℝ derivabili in x₀ ∈ I. Allora:

1. (f + g)’(x₀) = f’(x₀) + g’(x₀)
2. (f · g)’(x₀) = f’(x₀)g(x₀) + f(x₀)g’(x₀)
3. ^(f/g)’(x₀) = (gf’(x₀) - f(x₀)g’(x₀))/g²(x₀) se g(x₀) ≠ 0

DIMOSTRAZIONE:

1. lim _x➝x0 [(f+g)(x) - (f+g)(x₀)] / (x-x₀) =
   • lim _x➝x0 [f(x)+g(x) - f(x₀) - g(x₀)] / (x-x₀) = lim _x➝x0 [(f(x) - f(x₀)) + (g(x) - g(x₀))] / (x-x₀)
   • = f’(x₀) + g’(x₀) per algebra dei limiti
2. lim _x➝x0 [f(x)g(x) - f(x₀)g(x₀)] / (x-x₀) =
   • lim _x➝x0 [f(x)g(x) - f(x)g(x₀) + f(x)g(x₀) - f(x₀)g(x₀)] / (x-x₀)
   • = lim _x➝x0 [f(x)(g(x) - g(x₀)) + g(x₀)(f(x) - f(x₀))] / (x-x₀)
   • = lim _x➝x0 [(f(x) - f(x₀))g(x₀)/(x-x₀) + f(x₀)(g(x) - g(x₀))/(x-x₀)]
   • = f’(x₀)g(x₀) + f(x₀)g’(x₀)
3. lim _x➝x0 [f/g](x) - [f/g](x₀) / (x-x₀) =
   • f(x)/g(x) - f(x₀)/g(x₀) / (x-x₀)
   • = lim _x➝x0 [(f(x)/g(x) - f(x)/g(x₀) + f(x)/g(x₀) - f(x₀)/g(x₀))] / (x-x₀)
   • = lim _x➝x0 [f(x)(1/g(x) - 1/g(x₀)) / (x-x₀) + (1/g(x₀))(f(x) - f(x₀)) / (x-x₀)]
   • = lim _x➝x0 [f(x)[-(g(x) - g(x₀))/(g(x)g(x₀)(x-x₀))]] + lim _x➝x0 [(1/g(x₀))(f(x) - f(x₀)) / (x-x₀)]
   • = [(g(x₀))f’(x₀) - (f(x₀))g’(x₀) / g²(x₀)]

TEOREMA - ESISTENZA DI UN PUNTO STAZIONARIO/DI ROLLÈ

Sia f : [a, b] → R continua in [a, b] e derivabile in (a, b).

Se f(a) = f(b) allora ∃c ∈ (a, b) t.c f'(c) = 0.

DIMOSTRAZIONE:

Per il teorema di WEIERSTRASS, f ammette max = M, min = m in f (dei max relativi, quindi derivata).

Se M = f(c₁) = f(c₂) = m quindi f costante (sono tutti cls derivati quindi f'=der. const.)

Se M = f(c₁) = f(c₂) > m quindi esiste un punto di minimo in (a, b)

⇒ ten_negra del teorema di FERMAT (ESTREMI=STAZ)

Se m = f(c₃) = f(c₄) ci raggiunge avvolgimento

OSS. il potere di DERIVABILITÀ non può essere senza

Ado esempio: |-1, 1| → R continua in |-1, 1|

|a| = |a|

eppure NON HA alcun PUNTO STAZIONARIO

esercizio: n stabilisca per quali valori di a; β∈R leu funzioni

• |x|⁴ sin ^(1/x) per x≠0
• β per x=0

è derivabile in 0 (negli altri punti è sempre derivabile)

lim_x→0 = 0

Cerchiamo prima: c se f continua: c = 0 (SE non c continuta allora NON É DERIVABILE: COS'FADINOMINALE)

lim_x→0^-0 |x|⁴ sin ^(1/x)

lim_x→0

cos'faridio in (0) = se a≠0

sf da 0

Avanti se f continua in 0 se a ≠ 0 e β = 0 (lim_x→0 f(x) = f(0))

⇐ Consideriamo x₁, x₂ ∈ (a, b) t.c. x₁ < x₂. Dobbiamo dimostrare f(x₁) = f(x₂)

Consideriamo f(x₂) - f(x₁) = f'(_c)(x₂ - x₁) con c ∈ (x₁, x₂) per TEOREMA DI LAGRANGE

x₂ - x₁ > 0

> 0 per ipotesi ⇒ f(x₂) - f(x₁) = f'(_c) (x₂ - x₁) = > f(x₂) - f(x₁) = 0; f'(₂) = f'(₁)

Conseguenze di TEST di MONOTONIA: CARATTERIZZAZIONE DEGLI ESTREMI:

Sia f: I → &R; con I intervallo aperto, derivabile,

• Se _x ∈ I t.c. ∃ 0:
  • nx (x - ^x₅)
  • [ x₁, x₈]
  • f' è CRESCENTE / f' è DECRESCENTE
  ⇒ _x ∈ un PUNTO DI MASSIMO

POSSONO ESSERE VERIFICATI STUDIANDO IL SEGNO DELLA DERIVATA

• Se _x ∈ I t.c. ∃ 0:
• nx (x - ^x₅)
• [ x₁, x₈]
• f' è DECRESCENTE / f' è CRESCENTE
⇒ _x ∈ un PUNTO DI MINIMO

TEOREMA - FUNZIONI + DERIVATA NULLA

Sia f: (a, b) → &R; derivabile t.c. f'(x) = 0 ∀ x ∈ (a, b). Allora f è COSTANTE

DIMOSTRAZIONE: f ó nì crescente nì decrescente en (a, b), quindi costante.

esercizi: Dimostrare che la funzione

x → 3 arctan x + arctan(2x)

è costante e calcolare l'unico valore è costante e calcolare l'unico valore arctan

f' (x) =    1     +                1      +                          1     +          1    = 

 x                                x(4 + x)          x²                x²+4

        4+x                                               = 0     (f è COSTANTE)

lim x→0 .......... arctan x x→0 arctan (..) + x arctan ∈ ∈ arc (-) - → ⁿ

x→∞

....................................

.................................... arctan (0)