Calcolo differenziale

CALCOLO DIFFERENZIALE

DERIVATE PARZIALI

Sia \( f:A \subseteq \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) e \( \bar{x} \in A \) punto interno ad \( A \). Se \( \bar{x} = (\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n) \) consideriamo la funzione di "una" variabile \( g(x_1) = f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \). La \( g \) è la restrizione della \( f \) alla porzione di retta passante per \( \bar{x} \) e \( x_1 \), contenuto in \( A \).

ESEMPIO:

\( f(x_1, x_2) \quad f:A \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} \)

\( g(x_1) = f(x_1, \bar{x}_2)\) con \(\bar{x} = (\bar{x}_1, \bar{x}_2)\) interno

Poiché \(\bar{x}\) è interno ad \(A\), allora \(\exists B(\bar{x}, r) \subseteq A\) quindi \(g : (\bar{x}_1-x, \bar{x}_1+x) \rightarrow \mathbb{R}\). Allora ha senso discutere la derivabilità di \(g\) in \(\bar{x}\)

\(\lim_{h \to 0} \frac{g(x_1+h) - g(x_1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_1+h, x_2, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{h}\)

Se il limite esiste finito, \(g\) è derivabile in \(x_1\), e la sua derivata è proprio il limite \(\bar{g}(x) = f'(x)\).

\(g^{'}(x_1) = d_{1}f(\bar{x})\) derivata parziale di \(f\) rispetto ad \(x_1\) in \(\bar{x}\).

Definizione:

Sia \(f : A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}\) e \(\bar{x}\) punto interno ad \(A\), si dice derivata parziale di \(f\) rispetto ad \(x_i\) (\(x_1, \ldots, x_n\)) nel punto \(\bar{x}\) e il limite, se esiste finito,

\( \frac{\partial}{\partial x_i}f(\bar{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_{i-1}, \bar{x}_i + h, \ldots, \bar{x}_n) - f(\bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n)}{h} \)

ALTRI SIMBOLI USATI: \(d_{i}f(x), \quad f_{x_i}(x), \quad D_{x_i}f(x)\)

CALCOLO DIFFERENZIALE

DERIVATE PARZIALI

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \quad \bar{x} \in A \) punto interno ad \( A \). Se \( \bar{x} = ( \bar{x}_1, \ldots, \bar{x}_n) \) consideriamola funzione ad "una" variabile \( g(x) = f( x_1, x_2, \ldots, x_n)\).La \( g \) è la restrizione della \( f \) alla porzione di retta passante per \( \bar{x} \) e\\ all'asse \( x_1 \), contenuto in \( A \).

ESEMPIO: \( f(x_1, x_2) \quad f: A \subseteq \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R} \)

\( g(x_1) = f \left( x_1, \bar{x}_2 \right) \quad con \quad \bar{x} = ( \bar{x}_1, \bar{x}_2 ) \quad interno \)

Perchè \( \bar{x} \) è interno ad \( A \) allora \( \exists B(\bar{x}, r) \subseteq A \quad quindi \quad g: ( \bar{x} - r, \bar{x} + r ) \rightarrow \mathbb{R} \).

Allora ha senso discutere la derivabilità di \( g \) in \( \bar{x} \)

\[\lim_{h \rightarrow 0} \frac{ g( \bar{x}_1 + h ) - g( \bar{x}_1 ) }{ h } = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{ f( \bar{x}_1 + h, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_n ) - f( \bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots, \bar{x}_n )}{ h }\]

Se il limite esiste finito \( g \) è derivabile in \( x_1 \) e la sua derivata è proprio il limite \( g '( \bar{x} ) \).

\( g' ( \bar{x} ) = d_{x_1} f( \bar{x} ) \) derivata parziale di \( f \) rispetto ad \( x_1 \) in \( \bar{x} \).

Definizione:

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} \quad \bar{x} \) punto interno ad \( A \), si dice derivata parziale di \( f \)rispetto ad \( x_i (i=1, \ldots, n) \) nel punto \( \bar{x} \) il limite, se esiste finito,

\[d_{x_i} f( \bar{x} ) = \lim_{h \to 0} \frac{ f( x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i + h, x_{i+1}, \ldots, x_n ) - f( x_1, \ldots, x_n ) }{ h }\]

• \( \forall \) altri simboli usati: \( d_{x_i} f( \bar{x} ) \), \( df( \bar{x} ) \), \( f_{x_i} ( \bar{x} ) \), \( D_{x_i} f( \bar{x} ) \)

Interpretazione geometrica nel caso m=2:

z = f(x₁, x₂) x̄ = (x̄₁, x̄₂) p.to interno a domf↳ generica superficie nel piano

g(x̄₁)_def= f(x̄₁, x₂)g'(x̄₁) =_deff(x̄) = df(x̄)_dx2

df(x̄)_dxé la retta tangente al sistema della curva z = f(x₂) intersezione del gruppo di f con il piano x₂ = x̄₂ nel puntop̄ = ( x̄₁, x̄₂, f(x̄₁, x̄₂))

ESEMPIO:

f(x,u) = x e^x4df(x,u)_dx= d_dx[x e^x4] =_defx e^x4 + x e^x4_fattou come constante

df(x,u)_du = x ⋅ x e^x4 = x² e^x4

Entrambe sono ben definite per∀ x, u ∈ domf

Derivate Direzionali

Sia v≠o in ℝ^m

_DefSia f: A ≤ ℝ^m → ℝ x̄ punto interno ad A. Fissato v vettore di ℝⁿ,v ≠o n direzionale di f lungo v in x̄ il limite, se esiste e finitodf(x)_dv = lim_h→0 f(x̄+h*v) − f(x̄)_h

_OssSe e₁, ..., e_m base canonica