Calcolo differenziale

Calcolo Differenziale

Derivate Parziali

Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) \( \bar{x} \in A \) punto interno ad \( A \). Se \( \bar{x} = (x_1, \ldots, x_n) \) consideriamo la funzione da "uno" variabile \( g(x_1) = f(x_1, \bar{x_2}) \) dove \( g \) è la restrizione della \( f \) alla porzione di retta passante per \( \bar{x} \) e all'asse \( x_1 \), contenuto in \( A \).

Esempio: \( f(x_1, x_2) : A \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \)

\( g(x_1) = f(x_1, \bar{x_2}) \) con \( \bar{x} = ( \bar{x_1}, \bar{x_2} ) \) interno

Poiché \( \bar{x} \) è interno ad \( A \), allora \( \exists B(\bar{x}, r) \subset A \) quindi \( g: (\bar{x_1} - r, \bar{x_1} + r) \to \mathbb{R} \).

Allora ha senso discutere la derivabilità di \( f \) in \( \bar{x} \)

\( \lim_{h \to 0} \frac{f(\bar{x_1} + h) - f(\bar{x})}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{f(\bar{x_1} + h, x_2, \ldots, x_n) - f(x_1, x_2, \ldots, x_n)}{h} \)

Se il limite esiste finito, \( g \) è derivabile in \( x_1 \) e la sua derivata è proprio il limite \( g'(x_1) \).

Definizione: Sia \( f: A \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) \( \bar{x} \) punto interno ad \( A \), \( d_{x_i} f \) derivata parziale di \( f \) rispetto ad \( x_i \) in \( \bar{x} \) nel punto se il limite, se esiste, finito

\( d_{x_i} f(\bar{x}) = \lim_{h \to 0} \frac{f(\bar{x_1}, \ldots, x_i + h, \ldots, \bar{x_n}) - f(\bar{x})}{h} \)

Altri simboli usati: \( d_i f(x) \), \( df(x) \), \( f_{x_i} (x) \), \( D_{x_i} f(x) \)

Interpretazione geometrica nel caso n = 2:

Z = f(x₁, x₂)

dentro a dom f

L’insieme superficiale nel piano:

g₁(x)^’ = d f(x)^’ / d x₁ g₂(x)^’ = d f(x)^’ / d x₂

d f(x)^’ / d x = la retta tangente al sistema

della curva z = f(x_k) intersezione del graficp

di f con il piano x₂= x₂ nel punto

P = (x_k, x_n, f(x_k, x_n))

Esempio:

f(x,y) = x e^x4

d f(x,1) / d x = 1 . e^x4+

d f(x,1) / d 4 = x . e^x4

tutto come costante

Entrambi sono ben definite per x_k, y_u a dom f.

Derivate Direzionali

Sia v x > 0 in IR^m

Def.:

f: A = IR^m→ R / x punto interno ad A.

direzionale di f lungo v in x

d f(x)^’ / d x = lim (f (x + h v) − f (x)) / h

Oss: Se f e_i, e_n, base canonica in IR^m allorad f(x)^’ / d e_i = d f(x) / d x_i

Esempio:

d r(0,0) / d v con v = (1,2) f(x,1) = |x| . y²

lim ((f(0+h, 0+2 h) + f (0,0)) − lim / h²)

f è differenziabile ∀ (x_⋅, y_⋅) ∈ ℝ²

∇x f = (2x, 2y) = 2(x, y)

ha direzione "radiale" (x, y)

Relazioni fra derivabilità, differenziabilità e continuità

• Abbiamo dimostrato: differenziabilità ⇒ derivabilità lungo ogni direzione (in particolare esistono le derivate parziali)

• In generale, non è detto che, se f derivabile lungo qualunque direzione ⇏/⍷ allora f differenziabile

Esempio:

f(x, y) =

1. x²y / x² + y⁴, se (x, y) ≠ (0, 0)
2. 0, se (x, y) = (0, 0)

dom f = ℝ²

Calcoliamo df / dv (0,0) con v = (α, β) ≠ (0,0)

df(0,0) / dv = lim_t→0 f(tα, tβ) - f(0,0) / t = lim_t→0 x²ξ²βξ - (0,0) / (α²ξ² + βξ²) ξ = α² β / α² + β²

Per dimostrare che non è differenziabile, mostriamo che non vale la formula del gradiente.

df(0,0) / dx = 0 df(0,0) / dy = 0 ∇_(0,0)f = (0,0)

Le derivate parziali esistono e sono continue su R², dunque per il criterio precedente f è differenziabile in ogni punto (x,y) ∈ R²

ESEMPIO: f(x,y) =

• xxxxx₄ / xxxxx²+yx² se (x,y) ≠ (0,0)
• 0 se (x,y) = (0,0)

dom_f = R²

È f continua in (0,0)? Verifichiamo che lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) = 0

|xxxxx₄ / xxxxx²+yx²| = xxxxx₄ / xxxxx²+yx² ≤ x² = x² → 0 per √(x²+y²) → 0

⮕ f è continua in (0,0)

Calcoliamo le derivate direzionali lungo v (v=(α,β), ≠(0,0))

df_v(0,0) / dv = lim_t→0 [(f(0+tα,0+tβ) - f(0,0))] / t = lim_t→0 [t₄α⁴] / [t.(t²α²+t²β²)] - lim_t→0 [(t₄α⁴ / α⁴+β⁴)] = 0   ∀α,β≠(0,0)

Dunque f è derivabile lungo ogni direzione v in particolare

df(x) / dx (0,0) = 0, df / dy (0,0) = 0

Allora ▽f(0,0) = 0. Vale la formula del gradiente

infatti df_v(0,0) = ▽f(0,0) ⋅ v per v≠0

Verifichiamo con la definizione se la funzione è differenziabile:

f(h,k) - f(0,0) = ▽f(0,0) ⋅ (h,k) + o(√(h²+_k))

=0

Dobbiamo dunque trovare f(h,k) = o [√(h²+k²)]

per √(h²+k²) → 0

lim_h,k→0 (h⁴ / √(h²+k²)^3/2) = 0

Usiamo il teorema del confronto:

xxxxx₄ / (h²+_k²_1/2 = h⁴ / (h²+_k²)^3/2 =

xxxx²₂(^3/2 ≥● √(h₂+_k²)^3/2 · 1 / (h³ ≤ 1 / h³)

h⁴/³ → |h| → Moreover Thus 0 Differenzabile funzione isf