Calcolo differenziale

CALCOLO DIFFERENZIALE: DERIVATA

Già introdotto in fisica, analizza le variazioni infinitesimali di una funzione.

Data una variabile indipendente in x incrementata di h, e una funzione in f(x ),

0 0

incrementata fino ad arrivare a f(x +h), si dice “rapporto incrementale” il

0

rapporto fra l’incremento della funzione e l’incremento della variabile

indipendente. Per valori di h sempre più piccoli, e quindi variazioni

“infinitesimali”, si avrà che:

( )−f

+h (x)

f x

dy d

' ( ) ( )=lim

f x , , f x

dx dx (¿

x+ h−x h)

h→ 0

Molte definizioni sono analoghe ai limiti, essendo la derivata un limite. Una

funzione definita su un intervallo I, con un punto x appartenente ad I, si dice

0

derivabile in quel punto se esiste, finito, il limite sopra, se la funzione è

derivabile in tutti i punti di I, essa si dice derivabile in I.

Come per i limiti, si dice che esiste la derivata se esistono e sono uguali

derivata destra e sinistra, quindi h tende a 0+ per destra, a 0- per sinistra.

Per questo motivo non esiste la derivata in 0 della funzione |x|, in quanto la

derivata destra è 1, quella sinistra è -1.

La derivabilità di una funzione in un punto ne implica la continuità in quel

punto, ma non viceversa.

Dimostrazione: sul quaderno.

Data una derivata di una funzione, se esiste la derivata di questa derivata, si

dice che la funzione è derivabile due volte e la derivata della derivata è detta

derivata seconda e si scrive:

2

d d d

'' ( ) = ( )= ( (

f x f x f x))

2 dx dx

dx

La derivata n-esima si scrive:

n

d d

(n) (n−1)

= = (f )

f n dx

d x

Data la funzione quadratica (x al quadrato), per n maggiore o uguale di 3, si

avrà risultato 0. OPERAZIONI CON LE DERIVATE

Derivata di una somma di due funzioni:

' '

( )

+ =f +

f g g '

Ovviamente si intende nel punto x , dimostrabile facilmente con la definizione

0

di derivata.

Derivata di una funzione per una costante: