Calcolo differenziale

Calcolo differenziale: derivata

Già introdotto in fisica, analizza le variazioni infinitesimali di una funzione. Data una variabile indipendente x incrementata di h, e una funzione f(x) incrementata fino ad arrivare a f(x + h), si dice “rapporto incrementale” il rapporto fra l'incremento della funzione e l'incremento della variabile indipendente.

Per valori di h sempre più piccoli, e quindi variazioni “infinitesimali”, si avrà che:

(f(x + h) - f(x)) / (h) = lim (h → 0) [dy/dx] = f'(x)

Molte definizioni sono analoghe ai limiti, essendo la derivata un limite. Una funzione definita su un intervallo I, con un punto x₀ appartenente ad I, si dice derivabile in quel punto se esiste, finito, il limite sopra. Se la funzione è derivabile in tutti i punti di I, essa si dice derivabile in I.

Come per i limiti, si dice che esiste la derivata se esistono e sono uguali derivata destra e sinistra, quindi h tende a 0⁺ per destra, a 0^- per sinistra. Per questo motivo non esiste la derivata in 0 della funzione |x|, in quanto la derivata destra è 1, quella sinistra è -1.

La derivabilità di una funzione in un punto ne implica la continuità in quel punto, ma non viceversa. Dimostrazione: sul quaderno.

Derivata seconda e n-esima

Data una derivata di una funzione, se esiste la derivata di questa derivata, si dice che la funzione è derivabile due volte e la derivata della derivata è detta derivata seconda e si scrive:

(d²f/dx²) = f''(x)

La derivata n-esima si scrive:

(dⁿf/dxⁿ) = f⁽ⁿ⁾(x)

Data la funzione quadratica (x al quadrato), per n maggiore o uguale di 3, si avrà risultato 0.

Operazioni con le derivate

Derivata di una somma di due funzioni:

(f + g)' = f' + g'

Ovviamente si intende nel punto x₀, dimostrabile facilmente con la definizione di derivata.

Derivata di una funzione per una costante: