Calcolo differenziale

CALCOLO DIFFERENZIALE

Mancato Uno

la retta y = mx + g passante per i punti (x₀,f(x₀)) (x,f(x))Determinare m e g{ f(x) = mx + g{ f(x₀) = mx₀ + gsottraendo f(x) - f(x₀) = mx - mx₀rapporto incrementale

m = ^{f(x) - f(x₀)}/_{x - x₀}

q = ^{f(x) - f(x₀) - f(x₀)}/_{x - x₀}

Def.

f:(a,b) → ℝ, x₀ ∈ (a,b), diciamo che f è derivabile se esiste limitex₀ limite del rapporto incrementale per x → x₀∃ lim_x→x₀ ^f(x)-f(x₀)/_x-x₀ → ±∞f'(x₀) = lim_x→x₀ ^f(x)-f(x₀)/_x-x₀

f derivabile in (a,b) ≠ intende che ∃ f'(x) ∀ x ∈ (a,b)lim_x→x₀ ^f(x)-f(x₀)/_x-x₀ = lim_h→0 ^{f(x₀+h)-f(x₀)}/_h

f:(a,b) → ℝ derivabile x ∈ (a,b) → f'(x) ∈ ℝf':(a,b) → ℝ x → f'(x)f''(x) = lim_h→0 ^{f'(x+h)-f'(x)}/_h

Legame tra continuità e derivabilità

↓

∃ lim_x→x0 f(x) = f(x₀)

⫬ lim_x→x0 f(x) - f(x₀) <+∞

Teorema: se f è derivabile in un punto x allora f è continua

dim.

lim_x→x0 f(x) = f(x₀)   lim_x→x0 [f(x) - f(x₀)] = 0

⇒ lim_x→x0 f(x) - f(x₀) (x-x₀) = f_'(x₀) lim_x→x0 [f(x) - f(x₀)] / (x-x₀) = 0 ⇒ f è continua

ex.

f(x) = |x|

continua   lim_x→0 f(x) = lim_x→0 |x| = 0 = f(0)

derivata   lim_h→0 (f(x+h) - f(x)) / h = lim_h→0 |h| / h = lim dx ≠ lim not dx ≠ lim ≠ ⇒ f lim quindi non derivabile in 0

ex.

f(x) = x³&sqrt;x continua in ℝ

lim_x→x0 f(x) - f(x₀) x-x₀ = lim_x→0 f(x) f(x₀) - f(0) = lim_x→0 |√x| = lim_x→0 |√1/x²| = ≠ ±∞ ⇒ f non derivabile in x₀

Studiamo rapporto incrementale

m = f(x) - f(x₀) / x-x₀ = 1 / |x⁰ = ±∞

In generale se f'(x₀) ≠ ±∞ (ancora ≠) il punto (x₀, f(x₀)) si chiama punto a tangente verticale

Inversi delle funzioni trigonometriche

1) \(f(x)=\sin x\colon \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]\to [-1, 1] \quad D[\arcsin y] \quad \frac{1}{D[\sin x]} = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{\sqrt{1-\sin^2 x}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)

2) \(f(x)=\cos x\colon [0, \pi]\to [-1, 1] \quad D[\arccos y] = -\frac{1}{D[\cos x]} = -\frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\sqrt{1-\cos^2 x}} = \frac{1}{\sqrt{1-y^2}}\)

3) \(f(x)=\tan x\colon \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)\to \mathbb{R} \quad D[\arctan y] = \frac{1}{D[\tan x]} = \frac{1}{1+\tan^2 x} = \frac{1}{1+y^2}\)

Teorema di Fermat

\(f\colon (a, b)\to \mathbb{R} \quad x \in (a, b) \quad f \text{ derivabile in } x_0 \quad x_0 \text{ estremo relativo}\)

\(\Rightarrow f'(x_0)=0\)

dim.

\(x_0\) massimo relativo cioè \(\exists \delta>0\) t.c. \(f(x)\leq f(x_0) \quad \forall x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)\)

\(\Rightarrow (f(x)-f(x_0)\leq 0\)

• \(f\) per ipotesi derivabile

\(\Rightarrow \exists \lim_{x\to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} < +\infty\)

esistono \(\pm x_0\) segni: \(\text{limiti dx e sx del rapporto incrementale, segni}. = 0\)

\(\Rightarrow \lim_{x\to x_0^-} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} = 0 = f'(x_0)\)

Def.: I punti in cui si annulla la derivata prima di una funzione sono detti punti critici.

Il teorema di Fermat afferma che se \(x_0\) estremo relativo \(\Rightarrow x_0\) stazionario.

esistono punti critici che non sono né massimi né minimi

Criterio di concavità

• f: [a,b] → ℝ
• f derivabile in (a,b)
• f' derivabile in (a,b)

a) f concava in [a,b]

b) f′ decrescente in [a,b]

c) f''(x) <= 0 ∀x ∈(a,b)

dim

b) <=> c) segue dal criterio di monotonia applicato alla funzione f'

a) <=> b)

(=>) f' è decrescente in [a,b]

siano x₁, x₂ ∈ [a,b], x₁ <= x₂

?

f(x₂) <= f(x₁)

Per il teorema di f:

1) f(x₂) > f(x₁) + f'(x₁)(x₂−x₁) ∀x

2) f(x₁) ≥ f(x₂) + f'(x₂)(x₁−x₂) ∀x

Saggiiamo in 1) x = x₂ → f(x₂) ≥ f(x₁) + f'(x₁)(x₂−x₁)

2) x = x₁ → f(x₁) ≥ f(x₂) + f'(x₂)(x₁−x₂)

Sommi membro membro

f(x₂) + f(x₁) ≥ f(x₁) + f'(x₁)(x₂−x₁) + f(x₂) + f'(x₂)(x₁−x₂)

Or f'(x₁)(x₂−x₁) + f'(x₂)(x₁−x₂)

≠ f'(x₂)(x₂−x₁)

⟹ f'(x₂) ≥ f'(x₁) ⟹ f' è decrescente