Asintoti e continuità di funzioni - Analisi matematica

Lezione 22

Asintoto orizzontale ed obliquo

Supponiamo che il dominio di una funzione sia illimitato superiormente oppure inferiormente. Quindi il dominio della funzione contiene un intervallo del tipo (a, +∞) oppure (-∞, b).

Definizione: Se lim_x→+∞ f(x) = L oppure lim_x→-∞ f(x) = L, allora la retta di equazione y = L si dice asintoto orizzontale per f.

Definizione: Se ∃ m, q ∈ R con m ≠ 0 tali che lim_x→+∞ [f(x) - (mx + q)] = 0 oppure lim_x→-∞ [f(x) - (mx + q)] = 0, allora la retta di equazione y = mx + q si dice asintoto obliquo per f.

Regola pratica per trovare l’asintoto obliquo:

• Se lim_x→±∞ f(x) = ±∞, l’asintoto orizzontale non esiste e quindi si può cercare un eventuale asintoto obliquo nel seguente modo:
• Calcolare lim_x→±∞ f(x) / x = m. Per essere valido, m deve essere un valore reale diverso da 0.
• Calcolare lim_x→±∞ [f(x) - mx] = q. Per essere valido, q deve essere un valore finito.
• La retta di equazione y = mx + q è l’asintoto obliquo di f.

[Esempi esercizi su slide]

Ricorda: Se una funzione è pari e il suo dominio è illimitato (R), è possibile studiare gli asintoti per x→+∞ e ottenere i corrispondenti asintoti per x→-∞ per riflessione rispetto all’asse delle X.

Asintoto verticale

Sia x₀ ∈ R e supponiamo che f sia definita in un intorno destro e/o sinistro di x₀ (che può non appartenere al dominio).

Se lim_x→x0⁺ f(x) = ±∞ oppure lim_x→x0^- f(x) = ±∞, allora la retta x = x₀ si dice asintoto verticale per f.

[Esempi esercizi su slide]

Ricorda: log.

Funzioni continue

Definizione: Sia f : X ⊆ R → R, con X e 0 ∈ X. Se x₀ è un punto isolato di X, si dice continua in x₀. Se x₀ è un punto di accumulazione di X, si dice continua in x₀ se lim_x→x0 f(x) = f(x₀) (il limite per x→x₀ coincide con il valore che la funzione assume in quel punto).

Ricorda: Se &egr