Lezione 22: Asintoto orizzontale ed obliquo
Supponiamo che il dominio di una funzione sia illimitato superiormente oppure inferiormente. Quindi il dominio della funzione contiene un intervallo del tipo (-∞, a) oppure (b, +∞).
Definizione: Se lim f(x) = L quando x tende a +∞ oppure x tende a -∞, allora la retta di equazione y = L si dice asintoto orizzontale per f.
Definizione: Se lim f(x) - (mx + q) = 0 quando x tende a +∞ oppure x tende a -∞, allora la retta di equazione (mx + q) = 0 si dice asintoto obliquo per f.
Regola pratica per trovare l'asintoto obliquo:
- Si calcola lim f(x) quando x tende a +∞ oppure x tende a -∞.
- Se il limite esiste, l'asintoto orizzontale non esiste e quindi si può cercare un eventuale asintoto obliquo nel seguente modo: lim f(x) - mx = 0 quando x tende a +∞ oppure x tende a -∞.
1. Per essere valido, q deve essere un valore finito diverso da 0.
2. Si calcola limx→±∞ f(x) = q.
3. La retta di equazione y = mx + q è l'asintoto obliquo di f.
[Esempi esercizi su slide]
Ricorda: Se una funzione è pari e il suo dominio è illimitato, è possibile studiare gli asintoti per x→+∞ e x→-∞ per ottenere i corrispondenti asintoti per x→+∞ e x→-∞ per riflessione rispetto all'asse delle X.
Asintoto verticale:
Sia x0 e supponiamo che f sia definita in un intorno destro e/o sinistro di x0 (che può non appartenere al dominio).
Se limx→x0 f(x) = +∞ o limx→x0 f(x) = -∞, allora la retta x = x0 è un asintoto verticale per f.
[Esempi esercizi su slide]
Ricorda: logb(0) non è definito.
Funzioni continue:
Definizione: Sia f: X→R con X⊆R. Se f è un
punto isolato di X, si dice continua in .x xf0 0Se è un punto di accumulazione di X, si dice f0continua in sex 0( )( )=f (il limite per coincide con il valore che lalim f x x x → x0 0x → x 0funzione assume in quel punto).Ricorda: Se è un punto di accumulazione per X,∈x X0 ( )lim f xallora esisterà sicuramente e sarà sicuramentex →x 0uguale a . Inoltre, se la funzione è continua nel puntox 0, allora appartiene ad X.x x0 0Ricorda: Le funzioni , sono tuttex αsin x , cos x , tan x , a , log x e xafunzioni continue in ogni punto dei rispettivi domini.Definizione: Se una funzione è continua , la∀ ∈f x Xfunzione si dice continua in X e si scrive (come( )∈Cf f Xle funzioni prima citate). In questo caso la funzione ècontinua sia da destra che da sinistra.Definizione: Sia è un punto di accumulazione destrox 0oppure sinistro per il dominio di una funzione. Se+¿ -¿( ) ( )=f (x )
Definizione: Sia f una funzione con dominio X e codominio R, e sia x un punto in X. Se f non è continua in x, si dice punto di discontinuità di x.
Esistono tre tipologie di punti di discontinuità:
- Punto di discontinuità eliminabile: se esiste il limite destro e il limite sinistro di f in x e sono uguali, ma diversi dal valore di f in x.
- Punto di discontinuità non eliminabile di prima specie: se esiste almeno uno dei limiti destro o sinistro di f in x e sono diversi tra loro, o uno dei limiti destro o sinistro di f in x non esiste.
- Punto di discontinuità non eliminabile di seconda specie: se f non è continua in x e nessuno dei limiti destro o sinistro di f in x esiste.
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Esercizio sugli asintoti delle funzioni
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Funzioni, limiti e dimostrazioni limiti notevoli, asintoti, continuità
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Analisi matematica 1 - Asintoti obliqui e orizzontali
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