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R XOERAxe R Sia( ) :-c×-: ^E( + _ f-luie G) C=✗ xo→Ec- - Ii( ) >✗✗ o_O Oto✗✗ oCONTINUITÀ RFUNZIONE IDENTITÀDI≥ DIes . f f-RR XOERV- SiaR( ) ✗: :-. c-✗- × / f)4r Lui XO✗ =fc » ✗✗ → o--- i.¥flxo ) ✗-_ -- , |, fissatoI Sia E >oFEFÈ .>!× { E,- _ fa /fa /=//E Xo» ✗)> --fTÉÉÈÌ>Scegliendo ho // Ex-xolo.dkSCE ) ) EcheE:-. =faline funzione2=43 la✗CS 2'cioe ) ✗: =. 2✗ → continua'E ✗ 0=2in^ 2✗ Possiamo [ ]limitarci 721,3C-✗afissato4 - - ,-. E >0 :Il >'2=1/0 /// /=/ /=/f-/ flx ) 2-()E 4 ✗ +2✗ ✗ -2✗> o- / /[ ] 5sia allora1,3 +2 ≤✗ ✗C- e // // f-=/-2/1×+21=1×2-4 / flxE (2)-2✗ > )> s ✗- -→ maggiorana5di .Scegliendo hoSCE) E /: = 5 /// =// // // +21 2E§ 5 -4-2✗-2 ✗≥< ✗✗ -2×> f- I/ fai (2)_=)line (1 Asintoto verticale4CS •+=. -1×1o✗ → f-fisso

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( li)line la7 ( )) g .×. =✗ ✗ O→line laI gcx ) =✗✗ → o }Lui fcxt.li75 . ✗ ✗→ o §g ¥line7 =✗ ✗ o→lui 841--12=107- ✗✗ → o f IR:DPERMANENZA6 DiSEGNODEL → c-: ✗ ◦, !NOTA BENEf { f1¥ la di'> e cosao stessala linfaenf =Ll'3- )✗ Xo✗ →oMONOTONIA7. f- }≤ gJ-ljf.li lala ≤7k¥ 8=12 }f- g.ch8 71¥ l≤ g-. -f- lyeh7hm :L==✗ oDIM : f- hcx d--1-1E ( E)gcx )) << ≤ le≤ aggiungo× maggior e- -- - di E Eeminore -f- // l E( ) <× -COMPOSTA10 LIMITE FUNZIONE. f- 8 f-> Rdi☒ →:!☐ i. ,e(× . . (f)> InRD= D=g ≤→:)f- Da(f) ( ✗) c-()( g. ××go : =f- line] lDi g( )line I7 ERXo line faAllora' :LYo Dac- g )c- ::-. -= ', ,✗ Xo✗y° →. ,DIM *}{ }Sedi Yo 18191 /| lVEl' E7 Jae=L <-,m ◦>> og : IY / ore )Yo <-Io }/ }✗/ di f- /≤ ° /✗ 'EYo)(f- <× -jjyol'] )V.Yo 'E . /◦

(E)>m d'/o>= : Xo× <-✗ o SCESCEFissiamo E') )0,7 ScegliamoE > 0> =. . ,. . . .)d' (E)3- died' ( )=/ /f- d' (E)Yo la' #( E) < per× - =18 fin) // l E<-CONTINUITÀ INVERSA11 DELLA FUNZIONE. f d)(:( (b) b)di aa. puntoc. continua→ ogniin ,f-Se definitabieitiva'e la'eallora inversasuaf- f- f- (("' )f- 'fina):( ( )b) ( )✗ ya.→ yc. - -- ,( (b) d)a.C- c-✗ y c.( d)dicontinua ogni punto'e inquesta c.e )"417 41ft^ >④EF funzioni }{ le definited' tutteInsieme sudDEIR ( )( Ddicontinueche in ogni☐ sono: puntoe=to PROPRIETA CONTINUEFUNZIONI'f.ge f- f- Iuilf) ( ))Cla(D) Dz(D) EC4(1 D2≤ g[tg Ec- .. ,gof (D)<c-f. f.( (D) (D)2 (=)g C-g.c-. f- biettivo(D)( iniettiva '5 cioeC-.7,9 (f)(d) } D In D=tra3 alloraC- G-< e :=. CCD) f-c- ' ( )(c- D=9=10COSTRUZIONE FUNZIONIDI CONTINUECLASSIVARIEDI ^f-f- )( fissatoHER(R CERR1 c): × c- ◦◦ -- !fo )( (R )C.

dimostratoallora E già ià i s✗ o^ )fr bisettrice(fn GfiR AxeR R( )2 × ×- :-.: " "" "≤" " fafa R V-xe.IRR )( 23 -: × ✗:-.fi 2f-fa ✗( (( ))) × ✗ xx xn. -= =fa f- fa funzioniProdotto di continue2←n .=per funzionedella prodotto dicontinuità continua >( )precedenteTeo . fafre ha CCR)( )R sipoiche' c C-fnfn RR In"( )4 ×× o- ≥: =fo () )(C R dimostrato'giaE fn )( Rsupponiamo Cche E :fan fif- FXER)( (^ ) (" +) a. × ××✗ ✗× -n== =f- ni-n-fn.fiPer precedenteteoremail fn })(R HpC. perE fntn )(RCE¥ )( R( dimostratoc- giàfnPrincipio )( InRdi induzione CE 0≥?⃝ POLINOMICONTINUITÀ5 DEI ÈP NPGRR ") '✗ t CN ✗( ✗( Cz✗( +→ +: 1-': n --n= = o . -.. .»n 1)( PLXR)P ( dovegrado ) 2-CNN =/ esCn C- ✗co ✗se CN +0: == ,. .. . .., ,Poiche funzionifunzioni le' prodottoSonno sonodi potenzetalie

Sono continue tutte le funzioni polinomiali su R.

La continuità di una funzione f: R → R è definita come:

Una funzione f è continua in un punto c se:

lim x → c f(x) = f(c)

Poiché i polinomi sono funzioni continue, ogni polinomio P(x) di grado n ha dominio R e continua in ogni punto.

Non ci sono punti in cui la continuità viene persa.

La continuità di una funzione f: R → R può essere verificata utilizzando il limite destro e sinistro:

lim x → c+ f(x) = lim x → c- f(x) = f(c)

Quindi, una funzione è continua se il limite destro e sinistro esistono e sono uguali al valore della funzione nel punto c.

Per esempio, la funzione f(x) = sin(x) è continua in ogni punto del suo dominio, che è l'insieme di tutti i numeri reali.

Dettagli
Publisher
ludovica.pezzino
A.A. 2022-2023
11 pagine
SSD Scienze matematiche e informatiche MAT/05 Analisi matematica
I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher ludovica.pezzino di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi e geometria I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Politecnico di Milano o del prof Cipriani Fabio Eugenio Giovanni.