Appunti teorici Elaborazione delle immagini

Camera Pinhole (Stenopeica)

Un apparecchio di acquisizione di immagini funziona raccogliendo la luce riflessa dagli oggetti in scena e creando così un'immagine bidimensionale. Il modello più semplice è quello della camera pinhole.

Se P è un punto della scena e di coordinate (X, Y, Z) e P' è la sua proiezione nel quadro (o piano immagine) di coordinate (X', Y', Z') attraverso il foro C (punto di vista o centro di proiezione). Se f è la distanza tra C e il quadro (lunghezza focale), allora segue, per la similitudine dei triangoli, che:

X' / f = X / Z

Y' / f = Y / Z

Z' / f

Il segno meno è applicato poiché l'immagine appare invertita nel quadro.

Questo processo di formazione dell'immagine prende il nome di proiezione prospettica. La divisione per Z è responsabile dell'effetto di scorcio prospettico. Le dimensioni dell'immagine vengono intese alla distanza dell'osservatore.

Il segno negativo può essere rimosso ponendo l'origine davanti.

Se l'oggetto inquadrato è sottile se confrontato con la

distanza della fotocamera, si può approssimare

la sua proiezione prospettica con la proiezione ortografica

(o weak perspective). Se la profondità z del p.t.

dell’oggetto varia in un intervallo z₀ < Δz con Δz << z₀,

allora il fattore di scala prospettico si può approssimare

con una costante: f/z₀, che implica:

X’ = _f/^z₀ X , Y’ = _f/^z₀ Y.

Immagini digitali

In una fotocamera digitale, il sensore è costituito

da una matrice CCD, che può essere immaginata come

una matrice di m x n celle rettangolari fotosensibili. L’insieme

di queste celle converte l’energia di luce che le colpisce

in potenziale elettrico. La matrice CCD viene

convertita in immagine digitale, ossia una matrice

N x L di numeri, che luminai in questa matrice

prendono il nome di pixel. Si indica con I(u,v)

l’intensità luminosa dell’immagine nel pixel u orige v e

colonne u, la dimensione della matrice CCD.

Necessariamente è quella della matrice di pixel, per cui:

N_pix = ^N/_m u_CCD , V_pix = ^N/_m v_CCD.

Quando ad un pixel corrisponde un’area C

della impronta del pixel. Presumendo l’impronta del pixel a immagine

Si considera un punto M di coordinate M = [X, Y, Z]_∞ nello spazio 3D (3∞−esimo mondo) e si∞ di coordinate m = [u, v] la sua proiezione su ℝ per ℂ_&fin;.

Per mezzo della similitudine dei triangoli, solo che:

α = − u / z = v / y * (Il segno è usato per tenere conto dell'inversione di segno delle coordinate)

e quindi:

• u = − x / z
• v = − y / z

= Proiezione Prospettica

La trasformazione è non lineare (a causa della divisione per z). Utilizzando coordinate omogenee diviene lineare, perciò:

• m = [u, v] e M = [x, y, z]_&fin; è l'equazione prospettica di riferimento.

τ = z

• u v = z^-1 x
• ^-y/z = z^-1 z
• ^z = z^{-1 z}
• ^t 0
• 0 ^z = 1 / y z ^{-y -z}

Im moltiplicazione matrice:

m = 1 / z PM (m ≈ PM)

dove m = P rappresenta il modello geometrico delle camere ed è chiamato MATRICE di PROIEZIONE PROSPETTICA (MPP)

Quindi per M pts si ottiene un sistema di CM equazioni lineari omogenee che si può scrivere come:

Avec(P^T) = 0,

dove A è la matrice 2Nx12 dei coefficienti e dipende dalle coordinate dei punti dei cal\:colabiazioni mentre il vettore delle incognite vec(P) contiene i 12 elementi di P (cioè per A anche l_i la matrice HPP è trasformata in vettore per scansione delle righe). Questo sistema di equazioni è risolto con il metodo dei minimi quadrati. Questo metodo è detto

DIRECT LINEAR TRANSFORM (DLT).

STEREOPSI:

La STEREOPSI COMPUTAZIONALE è il processo che consente di ottenere informazioni sulla struttura 3D delle scene a partire da una coppia di immagini, che provengono da 2 telecamere che inquadrano la scena da posizioni differenti. Consiste di 2 sottoproblemi:

1. Il calcolo delle corrispondenze, è accoppiamento tra le proiezioni dello stesso punto della scena (pr: CONIUGATI)

2. TRIANGOLOZIONE: Compilato il punto o e noti i parametri interni del sensore (ovvero le due HPP) si può risalire a per TRIANGOLOZIONE la posizione nello spazio dei punti proiettati nelle due immagini.

Quando:

• i pirnidi visivi della due camere (o delle nuove MPP) sono incerteate
• l'orientamento riguale per entrambe le camere differisce solo per una rotazione (una tiessa per camera)
• parametri interni sono riguali per le 2 camere
• le 2 MPP nuove differendo tra loro solo per le pirnidi visise, si possono vedere come una singola camere

Translate lungo l'asse X.

Le 2 MPP sono definite come:

P_m = {K[RI - RC^˜]}, P_m = {K[RI - RC^˜]}

R = ^[r_x1˜/_rx2^˜] com m₁, m₂ che sonopiatti sull'asse gli assli X, Y, Z dell del problema di inf. elle B meno espresse in coatri modo.

Si considera, adesso, la convoluzione di 2 funzioni continue

f(t) e h(t), di sensibile interesse, utilizzando

l'integrale anziché la sommatoria. Questa convoluzione

è definita come:

f(t) * h(t) = ∫_-∞^∞f(τ)h(t - τ)dτ

Il segno - (linea sopra) del flipping, τ è lo spostamento

necessario per lo scorrimento di una funzione

sull'altra e τ è la variabile d'integrazione.

La TRASFORMATA DI FOURIER di queste equazioni

è definita come:

ℱ{f(t) * h(t)} = ∫_-∞^∞∫_-∞^∞f(τ)h(t - τ)dτ e^-j2πtμdt

= ∫_-∞^∞ [∫_-∞^∞f(τ)h(t - τ)e^-j2πtμdt] dτ

Trasformando tutto f con h(t - τ)

=> ℱ{h(t - τ)} = H(μ)e^-j2πτμ con H(μ) è la trasformata di F di h(t).

=> ℱ{f(t) * h(t)} = ∫_-∞^∞∫_-∞^∞f(τ)H(μ)e^j2πτμdτ = H(μ)∫_-∞^∞f(τ)e^-j2πτμdτ

= H(μ)F(μ) ∞ ∞ (h(t)f(t))

La convoluzione È COMMUTATIVA! (Si può invertire l'ordine) di f(t) e h(t)

Nella pratica, gli effetti di aliasing possono essere ridotti (e non eliminati) dallo smoothing della funzione di input, che ne attenua le frequenze più alte. Questo processo, che è detto anti-aliasing, va effettuato prima del campionamento della funzione (l'aliasing non può essere "eliminato dopo").

Campionamento

Analogamente a quanto avviene nel caso monodimensionale, si può modellare il campionamento 2D utilizzando le funzioni di campionamento (un treno di impulsi):

∫_-∞