Appunti sulle oscillazioni

Oscillazioni

• Oscillatore armonico smorzato:

mx ̈ = −kx −bẋ

x ̈ = − k/m x − b/m x ̇

d²x/dt² = -ω₀²x - 2γdx/dt

ω₀² = k/m   2γ = b/m

p.c.: λ² + 2γλ + ω₀² = 0

λ₁,₂ = -γ±√(γ²-ω₀²)

• _−γω₀ -

1. Smorzamento semplice o critico

γ > ω₀

→ due radicali reali e distinti

x(t) = A e^( (sqrt(γ²-ω₀²))t) + β e^(- (sqrt(γ²-ω₀²))t)

2. Smorzamento critico

γ = ω₀

→ radicali reali coincidenti

x(t) = (A + Bt) e^(-γt)

Fare alcune oscillazioni:

γ(t=0) = k₀

γ(t=0) = v₀

β = £₀

dx/dt = -Aγte^(λt) + A e^(λt) γβ e^(λt) e^(λt) = [Aγt - Aγβ]

γ(t=0) = γ - Aγβ - A(e^(γt))

x(t) = e^(−γt) [x₀ + γ₀t − ½γx₀ − ½γβ]

x(t)= e^(−γt) [x₀ + γ₀t − ½γx₀ − ½γβ]

x(t) = e^(−γt) [k₀ + γv₀t ½γx₀k₀]

s = 1/γ · √v² + y²x₀²

v(t) = dx/dt = 0

Oscillazioni

Oscillatore armonico smorzato

mx = kx - bx

d²x/dt² = k/mx - b/m dx/dt

ω₀² = k/m

d²x/dt² + b/m dx/dt + ω₀²x = 0

p.c.: x(0) = x₀, x'(0) = v₀

x_1,2 = -b/2 ± √[b²/4 - ω₀²]

δ = b/m, δ = √[b²-4ω₀²/2] = x₀ - v₀

1. Smorzamento semplice

δ² > ω₀²

- due radici reali distincte

x(t) = A e^{(δ - √(δ²-ω₀²)t)} + B e^{(δ - √(δ²-ω₀²)t)}

2. Smorzamento critico

γ² = ω₀²

- radice real coincidente

x(t) = e^γt(At + B)

Fare almeno un'oscillazione:

γ (t=t₀) = x₀

γ (t=t₁) = v₀

β = t₀

dx/dt = -Aγte^γt + Ae^γt - B e^γt

x(t=t₀) = Ae^γt₀ - A - B

x(t=0) = e^-γt₀(γt₀x₀ - x₀ + yB)

x(t=1) = -e^-γt₀(γ t₁ x₀ - v₀ + γ y B)

= e^{-γ t₀}(x₁ γ t₁ - v₀)

= e^{-γ t₀}(x₀ γ t₁ - v₀)

Se x = 1/γ; x = 2/γ; x = 2/γ

v(t) = d²/dt² = 0

3. Smorzamento Sottocritico.

γ² < ω_o²

-> radici complesse coniugate

x(t) = A e^γt C₁(ω₁t-y) + B e^γt C₂(-ω₁t-y)

= C e^γt C₁(ω₁t-y)

Energia nell’oscillatore armonico smorzato.

x(t) = c e^-γt C₁(ω₁t-y)

γ = ω_o

ν_T(t) = c² e^-2γt [ω₁ sin (ω₁t-y)]

K = 1/2 m ω₁² c² e^-2γt C₁(ω₁t-y)

U_Ec1 = 1/2 k c² e^-2γt C₁(ω₁t-y)

E_m = K + U_Ec1 = 1/2 k c² e^-2γt ω₁² (ω₁t-y) - 1/2 k c² e^-2γt C₁(ω₁t-y)

ω₁² = ω² - γ²

= 1/2 k c² e^-2γtC₁(ω₁t-y)

Fattore di qualità.

Q -> fattore di qualità

T = 2π/ω_m

ΔE = dE/dt = -γ kc² e^-2γt * E_m / ΔE = _ΔE/_Em

ΔE_m - V_m / E_m 1/ 2π -> Q

• Esempio:

  F = 440 Hz

  E_s(t)   E_s(t+T) = 5     →   joule ∫ L c(t) ₀ v _t

  C = joule 2.6 mg (roughly 350 C) ^f

  w₀ =j825f

• Oscillatore armonico forzato

  m = -ky - bv + E(t)

  v =bk y   b = ∑ C(v)

  w₀ =u   ,   b⌝ = a⌗b

  dt׳ x׳׳ + yz dt׳ w׳ 〈LEUV w׳׳ x + v =t &dt ^_(v) F (E)^inout

  x(t)   v(x)

  y(t) = A- &lsquo(h - v)   &upmid; &down> z

  l _{> 0}

  dt״ x = l &out; t - y

  E_m (chores)

  d(-x) = l v&sin(y,x-k )

  l &down;A * Am√(mai☐yi > zA m/up (20&down; y) = amas

  C_V_\=(x) = ⓜ ⓣ XV ✓ /∫_>{{dא(delete)

  w q*v = A()'C_${V)*(t) v⋃