Appunti di Meccanica Razionale

Meccanica Razionale

• Fisica (contenuti)
• Matematica (metodologie)

basata sui principi della Meccanica Newtoniana (assiomi)

5 Argomenti

1. Calcolo Vettoriale
2. Geometria delle Masse
3. Cinematica
4. Statica
5. Dinamica

Osservatore

Sistema di riferimento con misure di spazio, tempo

Grandezze

• Scalari
• Vettoriali
  • Modulo
  • Direzione
  • Verso

se |u‾| = 0 => Vettore Nullo

se |u‾| = 1 => Versore

1. Vettori

Vettore Libero

Non ha un punto di applicazione

Vettori Equipollenti

stesso modulo, direzione, verso

Vettore Applicato

(A, u‾)

(Equilibrio)

• F‾ Non è una Forza
• (P, F‾) è una Forza

Proprietà Vettori

• Moltiplicazione per scalare
• Somma vettoriale (commutativa, associativa, distributiva)
• Scomposizione di un vettore in 2 componenti
• Prodotto scalare a‾·b‾ = b‾·a‾ (commutativa, distributiva)

Teorema: Vettori lin. dip.

Det 2 vettori a e b, a ≠ 0 ⇒ ∃m∈ℝ: b=ma

Teorema: Scomposizione di un vettore (nel piano)

È sempre possibile scomporre un vettore a nella somma di due vettori aventi direzioni assegnate m₁ e m₂ distinte e non complanari.

Teorema: Scomposizione di un vettore (nello spazio)

È sempre possibile scomporre un vettore a nella somma di tre vettori aventi direzioni assegnate m₁, m₂, m₃ distinte e non complanari.

• !=
• Non parallelo (condizione immediata)

Angolo tra vettori

• α ≤ π

RAPPRESENTAZIONE CARTESIANA

_ax = a₁ i + a₂ j + a₃ k

O_xyz (i, j, k)

• a_x. a = a_x i
• a_y. a = a_y j
• a_z. a = a_z k

COMPONENTI CARTESIANE

=> _a = a_x i + a_y j + a_z k

Per ricordare:

=> _a x _b =

• A_x B_y k - A_x B_z j - A_y B_x k + A_y B_z i + A_z B_x j - A_z B_y i
• = (A_y B_z - A_z B_y) i + (A_z B_x - A_x B_z) j + (A_x B_y - A_y B_x) k
• = det (i j k)
• (A_x A_y A_z)
• (B_x B_y B_z)

"DETERMINANTE FORMALE"

(3) _a x _b . _c

• C_x(A_y B_z - A_z B_y) + C_y(A_x B_z - A_z B_x) + C_z(A_x B_y - A_y B_x)

Teorema di Huygens

(di Oighens)

Sia _s=1,...,N un sistema materiale.

Sia _G il momento di inerzia assiale del sistema materiale rispetto a una retta baricentrica (G,K).

Il momento di inerzia I rispetto ad una retta (O,K) parallela a (G,K) e portata a distanza d vale:

I_O = I_G + Md²

Dim

1. Scelgo un sistema di riferimento Oxyz
   • asse z = m
   • asse ψ = passante per G
   • asse x = univocamente determinato
2. Scelgo un sistema di riferimento _Gxyz
   • asse z' = mG
   • asse ψ' = passa per G
   • asse x' = univocamente determinato

P_s = (x^s, y^s, z^s) in Gx'y'z' (punto generico di coordinate)

_{s=1 s=1 s=1}

I_O = T_x - I_O2 = Σ mS (xS² + yS²) = Σ m_s²

Σ_s=1 m_s (x_s² + [y_s + d]²) = Σ_s=1 m_s x_s² + 2dΣ_s=1 m_s y_s + d²Σ_s=1 m_s

Σ_s=1 m_s x_s² = Σ_s=1 m_s y_s² + d²Σ_s=1 m_s - 2dΣ_s=1 m_s y_s

⇒ I_O = I_RG + Md²

TEOREMA

Condizione necessaria per PRINCIPALI di INERZIA

1. Condizione necessaria superficie affine:

A' = B' = 0

x₁ = 0

O₁ x₁² PRINCIPALE d'INERZIA

y₁ = 0

O₁ y₁²

z₁ = 0

O₁ z₁²

TEOREMA

Condizione geometrica x PRINCIPALI d'INERZIA

Se un corpo rigido possiede un PIANO di SIMMETRIA geometrico materiale

=>

le rette ⊥ al piano di simm sono PRINCIPALI di INERZIA

COROLLARIO

Se E è un corpo rigido

piano contenente E è di SIMMETRIA

=>

ogni retta in O₁ ∈ E ⊥ al piano è PRINCIPALE d'INERZIA

Dato P = P(s(t))

esistono 2 MODI per esprimere il vett. VELOCITA’ (VETORIALE)

Forma _INTRINSECA(sistema assi curvilinei)

^Forma CARTESIANA(sistema cartesiano)

V(t) = d(P(s(t))) dt

V̄(t) = ṡ t̂

V̄(t) = ẋ î + ẏ ĵ + ż k̂

P(t) = x(t) î + y(t) ĵ + z(t) k̂

= > ṡ = ± √(ẋ² + ẏ² + ż²)

ACCELERAZIONE

DEFINIZIONE: Accelerazione:

ȧ(t) = dV̄ dt

ȧ(t) = lim _h->0 ( V̄(t+h) - V̄(t) ) h

= d²P dt²

ȧ(t) = d(ṡ t̂) dt

dV-------dt = d(Vt)dt + ṡ ^{d(d VdSS _m (ds/dt^2)At = ṡt̂ + S2_m +...}

ȧ(t) = ẍ î + ȳ̈ ĵ + z̈ k̂

MOTO RETTILINEO UNIFORME

Corpo Rigido

Teorema

Data la posizione di un corpo rigido R all'istante t₀, note le posizioni di tre punti non allineati A₀, B₀, C₀ all'istante t.

Risulta determinata all'istante t la posizione di qualunque altro punto P ∈ E.

Dimostrazione

Istant t₀

Riassumendo: sono necessarie le coordinate di 3 punti non allineati

• A = (xₐ, yₐ, zₐ)
• B = (x_b, y_b, z_b)
• C = (x_c, y_c, z_c)

Tot: 9 coordinate

Teorema C.N.S. per corpi rigidi

Un sistema materiale di punti E è un corpo rigido

Le velocità simultanee di ogni punti P e Q devono avere la stessa componente lungo lo congiungente P-Q

Formula Fondamentale della Cinematica Rigida

Permette di determinare la velocità di un qualunque punto P, conoscendo la velocità di un qualunque altro punto Q e E, velocità angolare del corpo rigido.

Oxyz fisso, O₁x₁y₁z₁ mobile, Studio moto e velocità solidale con E

dP/dt = dO₁/dt + ω x (P - O₁)

V = dO₁/dt vettore posizione di P

dO₁/dt vettori caratteristici di E

Dim.

P - O₁ = x₁i₁ + y₁j₁ + z₁k₁ -> P = (x₁,y₁,z₁)

Derivo ambi membri

d/dt (P - O₁) = x₁d/dt i₁ + y₁d/dt j₁ + z₁d/dt k₁ - formule Poisson

dP/dt = dO₁/dt + ω x (x₁i₁) + (ω x y₁j₁) + (ω x z₁k₁)

dP/dt = dO₁/dt + ω x (x₁i₁ + y₁j₁ + z₁k₁) = P - O₁

Quindi,

dP/dt = dO₁/dt + ω x (P - O₁)

C.V.D.