Appunti di Meccanica Razionale

Meccanica Razionale

basata nei principi dellaMeccanica Newtoniana (assiomi)

1. Calcolo Vettoriale
2. Geometria delle Masse
3. Cinematica
4. Statica
5. Dinamica

Osservatore = Sistema di riferimento con minime di SpazioTempo

Scalari

Vettoriali

• Modulo
• Direzione
• Verso

se < |u| = 0 > vettore Nullose < |u| = 1 > Versore

Vettori

Vettori Equivalenti = stesso

• Modulo
• Direzione
• Verso
• Punto di Applicazione

Vettore Libero

Non ha un punto di applicazione

×F NON è una Forza

✓(P,F) è una Forza

Proprietà Vettori

• Moltiplicazione per scalare commutativa (*)
• Somma Vettoriale commutativa, associativa, distributiva (*)
• Scomposizione di un vettore in 2 componenti
• Prodotto scalare a.b = b.a(commutativa, simmetrica)

Meccanica Razionale

basata suiprincipi dellameccanica newtoniana(assiomi)

1. Calcolo vettoriale
2. Geometria delle masse
3. Cinematica
4. Statica
5. Dinamica

Nozioni di base

Osservatore = Sistema di riferimentocon insieme di spazioTempo

Grandezze

• Scalari

• Vettoriali

  segmenti orientati

  ModuloDirezioneVerso

se |u| = 0 => vettore nullo|u| ≠ 1 => verso

(1) Vettori

Vettore liberoNon ha unpunto di applicazione

Vettori equipollenti = stessoModuloDirezioneVerso

Punto di applicazione(A, u)

• Moltiplicazione per scalare (commutativa)
• Somma vettoriale (commutativa, associativa)
• Scomposizione di un vettore in 2 componenti
• Prodotto scalare: a.b = b.a (commutativa, distributiva)

Teorema :

detti 2 vettori a = b, a/|b| (a≠0) ⇒ ∃ m ∈ ℝ : b = ma

Teorema :

Scomposizione di un vettore (nel piano)

È sempre possibile scomporre un vettore a nella somma di due vettori aventi direzioni assegnate M₁ e M₂ definiti e compleanni con ã

ã = {B - A}

B-A = (B-C) + (C-A)

Teorema :

Scomposizione di un vettore (nello spazio)

È sempre possibile scomporre un vettore a nella somma di tre vettori aventi direzioni assegnate M₁, M₂, M₃ definite e non complanari.

b₁, b₂, b₃ ∉ Q ∥ M₁, M₂, M₃

P = π₁ (M₁, M₂) ∩ π₂ (M₃, a)

retto = intersez. piani

ã = e₁ + e₃

= a₁ + a₂ + a₃

⇒ hai scomposto a in 3 vettori lungo le direzioni date.

Angolo tra vettori

α < π

PRODOTTO SCALARE

_a · _b = a b · cos α

• Proprietà COMUTATIVA _a · _b = _b · _a
• Proprietà DISTRIBUTIVA _a · (_b + _c) = _a · _b + _a · _c
• Proprietà ASSOCIATIVA ✗

_a · _a = a² Quadrato del Vettore

(_a + _b) · (_a + _b) = a² + 2 a b cos α + b² Quadrato della Somma tra Vettori

_a · (_a - _b) = _a · _a - _a · _b

TEOREMA

Sia _a un vettore non nullo _{m1, m2, m3} dati e NON complanari

1. _a · _m1 = 0
2. _a · _m2 = 0
3. _a · _m3 = 0

⇒ _a = 0

_a è ORTOGONALE a 3 righe distinte NON complanari

Corollario

Siano _a e _b due vettori non nulli _{m1, m2, m3} dati e NON complanari

1. _a · _m1 = _b · _m1
2. _a · _m2 = _b · _m2
3. _a · _m3 = _b · _m3

⇒ _a = _b

_a ≠ ₀, _b = ₀ ⇔ _a ⊥ _b

Ultime Proprietà Prodotto Scalare

Prodotto Vettoriale

_a × _b = _c

Modulo |ab sin α|

_a, _b ≠ 0

_a × _b = δ ↔ _a // _b

• X Proprietà Commutativa _a × _b ≠ _b × _a
• ✓ Prop